高一數(shù)學(xué)集合知識點整理
在日常過程學(xué)習(xí)中，大家都背過不少知識點，肯定對知識點非常熟悉吧！知識點也可以理解為考試時會涉及到的知識，也就是大綱的分支。還在為沒有系統(tǒng)的知識點而發(fā)愁嗎？以下是小編為大家整理的高一數(shù)學(xué)集合知識點整理，僅供參考，大家一起來看看吧。
高一數(shù)學(xué)知識點整理 1
一、知識歸納：
1．集合的有關(guān)概念。
1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）。其中每一個對象叫元素。
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
�、诩现械脑鼐哂写_定性（aA，二者必居其一）、互異性（若aA，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。
�、奂暇哂袃煞矫娴囊饬x，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無限集，空集。
4）常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N
2．子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。
1）子集：若對x∈A都有x∈B，則A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；記為A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5）補集：CUA={x| x A但x∈U}
注意：①A，若A≠，則A ；
②若 ， ，則 ；
�、廴� ,且 ，則A=B（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：（1） 與 、 的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。
4．有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系
�、貯∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
�、蹵∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集運算的性質(zhì)
�、貯∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A；
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
6．有限子集的個數(shù)：設(shè)集合A的元素個數(shù)是n，則A有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。
二、例題講解：
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關(guān)系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合M：{x|x= ,m∈Z}；對于集合N：{x|x= ,n∈Z}
對于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。
點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合 ， ，則（ B ）
A．M=N B．M N C．N M D．
解：
當(dāng) 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B
【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數(shù)為
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：確定集合AB子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵AB={x|x∈A且x B}， ∴AB={1,7}，有兩個元素，故AB的子集共有22個。選D。
變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6a∈M，那么集合M的個數(shù)為
A）5個 B）6個 C）7個 D）8個
變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析 本題集合A的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x24x+rr=0},且A∩B={1},A∪B={2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴124×1+r=0,r=3.
∴B={x|x24x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={2,1,3},2 B, ∴2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數(shù)b,c,m的值。
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1
分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。
解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。
綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
點評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。
變式2：設(shè)M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M(jìn)∩N=N, ∴N M
�、佼�(dāng) 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于x的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。
解答：
點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進(jìn)行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。
三、隨堂演練
選擇題
1． 下列八個關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
�、�0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個數(shù)
�。ˋ）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
�。ˋ）5個 （B）6個 （C）7個 （D）8個
3．集合A={x } B={ } C={ }又 則有
�。ˋ）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一個
4．設(shè)A、B是全集U的兩個子集，且A B，則下列式子成立的是
�。ˋ）CUA CUB （B）CUA CUB=U
�。–）A CUB= （D）CUA B=
5．已知集合A={ }， B={ }則A =
�。ˋ）R （B）{ }
�。–）{ } （D）{ }
6．下列語句：（1）0與{0}表示同一個集合； （2）由1，2，3組成的集合可表示為
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正確的是
（A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）
（C）只有（2） （D）以上語句都不對
7．設(shè)S、T是兩個非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=
�。ˋ）X （B）T （C） （D）S
8設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式ax2+bx+c 0的解集為
�。ˋ）R （B） （C）{ } （D）{ }
填空題
9.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的集合可表示為
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，則x=
11.若A={x } B={x },全集U=R，則A =
12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個負(fù)根，則k的取值范圍是
13設(shè)集合A={ },B={x },且A B，則實數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集U={x 為小于20的非負(fù)奇數(shù)}，若A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13，17，19}，又（CUA） （CUB）= ，則A B=
解答題
15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求實數(shù)a。
16(12分)設(shè)A= ， B= ，
其中x R,如果A B=B，求實數(shù)a的取值范圍。
四、習(xí)題答案
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B C B C D D
填空題
9．{(x,y) }
10.0,
11.{x ,或x 3}
12.{ } 13.{ }
14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示：A={0，-4}，又A B=B，所以B A
（Ⅰ）B= 時， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}時， 0 得a=-1
�。á螅〣={0，-4}， 解得a=1
綜上所述實數(shù)a=1 或a -1
高一數(shù)學(xué)知識點整理 2
�。�1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點
�。�2）兩個平面的位置關(guān)系：
兩個平面平行——沒有公共點；兩個平面相交——有一條公共直線。
a、平行
兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。
兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。
b、相交
二面角
�。�1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。
�。�2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°]
�。�3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。
�。�4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。
（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
�。�6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
兩平面垂直
兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為⊥
兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直
兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。
二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補關(guān)系）
棱錐
棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐。
棱錐的性質(zhì)：
�。�1）側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形
�。�2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方
正棱錐
正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質(zhì)：
�。�1）各側(cè)棱交于一點且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。
�。�3）多個特殊的直角三角形
a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
集合
集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。這里的“事物”可以是人，物品，也可以是數(shù)學(xué)元素。例如：
1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：緊急～。
2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素：有理數(shù)的～。
3、口號等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念，如集合論：集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論�？低校–antor，G、F、P、，1845年—1918年，德國數(shù)學(xué)家先驅(qū)，是集合論的創(chuàng)始者，目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。
集合，在數(shù)學(xué)上是一個基礎(chǔ)概念。什么叫基礎(chǔ)概念？基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。集合
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起，使之成為一個整體（或稱為單體），這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素（或簡稱為元）。
集合與集合之間的關(guān)系
某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ�？占侨魏渭系淖蛹�，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。
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一、點、線、面概念與符號
平面α、β、γ，直線a、b、c，點A、B、C;
A∈a——點A在直線a上或直線a經(jīng)過點;
aα——直線a在平面α內(nèi);
α∩β= a——平面α、β的交線是a;
α∥β——平面α、β平行;
β⊥γ——平面β與平面γ垂直.
二、點、線、面常用定理
1.異面直線判斷定理
過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.
2.線與線平行的判定定理
(1)平行于同一直線的兩條直線平行;
(2)垂直于同一平面的兩條直線平行;
(3)如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行;
(4)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行;
(5)如果一條直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個平面的交線.
3.線與線垂直的判定
若一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線.
4.線與面平行的判定
(1)平面外一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行;
(2)若兩個平面平行，則在一個平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個平面.
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一、集合有關(guān)概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個特性：
(1) 元素的確定性,
(2) 元素的互異性,
(3) 元素的無序性,
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。
? 注意：常用數(shù)集及其記法：
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作：N
正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R
1) 列舉法：{a,b,c……}
2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) Venn圖:
4、集合的分類：
(1) 有限集 含有有限個元素的集合
(2) 無限集 含有無限個元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2.“相等”關(guān)系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)
實例：設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
�、廴绻� A?B, B?C ,那么 A?C
�、� 如果A?B 同時 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
?有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 并 集 補 集
定 義 由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.
由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集.記作：A B(讀作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).
設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)
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如果直線a與平面α平行，那么直線a與平面α內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系?
平行或異面。
若直線a與平面α平行，那么在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有多少條?這些直線的位置關(guān)系如何?
無數(shù)條;平行。
如果直線a與平面α平行，經(jīng)過直線a的平面β與平面α相交于直線b，那么直線a、b的位置關(guān)系如何?為什么?
平行;因為a∥α，所以a與α沒有公共點，則a與b沒有公共點，又a與b在同一平面β內(nèi)，所以a與b平行。
綜上分析，在直線a與平面α平行的條件下我們可以得到什么結(jié)論?
如果一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。
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