有關(guān)數(shù)學(xué)教育與培養(yǎng)創(chuàng)新精神的分析
一．期望與困惑
電子信息技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用都促進(jìn)了相關(guān)系統(tǒng)的現(xiàn)代化進(jìn)程，很自然的讓我們企望信息技術(shù)的應(yīng)用帶來(lái)教育的現(xiàn)代化。多年來(lái)大家做了許多的努力，從實(shí)踐、理論等多方面圍繞計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)進(jìn)行研究。
我們?cè)谟?jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)驗(yàn)、研究和推廣也做了大量的工作，尤其是在輔助教學(xué)”課件”的開發(fā)及推廣方面投入了相當(dāng)多的人力和物力。隨著計(jì)算機(jī)設(shè)備和開發(fā)技術(shù)的提高，無(wú)論是專業(yè)人員制作或是業(yè)余開發(fā)的”課件”都有很不錯(cuò)的成品。
其中不少”課件”的設(shè)計(jì)確實(shí)參照了優(yōu)秀教師成功的課例，制作的界面也十分漂亮，在交流和評(píng)比中也能得到良好的評(píng)價(jià)。大家希望通過(guò)推廣這些編寫”課件”推動(dòng)各學(xué)科的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。確實(shí)，一些地區(qū)、很多學(xué)校都在花費(fèi)相當(dāng)多的力量從事各種”課件”的開發(fā)，有一些專業(yè)的軟件公司也在這方面投入了不小的資本及人力。
當(dāng)我們冷靜地考察幾年來(lái)努力的效果時(shí)，不無(wú)遺憾地看到推廣計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的實(shí)際情況與大家的期望相距甚遠(yuǎn)。即使是在評(píng)價(jià)時(shí)得到好評(píng)、獲得獎(jiǎng)項(xiàng)的軟件作品，推廣也極其困難。大多數(shù)教師雖然能對(duì)某些”課件”客觀地給予肯定的評(píng)價(jià)，但是常常認(rèn)為與自己的教學(xué)設(shè)想不同，而要讓一個(gè)”課件”能夠適合很多教師的口味實(shí)在是難以辦到的。即使是專業(yè)軟件公司開發(fā)的商品”課件”，學(xué)校和家長(zhǎng)購(gòu)買以后也多數(shù)未能發(fā)揮輔助教學(xué)的效果。
相當(dāng)多的學(xué)校投入不少資金，很多教師辛辛苦苦制作的一些”課件”,并沒(méi)有能夠在教學(xué)質(zhì)量的提高上發(fā)揮多大的作用。不少只是參與評(píng)比的作品，或是準(zhǔn)備迎接參觀和檢查的點(diǎn)綴與擺設(shè)。這種情況使我們這些熱衷與計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的人們，陷入了深深的困惑。
二．總結(jié)與思考
為了尋求推廣計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的有效途徑，為了讓計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)一定要成為提高教學(xué)質(zhì)量、推動(dòng)教育改革、促進(jìn)教育現(xiàn)代化的有效因素，必需進(jìn)行認(rèn)真的思考。
應(yīng)該肯定計(jì)算機(jī)為核心的電子信息技術(shù)作為工具用于教育，對(duì)教育現(xiàn)代化是絕對(duì)必要的，不過(guò)怎樣用、如何用好是有講究的。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)就是要將計(jì)算機(jī)作為工具，用于教學(xué)工作的各方面(積累資料、備課、講課、練習(xí)、測(cè)試等等),具體的模式和應(yīng)用方法當(dāng)然是多元化的，包括制作與使用一些”課件”.
但是目前多數(shù)”課件”制作后難于推廣的事實(shí)，值得我們認(rèn)真反思。由于這些課件雖然是使用了計(jì)算機(jī)，比單純的教師講課有一定的優(yōu)越性，但是并沒(méi)有超越教師講、學(xué)生聽的基本模式，只是由計(jì)算機(jī)來(lái)幫助教師講，而各位教師在”講”法上的安排是變化多端的，課件成品難以滿足這些要求。
尤其目前的很多”課件”的設(shè)計(jì)方案來(lái)源于一些教師沒(méi)有使用計(jì)算機(jī)的環(huán)境下教學(xué)的”經(jīng)驗(yàn)”,這種情況下應(yīng)用計(jì)算機(jī)雖然也可能有一些好處，但是對(duì)于教學(xué)質(zhì)量的提高難以有很大的作用，并不能真正發(fā)揮現(xiàn)代化教育手段的優(yōu)勢(shì)。
出路在那里？我們考慮要認(rèn)真對(duì)計(jì)算機(jī)的應(yīng)用與各科教學(xué)的”整合”進(jìn)行切實(shí)的實(shí)驗(yàn)和研究。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)是否成功，主要不在計(jì)算機(jī)技術(shù)上而在各科教學(xué)的設(shè)計(jì)和改革上。各學(xué)科教學(xué)在應(yīng)用計(jì)算機(jī)時(shí)的要求和重點(diǎn)是不相同的，一定是與本學(xué)科教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法的特點(diǎn)來(lái)定的，各學(xué)科計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)是否成功將反映該學(xué)科教學(xué)研究的水平。
在”整合過(guò)程中也不排除使用”課件”,不過(guò)我們不主張動(dòng)員很多教師都去編寫課件，而是希望教師盡量選擇已有的.成品軟件.當(dāng)然不是盲目地搬用,是要在充分理解軟件設(shè)計(jì)意圖的基礎(chǔ)上，有自己的教學(xué)安排有機(jī)地整合起來(lái)。達(dá)到有效的提高教學(xué)質(zhì)量的目標(biāo)。
當(dāng)然我們更關(guān)注在”整合實(shí)踐中尋找哪些應(yīng)用模式和軟件系統(tǒng)，真正適合多數(shù)教師能接受、又確實(shí)便于推廣�，F(xiàn)在我們認(rèn)為各學(xué)科的”教學(xué)信息資源庫(kù)”和某些專業(yè)學(xué)科的”智能教學(xué)工具平臺(tái)”可能是利于推廣的兩種輔助教學(xué)軟件系統(tǒng)。
“教學(xué)信息資源庫(kù)”是指利用電子信息系統(tǒng)建立的，儲(chǔ)存了本學(xué)科的大量可用于教學(xué)的資料的數(shù)據(jù)庫(kù)。由于現(xiàn)在已有的多媒體超文本編輯功能、光盤存儲(chǔ)技術(shù)、大容量高性能服務(wù)器以及因特網(wǎng)應(yīng)用的發(fā)展，建設(shè)和應(yīng)用這樣的”資源庫(kù)”并不困難。這樣的系統(tǒng)讓教師備課中可能占有海量的教學(xué)信息，也能向?qū)W生提供自主、互助和探索性學(xué)習(xí)的支持環(huán)境，是用于計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的有效軟件系統(tǒng)。學(xué)校有能力逐步積累自己各學(xué)科的”教學(xué)信息資源庫(kù)”，也可以購(gòu)買市場(chǎng)上的成品充實(shí)學(xué)校的”資源庫(kù)”。教師個(gè)人也可能在自用的微機(jī)系統(tǒng)上建立小型的”資源庫(kù)”，從學(xué)校的服務(wù)器上分享資源、從因特網(wǎng)資料、積累本人的經(jīng)驗(yàn)，提高自己的業(yè)務(wù)水平。
適合各學(xué)科教學(xué)的”智能工具平臺(tái)”目前還不多，就數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)這類可用的軟件(包括附帶硬件的)倒是不少，例如:TI公司的”圖形計(jì)算器”、張景中院士研制的”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”、”幾何畫板”等等都是這類系統(tǒng)。
幾年來(lái)我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)科的”整合”實(shí)踐中，應(yīng)用”幾何畫板”的輔助教學(xué)實(shí)驗(yàn)獲得了不少的成果，尤其在培養(yǎng)學(xué)生”創(chuàng)新思想”和”實(shí)踐能力”方面，得到了令人驚喜的突破。本文將列出若干實(shí)際的課例，向讀者做簡(jiǎn)單的介紹。
三．實(shí)踐與收獲
1.在動(dòng)態(tài)中表達(dá)幾何關(guān)系的圖版
“幾何畫板”是美國(guó)軟件“TheGeometer’sSketchpad”的漢化版，打開“幾何畫板”后我們看到的界面，就像一塊黑板（圖1）。圖版的左側(cè)是一列工具圖標(biāo)：移動(dòng)、畫點(diǎn)、畫圓、畫線、和文字工具�？梢杂眠@些工具按照尺規(guī)作圖的法則畫出各種幾何圖形。
畫出的圖形與黑板上的圖形不同是動(dòng)態(tài)的,在動(dòng)態(tài)中保持設(shè)定的幾何關(guān)系不變。例如（圖2）在畫板上任意取A、B、C三點(diǎn)，連接成三角形同時(shí)作出AB邊上的中點(diǎn)D。此時(shí)利用“移動(dòng)”工具拉動(dòng)A點(diǎn)就看到了一個(gè)變化著的三角形，在變化中D點(diǎn)保持為AB線段的中點(diǎn)。
同樣可以拉動(dòng)B、C兩點(diǎn)或是移動(dòng)三角形的邊（亦能運(yùn)用一些技巧讓某幾個(gè)元素同時(shí)移動(dòng)）。如果作出三角形ABC三條邊上的中線，就可以在這種動(dòng)態(tài)變化中清楚觀察到“任意三角形三中線交于一點(diǎn)”的現(xiàn)象。過(guò)去討論這一條幾何定理是必須依靠邏輯證明的，現(xiàn)在利用“幾何畫板”可以根據(jù)觀察來(lái)確認(rèn)這個(gè)事實(shí)。
還可以利用系統(tǒng)提供的其它功能(例如度量的功能,動(dòng)態(tài)地觀察有關(guān)的數(shù)據(jù))，來(lái)發(fā)現(xiàn)圖形中存在的規(guī)律和各種關(guān)系。就是可以用一種區(qū)別于傳統(tǒng)手段的，全新的、更加直觀的過(guò)程來(lái)學(xué)習(xí)幾何。
“幾何畫板”用于立體幾何教學(xué)也很好。這是學(xué)習(xí)立體幾何必需具有”空間想像能力”，對(duì)不少初學(xué)者是一個(gè)難關(guān)。由于用“幾何畫板”畫出的圖形中的若干元素可以適當(dāng)?shù)匾苿?dòng)，就可能幫助初學(xué)者較快地培養(yǎng)空間想像能力。
2.探索性學(xué)習(xí)的直觀環(huán)境
過(guò)去我們討論同一個(gè)圓內(nèi)，對(duì)應(yīng)一段弧的圓周角與圓心角的關(guān)系，必需要靠證明。現(xiàn)在可以(如圖3)：在圓O上任意作出C、D、E三點(diǎn)，得到圓周角CDE和圓心角COD；度量出它們的角度，就能看出是圓周角為圓心角的一半。然后在圓上移動(dòng)E點(diǎn)，度量的值將隨著E點(diǎn)的移動(dòng)而變化，總能看到圓周角是圓心角的一半的關(guān)系。
我們還可以移動(dòng)D點(diǎn)，將看到所有的度量值不變化。其實(shí)這也是一個(gè)定理：“同弧上的圓周角相等”。當(dāng)D點(diǎn)移動(dòng)到與C、O在同一直線上時(shí)，就是證明圓周角有關(guān)定理的特殊位置。這說(shuō)明利用“幾何畫板”對(duì)圖形觀察的過(guò)程中，也是可能啟發(fā)我們得到進(jìn)行邏輯證明的思路。圓O的大小和位置也是能夠變化的，從而保證了動(dòng)態(tài)觀察和分析的普遍性。
上述過(guò)程可以是在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生獨(dú)立或分組進(jìn)行觀察和分析，不必用教師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)教學(xué)方式進(jìn)行。這就實(shí)現(xiàn)了又充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用、又使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，是一個(gè)探索性學(xué)習(xí)的直觀環(huán)境，是一種新型的教學(xué)模式。
其實(shí)“幾何畫板”提供的動(dòng)態(tài)幾何環(huán)境，不僅一般地幫助學(xué)生直觀地去理解教師指定的圖形或問(wèn)題。而是能為學(xué)生提供了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)造能力的實(shí)踐園地。甚至可以讓他們對(duì)一些“異想天開”設(shè)想的幾何圖形系統(tǒng)，實(shí)施動(dòng)態(tài)的觀察和分析研究。例如圖4:在圓O上任取一點(diǎn)E和圓外一點(diǎn)F作一線段，過(guò)線段中點(diǎn)G作垂線，若E點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)則垂線將跟隨著運(yùn)動(dòng)，我們想知道垂線的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在這個(gè)設(shè)定的條件下，是可以討論（推導(dǎo)）出某些結(jié)果的，但是對(duì)一般的學(xué)生（甚至對(duì)教師）來(lái)講實(shí)在是要求太高了，在傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)環(huán)境下無(wú)論是觀察和推導(dǎo)都很困難。
現(xiàn)在就不一樣了，可以在“幾何畫板”上讓E點(diǎn)在圓上移動(dòng)，同時(shí)跟蹤（使垂線現(xiàn)出軌跡）觀察垂線的運(yùn)動(dòng)看看出現(xiàn)什么，然后再作進(jìn)一步的分析和思考。圖5、6、7就是分別讓F點(diǎn)在圓外較遠(yuǎn)處、較近處、F點(diǎn)在圓內(nèi)，三種不同位置在圖上留下的垂線軌跡�？吹竭@些直觀圖不難產(chǎn)生一些猜想：直線軌跡的包絡(luò)線是二次曲線族（橢圓、雙曲線、拋物線）？同學(xué)和教師可能有能力進(jìn)一步的分析和討論，發(fā)現(xiàn)這組圖形中許多有趣的現(xiàn)象和規(guī)律。
學(xué)生還可以在平時(shí)解幾何問(wèn)題時(shí)，根據(jù)給定的已知條件，用“幾何畫板”作出草圖然后去求解。由于在“幾何畫板”上作出的草圖不但準(zhǔn)確而且是“動(dòng)態(tài)的”，學(xué)生可能在它的動(dòng)態(tài)變化中的某些特殊位置，找到求解的思路。
3.培養(yǎng)創(chuàng)造性能力的實(shí)踐園地
在使用“幾何畫板”給予學(xué)生探索性學(xué)習(xí)的環(huán)境以后，我們看到了培養(yǎng)他們創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的奇特效果。
其實(shí)“幾何畫板”提供的動(dòng)態(tài)幾何環(huán)境，不僅一般地幫助學(xué)生直觀地去理解教師指定的圖形或問(wèn)題。而是能為學(xué)生提供了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)造能力的實(shí)踐園地。甚至可以讓他們對(duì)一些“異想天開”設(shè)想的幾何圖形系統(tǒng)，實(shí)施動(dòng)態(tài)的觀察和分析研究。
圖4是初中幾何課本中的一個(gè)習(xí)題，從圓O任意一條弦的中點(diǎn)E作兩根直線與圓交得四個(gè)點(diǎn)，連接兩條線段后得圖形像一只蝴蝶，兩線段與弦分別交于L、M兩點(diǎn)則有：
LE=EM
即蝴蝶兩翼截得的線段相等，稱為“蝴蝶定理”。
有這樣一位同學(xué)，他不滿足于一般的證明完成這個(gè)練習(xí)。首先他使用“幾何畫板”的”度量”功能，通過(guò)移動(dòng)E點(diǎn)觀察兩線段長(zhǎng)度確實(shí)相等，“看到了”定理是成立的。
他加了一個(gè)同心圓（圖5），兩圓與直線交得八個(gè)點(diǎn)，連接得一擴(kuò)展的蝴蝶，其兩翼與弦交得四點(diǎn)。他猜想左側(cè)線段SE、TE與右側(cè)線段EU、EV也應(yīng)該有某種等式關(guān)系。他猜想可能有SE+TE=EU+EV或
SE*TE=EU*EV
這樣的猜想并不希奇，但在傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)環(huán)境下這些猜想很難證實(shí)或否定，最后只能不了了之掩滅了創(chuàng)造的火花�，F(xiàn)在他利用“幾何畫板”度量了這些線段的長(zhǎng)度，并進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算的結(jié)果否定了他的兩個(gè)猜想。
這位同學(xué)沒(méi)有停止探求，在他鍥而不舍的努力下終于找到了它們之間的等式關(guān)系：
SE*TE/(SE+TE)=EU*EV/(EU+EV)
利用“幾何畫板”的度量和計(jì)算，找到了這個(gè)有趣的關(guān)系式并完成了證明，他命名其為“廣義蝴蝶定理”。此后他還對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行了更多的擴(kuò)展和深入的分析研究，這是一個(gè)多么令人興奮的成果�。�
中學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中的發(fā)現(xiàn)是否有價(jià)值并不重要,運(yùn)用”智能教學(xué)工具平臺(tái)培養(yǎng)了他的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造性思維的能力，是很有意義的。
其實(shí)，在目前已經(jīng)知道的學(xué)生或?qū)W生與教師共同運(yùn)用“幾何畫板”安排探索性教、學(xué)的過(guò)程中，一些創(chuàng)新的命題和成果，也有很多是有價(jià)值的。
我們正繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)用”幾何畫板”等”平臺(tái)”,推廣計(jì)算機(jī)輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)驗(yàn)，希望能夠有所突破，找到有效的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑和模式。并總結(jié)在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的方法和經(jīng)驗(yàn)。
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