數(shù)的整除問題奧數(shù)題及答案
數(shù)的整除問題奧數(shù)題及答案1
試問，能否將由1至100這100個(gè)自然數(shù)排列在圓周上，使得在任何5個(gè)相連的數(shù)中，都至少有兩個(gè)數(shù)可被3整除?如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法;如果回答：“不能”，則需給出說明.
考點(diǎn)：數(shù)的整除特征.
分析：根據(jù)題意，可采用假設(shè)的方法進(jìn)行分析，100個(gè)自然數(shù)任意的5個(gè)數(shù)相連，可以分成20個(gè)組，使得在任何5個(gè)相連的數(shù)中，都至少有兩個(gè)數(shù)可被3整除，那么會(huì)有40個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，事實(shí)上在1至100的自然數(shù)中只有33個(gè)是3倍數(shù)，所以不能.
解答：假設(shè)能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個(gè)數(shù)，
按所排列順序?qū)⑺鼈兠?個(gè)分為一組，可得20組，
其中每兩組都沒有共同的數(shù)，于是，在每一組的5個(gè)數(shù)中都至少有兩個(gè)數(shù)是3的倍數(shù).
小學(xué)五年級數(shù)的整除問題奧數(shù)題及答案：從而一共會(huì)有不少于40個(gè)數(shù)是3的倍數(shù).但事實(shí)上在1至100的這100個(gè)自然數(shù)中只有33個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，
導(dǎo)致矛盾，所以不能.
答：不能.
數(shù)的整除問題奧數(shù)題及答案2
數(shù)的整除性規(guī)律
【能被2或5整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除
【能被3或9整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3和9整除時(shí)，這個(gè)數(shù)便能被3或9整除。
例如，1248621各位上的數(shù)字之和是1+2+4+8+6+2+1=24
3|24，則3|1248621。
又如，372681各位上的數(shù)字之和是3+7+2+6+8+1=27
9|27，則9|372681。
【能被4或25整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末兩位數(shù)能被4或25整除時(shí)，這個(gè)數(shù)便能被4或25整除。
例如，
173824的末兩位數(shù)為24，4|24，則4|173824。
43586775的末兩位數(shù)為75，25|75，則25|43586775。
【能被8或125整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字為0，或者末三位數(shù)能被8或125整除時(shí)，這個(gè)數(shù)便能被8或125整除。
例如，
32178000的末三位數(shù)字為0，則這個(gè)數(shù)能被8整除，也能夠被125整除。
3569824的末三位數(shù)為824，8|824，則8|3569824。
214813750的末三位數(shù)為750，125|750，則125|214813750。
【能被7、11、13整除的數(shù)的特征】一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字所表示的數(shù)，與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)的差(大減小的差)能被7、11、13整除時(shí)，這個(gè)數(shù)就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位數(shù)為523，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，則7|75523。
又如，1095874的末三位數(shù)為874，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是1095，1095-874=221，221÷13=17，即13|221，則13|1095874。
再如，868967的末三位數(shù)為967，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是868，967-868=99，99÷11=9，即11|99，則11|868967。
此外，能被11整除的數(shù)的特征，還可以這樣敘述：一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的奇數(shù)位上數(shù)字之和，與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差(大減小)能被11整除時(shí)，則這個(gè)數(shù)便能被11整除。
例如，4239235的奇數(shù)位上的數(shù)字之和為4+3+2+5=14，偶數(shù)位上數(shù)字之和為2+9+3=14，二者之差為14-14=0，0÷11=0，即11|0，則11|4239235。
數(shù)的整除問題奧數(shù)題及答案3
從左向右編號為1至1991號的1991名同學(xué)排成一行，從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的同學(xué)原地不動(dòng)，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的留下，其余同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)到11的同學(xué)留下，其余同學(xué)出列，那么最后留下的'同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號是（）號。
考點(diǎn)：整除問題．
分析：第一次報(bào)數(shù)留下的同學(xué)，最初編號都是11的倍數(shù)；這些留下的繼續(xù)報(bào)數(shù)，那么再留下的學(xué)生最初編號就是11×11=121的倍數(shù)，依次類推即可得出最后留下的學(xué)生的最初編號．
解：第一次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)最初編號都是11倍數(shù)；
第二次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)最初編號都是121的倍數(shù)；
第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)最初編號都是1331的倍數(shù)；
所以最后留下的只有一位同學(xué)，他的最初編號是1331；
答：從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號是1331號．
點(diǎn)評：根據(jù)他們的報(bào)數(shù)11，得出每次留下的學(xué)生的最初編號都是11的倍數(shù)，是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．
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