奧數(shù)數(shù)論問題解析約數(shù)與倍數(shù)
已知x、y為正整數(shù)，且滿足xy—（x+y）=2p+q，其中p、q分別是x與y的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，求所有這樣的`數(shù)對（x，y）（x≥y）
考點：約數(shù)與倍數(shù)。
分析：此題需分類討論，①當(dāng)x是y的倍數(shù)時，設(shè)x=ky（k是正整數(shù)）。解方程k（y—2）=3;②當(dāng)x不是y的倍數(shù)時，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp。解方程abp—1=（a—1）（b—1）即可。解答：解：①當(dāng)x是y的倍數(shù)時，設(shè)x=ky（k是正整數(shù)）。
則由原方程，得
kyy—（ky+y）=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky—（k+1）=2+k，
∴k（y—2）=3，
當(dāng)k=1時，x=5，y=5;
當(dāng)k=3時，x=9，y=3;
②當(dāng)x不是y的倍數(shù)時，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp，代入原式
得：abp2—（ap+bp）=2p+abp，即abp—1=（a—1）（b+1）
當(dāng)p=1時，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時不滿足條件;
當(dāng)p>1時，abp≥2ab—1=ab+（ab—1）≥ab>（a—1）（b—1）
此時，abp—1=（a—1）（b+1）不滿足條件;
綜上所述，滿足條件的數(shù)對有
點評：
本題主要考查的是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。由于兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，就可以先求出它們的最大公約數(shù)，然后用上述公式求出它們的最小公倍數(shù)。
【奧數(shù)數(shù)論問題解析約數(shù)與倍數(shù)】相關(guān)文章：
約數(shù)倍數(shù)小學(xué)奧數(shù)題及解析07-23
關(guān)于奧數(shù)題約數(shù)倍數(shù)問題及答案07-19
關(guān)于奧數(shù)專題之約數(shù)倍數(shù)的問題08-01
關(guān)于奧數(shù)專題之約數(shù)倍數(shù)問題07-31
初中奧數(shù)數(shù)論約數(shù)與倍數(shù)知識點07-21
奧數(shù)約數(shù)倍數(shù)問題高難度題及答案07-23