七年級(jí)下數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)歸納法競(jìng)賽輔導(dǎo)資料
甲內(nèi)容提要
1.通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問(wèn)題的方法叫做歸納法。
通過(guò)有限的幾個(gè)特例，觀察其一般規(guī)律，得出結(jié)論，它是一種不完全的歸納法，也叫做經(jīng)驗(yàn)歸納法。例如
�、儆�(-1)2=1，(-1)3=-1，(-1)4=1，……，
歸納出-1的奇次冪是-1，而-1的偶次冪是1。
�、谟蓛晌粩�(shù)從10到99共90個(gè)(9×10)，
三位數(shù)從100到999共900個(gè)(9×102)，
四位數(shù)有9×103=9000個(gè)(9×103)，
…………
歸納出n位數(shù)共有9×10n-1 (個(gè))
�、塾�1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……
推斷出從1開始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于n2等。
可以看出經(jīng)驗(yàn)歸納法是獲取新知識(shí)的重要手段，是知識(shí)攀緣前進(jìn)的階梯。
2. 經(jīng)驗(yàn)歸納法是通過(guò)少數(shù)特例的試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論，要使規(guī)律明朗化，必須進(jìn)行足夠次數(shù)的試驗(yàn)。
由于觀察產(chǎn)生的片面性，所猜想的結(jié)論，有可能是錯(cuò)誤的，所以肯定或否定猜想的`結(jié)論，都必須進(jìn)行嚴(yán)格地證明。(到高中，大都是用數(shù)學(xué)歸納法證明)
乙例題
例1平面內(nèi)n條直線，每?jī)蓷l直線都相交，問(wèn)最多有幾個(gè)交點(diǎn)?
解：兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，12
第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個(gè)交點(diǎn)，得1+23
第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3
第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個(gè)交點(diǎn)，得1+2+3+4
………
第n條直線和前n-1條直線都相交，增加了n-1個(gè)交點(diǎn)
由此斷定n條直線兩兩相交，最多有交點(diǎn)1+2+3+……n-1(個(gè))，
這里n≥2，其和可表示為[1+(n+1)]×, 即個(gè)交點(diǎn)。
例2.符號(hào)n!表示正整數(shù)從1到n的連乘積，讀作n的階乘。例如
5!=1×2×3×4×5。試比較3n與(n+1)!的大小(n是正整數(shù))
解：當(dāng)n=1時(shí)，3n=3, (n+1)!=1×2=2
當(dāng)n=2時(shí)，3n=9， (n+1)!=1×2×3=6
當(dāng)n=3時(shí)，3n=27, (n+1)!=1×2×3×4=24
當(dāng)n=4時(shí)，3n=81, (n+1)!=1×2×3×4×5=120
當(dāng)n=5時(shí)，3n=243, (n+1)!=6!=720 ……
猜想其結(jié)論是：當(dāng)n=1，2，3時(shí)，3n>(n+1)!，當(dāng)n>3時(shí)3n<(n+1)!。
例3 求適合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數(shù)解。
分析：這2003個(gè)正整數(shù)的和正好與它們的積相等，要確定每一個(gè)正整數(shù)的值，我們采用經(jīng)驗(yàn)歸納法從2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)……直到發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止。
解：x1+x2=x1x2的正整數(shù)解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整數(shù)解是x1=1,x2=2,x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整數(shù)解是x1=x2=1,x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整數(shù)解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整數(shù)解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6
…………
由此猜想結(jié)論是：適合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數(shù)解為x1=x2=x3=……=x2001=1, x2002=2， x2003=2003。
丙練習(xí)
1.除以3余1的正整數(shù)中，一位數(shù)有__個(gè)，二位數(shù)有__個(gè)，三位數(shù)有__個(gè)，n位數(shù)有____個(gè)。
2.十進(jìn)制的兩位數(shù)可記作10a1+a2,三位數(shù)記作100a1+10a2+a3,四位數(shù)記作____，n位數(shù)___記作______
3.由13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43
=(___)2,13+______=152，13+23+…+n3=()2。
4.用經(jīng)驗(yàn)歸納法猜想下列各數(shù)的結(jié)論(是什么正整數(shù)的平方)
�、�=(___)2;;-=( __)2。
�、�=(____)2;=(___)2
5.把自然數(shù)1到100一個(gè)個(gè)地排下去：123……91011……99100
①這是一個(gè)幾位數(shù)?②這個(gè)數(shù)的各位上的各個(gè)數(shù)字和是多少
6.計(jì)算+++…+=
(提示把每個(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差)
7.a是正整數(shù)，試比較aa+1和(a+1)a的大小.
8..如圖把長(zhǎng)方形的四條邊涂上紅色，然
后把寬3等分，把長(zhǎng)8等分，分成24個(gè)
小長(zhǎng)方形，那么這24個(gè)長(zhǎng)方形中，
兩邊涂色的有__個(gè)，一邊涂色的有__個(gè)，四邊都不著色的有__個(gè)。
本題如果改為把寬m等分,長(zhǎng)n等分(m,n都是大于1的自然數(shù))那么這mn個(gè)長(zhǎng)方形中，兩邊涂色的有__個(gè)，一邊涂色的有__個(gè)，四邊都不著色的有__個(gè)
9.把表面涂有紅色的正方體的各棱都4等分，切成64個(gè)小正方體，那么這64個(gè)中，三面涂色的有__個(gè)，兩面涂色的有___個(gè)，一面涂色的有___個(gè)，四面都不涂色的有____個(gè)。
本題如果改為把長(zhǎng)m等分,寬n等分,高p等分，(m,n,p都是大于2的自然數(shù))那么這mnp個(gè)正方體中，三面涂色的有___個(gè)，兩面涂色的有___個(gè)，一面涂色的有____個(gè)，四面都不涂色的有_____個(gè)。
10.一個(gè)西瓜按橫，縱，垂直三個(gè)方向各切三刀，共分成___塊，其中不帶皮的有__塊。
11.已知兩個(gè)正整數(shù)的積等于11112222，它們分別是___，___。
丙答案
1.3，30，3×102，3×10n-1
2.10n-1a1+10n-2a2_+……+10an-1+an
4.①333332, ②，
5.①192位，②901位(50個(gè)18，加上1)
6. ∵=- ……
7.a=1,2時(shí)，aa+1<(a+1)a……
8.4,14,6;4,2m+2n-8,(m-2)(n-2)
9.8,24,24,8;
8，4×[(m-2)+(n-2)+(p-2)],2[(m-2)(n-2)+(m-2)](p-2)+(n-2)(p-2)],
(m-2)(n-2)(p-2)
10.64,8
11.3334
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