奧數(shù)十道博弈題目
【1】有1001根火柴放在盒子里，甲、乙兩人輪流各取1根或2根，取到最后一根者為勝。必勝的最佳對(duì)策是什么？
【2】在黑板上寫下一列連續(xù)的自然數(shù)：2、3、4、…、1999、2000，甲先擦去其中一個(gè)數(shù)，然后乙再擦去一個(gè)數(shù)。如此輪流地擦下去。若最后剩下兩個(gè)質(zhì)數(shù)時(shí)，甲取勝；若最后剩下兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)時(shí)，乙取勝。這個(gè)游戲中誰取勝的可能性最大？
【3】兩人輪流在圓桌面上擺硬幣，每次擺一枚，各個(gè)不能互相重疊，也不能有一部分在桌面的邊緣以外。這樣經(jīng)過反復(fù)多次以后，誰先擺不下硬幣就算輸。誰有必勝的策略？取勝的策略是什么？
【4】請(qǐng)你參加一種游戲：有1996個(gè)棋子，兩人輪流取棋子，每次允許取其中2個(gè)、4個(gè)或8個(gè)，誰最后把棋子取完，就算獲勝。如果你先取，那么第一次你取多少個(gè)？先取的人有一個(gè)必勝的方法，如果你已想出這個(gè)辦法，請(qǐng)寫出來。
【5】桌子上有a顆棋子，甲、乙兩人輪流拿棋子，他們規(guī)定：假如甲先拿，可以拿任意顆棋子，但不能拿光。接著乙拿，乙拿的棋子數(shù)最多只能比甲拿的多一個(gè)。接著甲拿，最多只能比乙剛才拿的數(shù)目多一個(gè)。接著乙拿，最多只能比甲剛才拿的'數(shù)目多一個(gè)。如此下去，最后一步誰把棋子拿光就算勝者。
【6】兩人按自然數(shù)輪流報(bào)數(shù)，每人每次只能報(bào)1或2個(gè)數(shù)，比如第1個(gè)人可以報(bào)1，第2個(gè)人可以報(bào)2或2、3；第1個(gè)人也可以報(bào)1、2，第2個(gè)人可以報(bào)3或3、4，這樣繼續(xù)下去，誰報(bào)到30，誰就勝。請(qǐng)問誰有必勝的策略？
【7】甲、乙兩人在計(jì)算機(jī)上玩如下游戲，兩人輪流從數(shù)中減去該數(shù)的一個(gè)非零數(shù)字得一個(gè)數(shù)，然后再從新數(shù)中減去它的一個(gè)非零整數(shù)，重復(fù)以上過程直至一人無數(shù)可減時(shí)，則此人為負(fù)，試，最終是先開始游戲的人獲勝還是后開始的人獲勝？有無必勝的對(duì)策？
【8】 n個(gè)“一”排成一行，甲、乙輪流改寫“－”為“＋”，每次只準(zhǔn)改一個(gè)或相鄰的兩個(gè)，先得全部“＋”者勝，若甲先改，請(qǐng)問甲是否有必勝的策略？
【9】 m、n是自然數(shù)，甲、乙二人輪番在m×n的方棋盤的每個(gè)格內(nèi)放棋子，甲先放第一個(gè)棋子，乙只能在與上述棋子相鄰的某格內(nèi)放棋子（相鄰格指有一條公共邊的兩個(gè)格），甲再放時(shí)又必須在與乙所放的棋子相鄰的某格內(nèi)放棋子，以后輪番放棋子時(shí)也遵守這個(gè)規(guī)則，誰無法放棋子時(shí)誰失敗，為避免失誤，你愿意先放還是后放？
【10】 在n×n的方格盤中，把其中n－1個(gè)方格染成黑色，其余中不染色，染完后，允許按下述操作把某些未染色的方格染上黑色，規(guī)則是：只要是某個(gè)未染色的方格與兩個(gè)黑色方格相鄰（如果兩個(gè)方格有一條公共邊，就稱這兩個(gè)方格相鄰），就把這個(gè)方格染黑，證明：按照這種規(guī)則操作下去，不能把整個(gè)棋盤全染成黑色。
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