教你如何提高數(shù)學(xué)成績
一. 教學(xué)內(nèi)容：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理、排列
二. 教學(xué)重、難點：
1. 分類計數(shù)原理，分步計數(shù)原理
2.
【典型例題
[例1] 有三個袋子，其中一個袋子裝有紅色小球20個，每個球上標(biāo)有1至20中的一個號碼，一個袋子裝有白色小球15個，每個球上標(biāo)有1至15中的一個號碼，第三個袋子裝有黃色小球8個，每個球上標(biāo)有1至8中的一個號碼。
�。�1）從袋子里任取一個小球，有多少種不同的取法？
�。�2）從袋子里任取紅、白、黃色球各一個，有多少種不同的取法？
解：
（1）任取一個小球的方法可分三類，一類取紅球，有20種取法；一類取白球，有15種取法；一類取黃球，有8種取法。由分類計數(shù)原理共有20 15 8=43種不同取法。
�。�2）取三色小球各一個，可分三步完成，先取紅球。有20種取法；再取白球，有15種取法；最后取黃球，有8種取法。由分步計數(shù)原理，共有 種不同的取法。
[例2] 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？
解：分析個位數(shù)字，可分以下幾類：
個位是9，則十位可以是1，2，3，……，8中的一個，故有8個；
個位是8，則十位可以是1，2，3，……，7中的一個，故有7個；
與上同樣。
個位是7的有6個；
個位是6的有5個；
……
個位是2的只有1個。
由分類計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有 （個）
[例3] 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)注的數(shù)字，表示該網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為多少？
解：沿12?D5?D3路線傳遞的信息最大量為3（單位時間內(nèi)），沿12?D6?D4路線傳遞信息的最大量為4……由于以上每個線路均能獨立完成這件事（傳遞信息），故單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為3 4 6 6=19。
[例4] 用6種不同的顏色對下圖中5個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能同色，那么共有多少種不同的涂色方法？
解：分五步進(jìn)行，第一步給5號域涂色有6種方法
第二步給4號涂有5種方法
第三步給1號涂有5種方法
第四步給2號涂有4種方法
第五步給3號涂有4種方法
根據(jù)分步計數(shù)原理，共有 值
�。�1） ；（3） 。
解：（1）由排列數(shù)公式，
得
整理得 或 （舍去） ∴
解得
（3）由排列數(shù)公式，得 ∴ ；
�。�2）
∴
�。�3）∵
[例7] 由0，1，2，3，4，5共六個數(shù)字可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的六位數(shù)？
解：組成的六位數(shù)與順序有關(guān)，但首位不能排0，個位必須排0或5，因此分兩類：第一類：個位必須排0，此時前五位數(shù)由1，2，3，4，5共五個數(shù)字組成，這五個數(shù)字的每一個排列對應(yīng)一個六位數(shù)，故此時有 個六位數(shù)。第二類：個位數(shù)排5，此時為完成這件事（構(gòu)造出六位數(shù)）還應(yīng)分兩步，第一步排首位，有4種排法，第二步排中間四位，有 個。
[例8] 用0，1，2，3，4五個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，其依次從小到大的排列。
�。�1）第49個數(shù)是多少？（2）23140是第幾個數(shù)？
解：（1）1、2是首數(shù)時各組成 個；2在萬位，0、1在千位的共有 個，還有23104比23140小，故23140是第 種方法，然后讓剩下的5個人（其中包括甲）站在中間的5個位置，有 種站法。
方法二：因為甲不在兩端，分兩步排隊，首先排甲，有 種方法，第二步讓其他6人站在其他6個位置上，有 種方法，第二步讓甲插入這6個人之間的空當(dāng)中，有 種，故共有 種站法。
方法四：在排隊時，對7個人，不考慮甲的站法要求任意排列，有 種方法，因此共有 種排法，再考慮其余5個元素的排法有 種。
方法二：甲、乙兩人不能站在兩端，應(yīng)包括同時不在兩端，某一人在兩端，故用排異法，應(yīng)減去兩種情況，同時在兩端，有 種不同站法。
�。�3）分三步：第一步，從甲、乙以外的5個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有 種方法，第三步，對甲、乙進(jìn)行全排列，故共有 種不同站法。
�。�4）方法一：男生站在前4個位置上有 種站法，男女生站成一排是分兩步完成的，因此這種站法共有 種站法，這兩種站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有 種排法，然后排四名男生，有 種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，將四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有 種排法，在四名男生間的三個間隔共有三個位置安排三名女生，有 種排法符合要求，故四名男生三名女生相間排列的排法共有 種。
�。�6）在7個位置上任意排列7名學(xué)生，有排法 中每一種情況均以 種。
[例10] 某班開設(shè)的課程有語文、數(shù)學(xué)、英語、政治、物理、化學(xué)、生物、體育共8門。若星期一上午排4節(jié)不同的課，并且規(guī)定體育課不能排在第一節(jié)及第四節(jié)，那么星期一上午該班的課程表有多少種不同的排法？
解：若不排體育課，則有 ，且A中至少有一個奇數(shù)，則這樣的集合有（ ）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 高中物理 5個
2. 書架上、下兩層分別放有5本不同的數(shù)學(xué)書和4本不同的語文書，從中選兩本數(shù)學(xué)書和一本語文書，則不同的選法有 種（ ）
A. 9 B. 13 C. 24 D. 40
3. 不等式 B. 或 或
4. 已知 的值為（ ）
A. 7 B. 2 C. 6 D. 8
5. 2個男生和4個女生排成一排，其中男生既不相鄰也不排兩端的不同排法有（ ）
A. 種
C. 種
6. 27位女同學(xué)排隊照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，則所有不同的排法種數(shù)為（ ）
A.
C.
二. 解答題
1. （1）某教學(xué)樓有三個不同的樓梯，4名學(xué)生要下樓，共有多少種不同的下樓方法？（2）有4名同學(xué)要爭奪3個比賽項目的冠軍，冠軍獲得者共有多少種可能？
2. 現(xiàn)有高一年級四個班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組。
（1）選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？
�。�2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？
�。�3）推選兩人作中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？
3. 解下列各式中的 值。
�。�1） （2）
【試題答案】
一. 選擇題
1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C
二. 解答題
1. 解：
�。�1）4名學(xué)生分別下樓，即問題分4步完成。每名學(xué)生都有3種不同的下樓方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的下樓方法共有 種。
�。�2）確定3項冠軍人選可逐項完成，即分3步，第1項冠軍人選有4種可能，第2項與第3項也均有4種可能，根據(jù)分步計數(shù)原理：冠軍獲得者共有 （種）
�。�2）分四步，易知不同的選法總數(shù)
�。ǚN）
�。�3）分六類，每類又分兩步，從一、二班學(xué)生中各選1人，有 種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有 種不同選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有 種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有 種不同的選法，所以共有不同的選法數(shù)
∴
∴ （舍）
�。�2）
∴ （舍）
4. 解：
�。�1）先排乙有2種方法，再排其余5位同學(xué)有 種排法。
�。�4） 種排法。
（5） 種排法。
�。�6）7個學(xué)生的所有排列中，3名女生交換順序得到的排列只對應(yīng)一個符合題意的排隊方式，故共有 種排法。
等差數(shù)列的前n項和訓(xùn)練題
1．若一個等差數(shù)列首項為0，公差為2，則這個等差數(shù)列的前20項之和為( )
A．360 B．370
C．380 D．390
答案：C
2．已知a1＝1，a8＝6，則S8等于( )
A．25 B．26
C．27 D．28
答案：D
3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝S3＝12，則{an}的通項an＝________.
解析：由已知a1＋5d＝123a1＋3d＝12a1＝2，d＝2.故an＝2n.
答案：2n
4．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝14，a7＝20，求S5.
解：d＝a7－a57－5＝20－142＝3，
a1＝a5－4d＝14－12＝2，
所以S5＝5a1＋a52＝52＋142＝40.
一、選擇題
1．(2011年杭州質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝1，a3＝3，則S4＝( )
A．12 B．10
C．8 D．6
解析：選C.d＝a3－a2＝2，a1＝－1，
S4＝4a1＋4×32×2＝8.
2．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，則a10＝( )
A．24 B．27
C．29 D．48
解析：選C.由已知2a1＋5d＝19，5a1＋10d＝40.
解得a1＝2，d＝3.∴a10＝2＋9×3＝29. X k b 1 . c o m
3．在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，則a2＋a9＝( )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：選B.S10＝10a1＋a102＝5(a2＋a9)＝120 高中物理.∴a2＋a9＝24.
4．已知等差數(shù)列{an}的公差為1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，則a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝( )
A．99 B．66
C．33 D．0
解析：選B.由a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，
得99a1＋99×982＝99.
∴a1＝－48，∴a3＝a1＋2d＝－46.
又∵{a3n}是以a3為首項，以3為公差的等差數(shù)列．
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝33a3＋33×322×3
�。�33(48－46)＝66.
5．若一個等差數(shù)列的前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有( )
A．13項 B．12項
C．11項 D．10項
解析：選A.∵a1＋a2＋a3＝34，①
an＋an－1＋an－2＝146，②
又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
∴①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.③
Sn＝a1＋ann2＝390.④
將③代入④中得n＝13.
6．在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：選B.由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S偶S奇＝nn＋1，即150165＝nn＋1，∴n＝10.
二、填空題
7．設(shè)數(shù)列{an}的首項a1＝－7，且滿足an＋1＝an＋2(n∈N*)，則a1＋a2＋…＋a17＝________.
解析：由題意得an＋1－an＝2，
∴{an}是一個首項a1＝－7，公差d＝2的等差數(shù)列．
∴a1＋a2＋…＋a17＝S17＝17×(－7)＋17×162×2＝153.
答案：153
8．已知{an}是等差數(shù)列，a4＋a6＝6，其前5項和S5＝10，則其公差為d＝__________.
解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6.①
S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝10.②w
由①②得a1＝1，d＝12.
答案：12
9．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.
解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1.
又∵a5＋a12＝a1＋a16＝－9，
∴S16＝16a1＋a162＝8(a1＋a16)＝－72.
答案：－72
三、解答題
10．已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn＝n2－23n－2(n∈N*)．
(1)寫出該數(shù)列的第3項；
(2)判斷74是否在該數(shù)列中．
解：(1)a3＝S3－S2＝－18.
(2)n＝1時，a1＝S1＝－24，
n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－24，
即an＝－24，n＝1，2n－24，n≥2，
由題設(shè)得2n－24＝74(n≥2)，解得n＝49.
∴74在該數(shù)列中．
11．(2010年課標(biāo)全國卷)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值．
解：(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
a1＋2d＝5，a1＋9d＝－9，可解得a1＝9，d＝－2，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋nn－12d＝10n－n2.
因為Sn＝－(n－5)2＋25，
所以當(dāng)n＝5時，Sn取得最大值．
12．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
(1)前四項和為21，末四項和為67，且各項和為286，求項數(shù)；
(2)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.
解：(1)由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an－3＋an－2＋an－1＋an＝67，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝88.
所以a1＋an＝884＝22.
因為Sn＝na1＋an2＝286，所以n＝26.
(2)因為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，
所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
如何提高數(shù)學(xué)成績？
1、按部就班
數(shù)學(xué)是環(huán)環(huán)相扣的一門學(xué)科，哪一個環(huán)節(jié)脫節(jié)都會影響整個學(xué)習(xí)的進(jìn)程。所以，平時學(xué)習(xí)不應(yīng)貪快，要一章一章過關(guān)，不要輕易留下自己不明白或者理解不深刻的問題。
2、強(qiáng)調(diào)理解
概念、定理、公式要在理解的基礎(chǔ)上記憶。每新學(xué)一個定理，嘗試先不看答案，做一次例題，看是否能正確運用新定理；若不行，則對照答案，加深對定理的理解。
3、基本訓(xùn)練
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是不能缺少訓(xùn)練的，平時多做一些難度適中的練習(xí)，當(dāng)然莫要陷入死鉆難題的誤區(qū)，要熟悉高考的題型，訓(xùn)練要做到有的放矢。
4、重視平時考試出現(xiàn)的錯誤。
訂一個錯題本，專門搜集自己的錯題，這些往往就是自己的薄弱之處。復(fù)習(xí)時，這個錯題本也就成了寶貴的復(fù)習(xí)資料。
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有一個循序漸進(jìn)的過程，妄想一步登天是不現(xiàn)實的。熟記書本內(nèi)容后將書后習(xí)題認(rèn)真寫好，有些同學(xué)可能認(rèn)為書后習(xí)題太簡單不值得做，這種想法是極不可取的，書后習(xí)題的作用不僅幫助你將書本內(nèi)容記牢，還輔助你將書寫格式規(guī)范化，從而使自己的解題結(jié)構(gòu)緊密而又嚴(yán)整，公式定理能夠運用的恰如其分，以減少考試中無謂的失分。
如何學(xué)好數(shù)學(xué)
首先和敏捷對于來說固然重要，但良好的可以把效果提高幾倍，這是先天因素不可比擬的。學(xué)好首先要過的是關(guān)。任何事情都有一個由量變到質(zhì)變的循序漸進(jìn)的積累過程。
一．。不等于瀏覽。要深入了解內(nèi)容，找出重點，難點，疑點，經(jīng)過思考，標(biāo)出不懂的，有益于抓住重點，還可以培養(yǎng)自學(xué)，有時間還可以超前學(xué)習(xí)。
二．聽講。核心在。1。以聽為主，兼顧記錄。2。注重過程，輕結(jié)論。
3．有重點。4。提高聽課。
三．。像演電影一樣把課堂，整理筆記，
四．多做練習(xí)。1。晚上吃飯后，坐到書桌時，看數(shù)學(xué)最適合，2。做一道數(shù)學(xué)題，每一步都要多問個別為什么，不能只滿足于課堂上的灌輸式傳授和書本上的簡單講述，要想提高必須要一步一步推 高中歷史，一步一步想，每個過程都必不可少，3。不要粗心大意，4。做完每一道題，要想想為什么會想到這樣做，建立一種條件發(fā)射，關(guān)鍵在于每做一道題要從中得到東西，錯在哪，5。解題都有固定的套路。6還有大膽的夸獎自己，那是樹立信心的關(guān)鍵時刻，
五．總結(jié)。1。要將所學(xué)的知識變成知識網(wǎng)，從大主干到分枝，清晰地深存在腦中，新題想到老題，從而一通百通。2。建立錯誤集，錯誤多半會錯上兩次，在有意識改正的情況下，還有可能錯下去，最有效的應(yīng)該是會正確地做這道題，并在下次遇到同樣情況時候有注意的意識。3。周末再將一周做的題回頭看一番，提出每道題的思路方法。4有問題一定要問。
六．考前復(fù)習(xí)，1。前2周就要開始復(fù)習(xí)，做到心中有數(shù)，否則會影響發(fā)揮，再做一遍以前的錯題是十分必要的，據(jù)說有一個同學(xué)平時只有一百零幾，離只有一個月，把以前錯題從頭做一遍，最后他數(shù)學(xué)居然得了147分。2。要重視基礎(chǔ)，
另外，聽老師的話，勤學(xué)苦練不可少，沒有捷徑，要樂觀，有毅力，要有決心，還要有耐心，學(xué)數(shù)學(xué)是一個很長的過程，你的努力于回報往往不能那么盡如人意的成正比，甚至?xí)邢缕侣返内厔�，但只要堅持下去，那條成績線會抬起頭來，一定能看到光明。
第一章《空間幾何體》測試題（二）
三、解答題
11.把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是1∶4，母線長10cm，求圓錐的母長.
考查目的：考查圓錐、圓臺的概念和性質(zhì).
答案：cm.
解析：設(shè)圓錐的.母線長為，圓臺的上、下底半徑分別為.
12.畫出下列空間幾何體的三視圖：
考查目的：考查由直觀圖畫三視圖.
答案：⑴的三視圖如下：
⑵的三視圖如下：
解析：注意直觀圖與三視圖之間的關(guān)系，特別是各方向線段之間的比例轉(zhuǎn)化.
13.已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，若圓錐底面面積是這個球面面積的，求這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值.
考查目的：考查幾何體的體積的計算，通過球這個載體考查空間想象能力及推理運算能力.
  高三;
答案：.
解析：(畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合然后利用球及圓的性質(zhì)求解)
如圖，設(shè)球的半徑為，圓錐的底面圓的半徑為，依題意得，即，∴，∴，∴，，∴.
14.(2010遼寧理)有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則的取值范圍是多少？
考查目的：考查空間想象能力以及靈活運用知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.
答案：.
解析：根據(jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：⑴地面是邊長為2的正三角形，三條側(cè)棱長為2，，，如圖1，可知，，則，即，∴.
�、茦�(gòu)成三棱錐的兩條對角線長為，其他各邊長為2，如圖2，此時.
綜上可得，.
15.一個正四棱臺的兩底面邊長分別為，側(cè)面積等于兩個底面積之和，求這個棱臺的體積.
考查目的：考查運用棱臺公式進(jìn)行綜合計算的能力.
答案：.
解析：如圖所示，設(shè)分別為下、上底面中心，分別為下、上底邊的中點，連結(jié)，，過作于，那么，得.
在直角三角形中，，即棱臺的高為，∴體積為.
高考數(shù)學(xué)最后沖刺六大注意事項
一、重點、查缺補(bǔ)漏。對前幾次各區(qū)模擬分類梳理、整合，既可按分類，也可按思想分類。強(qiáng)化聯(lián)系、形成網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，以少勝多，以不變應(yīng)萬變。
二、查找錯題，分析病因，對癥下藥。查錯題，分析病因，對癥下藥，這是重點。
三、閱讀《說明》和《試題分析》，確保沒有知識盲點 。
四、注意基礎(chǔ)復(fù)習(xí)�；貧w課本、回歸基礎(chǔ)、回歸近年數(shù)學(xué)試題，把握通性通法 。
五、重視書寫表達(dá)的規(guī)范性和簡潔性 。重視書寫表達(dá)的規(guī)范性和簡潔性，掌握各類常見題型的表達(dá)模式，避免“會而不對、對而不全”現(xiàn)象的出現(xiàn)，力爭既對又全。
六、不要做難題 。臨考前應(yīng)做一定量中、低檔題，以達(dá)到熟練基本方法、典型問題的目的,高中政治，一般不再做難題，要保持清醒的頭腦和良好的解題狀態(tài)。
扣在桌上的紙牌
八張編了號的紙牌扣在桌上，它們的相對位置如下圖所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
關(guān)于這八張牌：
�。�1）其中至少有一張Q。
�。�2）每張Q都在兩張K之間。
（3）至少有一張K在兩張J之間。
（4）沒有一張JQ相鄰。
�。�5）其中只有一張A。
�。�6）沒有一張K與A相鄰。
�。�7）至少有一張K和另一張K相鄰。
�。�8）這八張牌中只有K、Q、J和A這四張牌。
這八張牌中哪一張是A？
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答 案
根據(jù){（1）其中至少有一張Q。}和{（2）每張Q都在兩張K之間。}，在下列判斷中有一條且只有一條是對的：
�。╝）3號牌和6號牌是Q；
�。╞）只有3號牌是Q；
�。╟）只有6號牌是Q；
�。╠）只有4號牌是Q。
如果3號牌和6號牌都是Q，則有下列兩種可能（X代表未知的牌）：
X
X
K
Q
K
K
Q
K
K
Q
K
X
Q
X
X
K
但這兩種可能都不符合{（3）至少有一張K在兩張J之間。}，因此判斷（a）是不對的。
如果只有3號牌是Q，則6號牌就不可能是K，這是因為根據(jù)（3），一定有一張K在兩張J之間，而{（4）沒有一張JQ相鄰。}在這里又不允許這種情況發(fā)生。根據(jù)前面的推理，6號牌不能是Q。根據(jù)（3）和{（6）沒有一張K與A相鄰。}，6號牌又不能是A。因此6號牌只能是J。但這樣（3）和{（7）至少有一張K和另一張K相鄰。}不能同時得到滿足。因此判斷（b）也是不對的。
如果只有6號牌是Q．則有下列兩種可能：
X
X
X
X
X
X
X
K
K
Q
K
X
Q
X
X
K
在第一種可能中，（3）和（4）不能同時得到滿足；在第二種可
能中，（3）得不到滿足。因此，判斷（c）也是不對的。
于是，只有判斷（d）是正確的：只有4號牌是Q。
接下來根據(jù)（2），l號牌和6號牌是K。根據(jù)（3），5號牌和7號牌是J。
因此必定是下面這種情況：
K
X
X
Q
J
K
J
X
如果為了滿足（7），設(shè)2號牌和3號牌都是K，則根據(jù)（5），8號牌就是A。但（6）不允許這種情況發(fā)生。因此8號牌是（7）所要求的與一張K相鄰的K。
如果2號牌是一張A，則3號牌不能是Q（根據(jù)（2））不能是K（根據(jù)（6）），不能是J（根據(jù)（4））也不能是A（根據(jù){（5）其中只有一張A。}）。因此根據(jù){（8）這八張牌中只有K、Q、J和A這四張牌。}，2號牌不能是A。根據(jù)（5），3號牌一定是那張唯一的A。
根據(jù)（2）、（5）和（6），2號牌一定是J。
所有的紙牌情況如下：
K
高中歷史
J
A
Q
J
K
J
K
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