人教版高一數(shù)學必修一知識點

　　上學期間，相信大家一定都接觸過知識點吧！知識點就是學習的重點。哪些才是我們真正需要的知識點呢？以下是小編幫大家整理的高一數(shù)學必修一知識點，希望對大家有所幫助。

　　一、集合(jihe)有關概念

　　1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

　　2、集合的中元素的三個特性：

　　1、元素的確定性;2、元素的互異性;3、元素的無序性

　　說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

　　(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

　　(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

　　(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

　　3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋

　　記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作aA

　　列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

　　描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

　　①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　�、跀�(shù)學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR|x-3>2}或{x|x-3>2}

　　4、集合的分類：

　　1、有限集含有有限個元素的集合

　　2、無限集含有無限個元素的集合

　　3、空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　（一）、集合間的基本關系

　　1、“包含”關系—子集注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

　　2、“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

　　結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

　　①任何一個集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

　　③如果AB,BC,那么AC

　�、苋绻鸄B同時BA那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，記為

　　規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　二、集合的運算

　　1、交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集、

　　記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}、

　　2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩�合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}、

　　3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

　　A∪φ=A,A∪B=B∪A、

　　4、全集與補集

　　(1)補集：設S是一個集合，A是S的一個子集(即)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)

　　記作：CSA即CSA={xxS且xA}

　　(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

　　(3)性質(zhì)：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=⑶(CUA)∪A=U

　　三、函數(shù)的有關概念

　　1、函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f(x)，x∈A其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。

　　注意：○2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合;○3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式。

　　定義域補充

　　能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于于1、(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的，那么它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合。(6)指數(shù)為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義。

　　(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

　　2、構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域

　　再注意：(1)構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域，由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))(2)兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備)

　　(見課本21頁相關例2)

　　值域補充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應先考慮其定義域。(2)、應熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復雜函數(shù)值域的基礎。

　　3、函數(shù)圖象知識歸納

　　(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象。

　　C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

　　圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

　　(2)畫法

　　A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內(nèi)描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來。

　　B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))

　　常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

　　(3)作用：

　　1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

　　發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

　　4、快去了解區(qū)間的概念

　　(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示、

　　5、什么叫做映射

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”

　　給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B。且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的;③對于映射f：A→B來說，則應滿足：(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　6、常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

　　○1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù);○2解析法：必須注明函數(shù)的定義域;○3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;○4列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征。

　　注意�。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮�(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值

　　補充一：分段函數(shù)(參見課本P24-25)

　　在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況。(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集、

　　補充二：復合函數(shù)

　　如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復合函數(shù)。

　　例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)

　　7、函數(shù)單調(diào)性

　　(1)、增函數(shù)

　　設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1

　　如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間。

　　注意：○1函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的.局部性質(zhì);

　　○2必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2;當x1

　　(2)圖象的特點

　　如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的。

　　(3)、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

　　(A)定義法：

　　○1任取x1，x2∈D，且x1

　　(B)圖象法(從圖象上看升降)_

　　(C)復合函數(shù)的單調(diào)性

　　復合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律如下：

　　函數(shù)單調(diào)性

　　u=g(x)增增減減

　　y=f(u)增減增減

　　y=f[g(x)]增減減增

　　注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集。2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數(shù)法判定單調(diào)性嗎?

　　8、函數(shù)的奇偶性

　　(1)偶函數(shù)

　　一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)。

　　(2)、奇函數(shù)

　　一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)。

　　注意：○1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

　　○2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則-x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關于原點對稱)。

　　(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

　　偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱。

　　總結：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱;○2確定f(-x)與f(x)的關系;○3作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)、

　　注意�。汉瘮�(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)、若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定。

　　9、函數(shù)的解析表達式

　　(1)、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域。

　　(2)、求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構造時，可用待定系數(shù)法;已知復合函數(shù)f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍;當已知表達式較簡單時，也可用湊配法;若已知抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)

　　10、函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

　　○1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值○2利用圖象求函數(shù)的最大(小)值○3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

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