小學奧數(shù)高難度棋盤問題解析

　　先說明一下，雖然陳述本題時使用棋盤及棋子加以說明，實際你只須用1張方格紙、1支筆，還有有關國際象棋走法的基本知識就可以開始著手走棋了。

　　車的走法

　　車只可向前、后、左、右移動，可經(jīng)過棋盤上的每一格一次再回到出發(fā)點，而形成一循環(huán)回路。圖1、圖2為符合此條件的兩條路徑。

　　請問當形成循環(huán)回路時最少的方向改變數(shù)為多少次?

　　如果車經(jīng)過棋盤上的每一格一次而不需再回到原出發(fā)點以形成一非循環(huán)回路，此時最少的方向改變數(shù)為14。你能發(fā)現(xiàn)此一路徑嗎?

　　有沒有可能車從棋盤上的一個角落出發(fā)，經(jīng)過棋盤上的每一格一次而在對角的角落上停下來呢?

　　王后的走法

　　王后的走法是既可對角移動，也可像車一樣前、后、左、右移動，所以她的變化較多。圖3顯示王后走法的一個例子。該路徑為一對稱形態(tài)，且在一角落上開始而終止于另一角落。圖4所顯示的路徑為一循環(huán)回路，但不對稱。

　　想想看，王后有沒有可能形成對稱的'循環(huán)回路呢?

　　如果王后可經(jīng)過棋盤上的每一格多次，則可能在棋盤上形成一條通過每一格的循環(huán)回路，且只需13次改變方向。你能發(fā)現(xiàn)此一路徑嗎?

　　圖5顯示的王后路徑有一個很誘人的性質，也就是如果將王后走過的每一方格加以連續(xù)編號，圖中標示S的方格為1，則這些數(shù)字將組成一魔術方塊。有興趣的話可以試試看。

　　象的走法

　　象的走法是對角移動，如果他從圖中黑色方格出發(fā)的話，也只能移動到另一黑色方格，他沒有辦法在不重復進入一方格的條件下經(jīng)過圖中所有黑色方格。為什么呢?

　　圖6的路徑中遺漏了6個黑方格。你能找出更好的路徑嗎?

　　如果象可重復進入一方格的話，那就有可能從棋盤上的一個角落出發(fā)，終止于對角的方格上。該如何走呢?

　　解答與分析

　　走一條一循環(huán)回路至少需改變15次方向，請參見圖1。走一非循環(huán)回路至少需改變14次方向才可完成，參見圖2。

　　不可能使得車從棋盤上的一個角落出發(fā)，經(jīng)過棋盤上的每一格一次而在對角的角落上停下。將一車從左上角移到右上角，必須向右及向上各移7格。所以總共移動了14格。任一路徑其向左移動的格數(shù)必定與向右移動的格數(shù)相平衡，而向上移動的格數(shù)也必定與向下移動的格數(shù)相平衡，因此要移到右上角的方格時，所走過的方格數(shù)必須為偶數(shù)，但是完成該項路徑時，只需移動63步。由此可知兩項推論相矛盾，所以不可能產(chǎn)生此條路徑。

　　如果車從棋盤上的左下角出發(fā)，然后經(jīng)過棋盤上的每一格一次，那它可能在哪一個方塊上停下來呢?

　　車所能執(zhí)行的任何路徑，王后也必定能達到，所以在此我們感興趣的是含有對角移動的路徑。對稱循環(huán)回路較好的例子為王后的魔術路徑，圖3為四重轉動對稱的循環(huán)回路。

　　圖4為王后可經(jīng)過棋盤上的每一格多次，且在棋盤上形成一條通過每一格的循環(huán)回路，其中只有13次的方向改變。

　　象的走法

　　如果象從圖中黑色方塊出發(fā)的話，能走過所有黑色方塊的路徑，必定以黑色方塊為起點及終點。

　　假設此種路徑由圖5中標示1的方塊開始，隨后象走到方塊2，此后他只能在方塊3及4之中做一選擇。假設象走到方塊3，那么整個路徑必定終止于方塊4，因為方塊4對外連接的路徑只有一條——經(jīng)過方塊5，所以進入之后就無法再出來了。但是本題的要求是終止于對角的方塊上，因此由上面的推論可知不可能產(chǎn)生這樣一條的路徑。

　　如果象不可重復進入一方塊的話，那最多可走過29個黑色方塊。你再怎么試總是有3個黑色方塊無法進入。圖6顯示其中的一組解。

　　在可重復進入一方塊的條件下，走過所有方塊的最有效路徑中。

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