球面幾何與歐式幾何的比較

　　球面幾何與歐式幾何的比較 要說到幾何，大多數(shù)人便會(huì)想到運(yùn)用并流傳了幾千年的歐式幾何，這是毋庸置疑的。歐式幾何在我們的生活中運(yùn)用太廣泛了。從我們開始接觸幾何問題，和我們生活中所接觸到的一些幾何問題大部分都是歐式幾何。歐式幾何是幾何學(xué)的一門分科，又稱歐幾里德幾何。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德把人們公認(rèn)的一些幾何知識(shí)作為定義和公理，在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，推導(dǎo)出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。歐式幾何的傳統(tǒng)描述是一個(gè)公理系統(tǒng)，通過有限的公理來證明所有的“真命題”。歐式幾何共有五條公理，其中前四個(gè)都是可以通過各種方法來證明的，并被眾人接受。唯有公理5使許多人不能被理解所接受。于是由此問題，我們又有了一個(gè)巨大的發(fā)現(xiàn)，也是人類歷史上的重大轉(zhuǎn)變。那就是非歐幾何的出現(xiàn)。歐式幾何所能解決的只限于平面，從而偉大的第五公理就這樣在非歐幾何中得證。

　　球面幾何

　　球面幾何學(xué)是在二維的球面表面上的幾何學(xué)，也是非歐幾何的一個(gè)例子。在平面幾何中，基本的觀念是點(diǎn)和線。在球面上，點(diǎn)的觀念和定義依舊不變，但線不再是“直線”，而是兩點(diǎn)之間最短的距離，稱為最短線。在球面上，最短線是大圓的弧，所以平面幾何中的線在球面幾何中被大圓所取代。同樣的，在球面幾何中的角被定義在兩個(gè)大圓之間。結(jié)果是球面三角學(xué)和平常的三角學(xué)有諸多不同之處。例如：球面三角形的內(nèi)角和大于180度。

　　對(duì)比于通過一個(gè)點(diǎn)至少有兩條平行線，甚至無窮多條平行線的雙曲面幾何學(xué)，通過特定的點(diǎn)沒有平行線的球面幾何學(xué)是橢圓幾何學(xué)中最簡單的模式。 球面 幾何學(xué)在航海學(xué)和天文學(xué)都有實(shí)際且重要的用途。球面乃是空間中最完美勻稱的曲面。兩個(gè)半徑相等的球面可以用一個(gè)平移把它們疊合起來，而兩

　　通過上面的比較，我們看到，球面上的幾何是與平面幾何不同的一種幾何理論。平面幾何最早由希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德整理成系統(tǒng)的理論。他的不朽之作《幾何原本》不僅包含了平面幾何，也包含了立體幾何。為了紀(jì)念他對(duì)人類做出的偉大貢獻(xiàn)，后來就把這種幾何稱為歐氏幾何。雖然歐氏幾何在我們的日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)試驗(yàn)中有著廣泛的應(yīng)用，但是在某些領(lǐng)域或某種場合歐氏幾何并不適用。例如在地球上要測量相距較遠(yuǎn)的兩地之間的距離，或者較大范圍的面積時(shí)，用歐氏幾何的知識(shí)會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，而用球面幾何的知識(shí)才能真實(shí)地反映出客觀現(xiàn)實(shí)。球面上的幾何是與歐氏幾何不同的幾何，所以叫做非歐幾何。非歐幾何往往也有很重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，也是我們應(yīng)該學(xué)習(xí)的重要理論。球面上的幾何與歐氏幾何有不相同之處，但他們之間也有一些共同特征。

　　球面上的幾何與歐氏幾何的共同特征

　　兩種幾何的這些相同之處，說明它們之間應(yīng)該有某種內(nèi)在的聯(lián)系。

　　首先分析一下球面三角形的面積公式

　　把這個(gè)公式改寫成

　　這個(gè)等式的左端稱為球面三角形的角超，它反映出球面上的幾何與平面幾何的差距。 在平面幾何中三角形三內(nèi)角之和等于，角超等于零。 在球面上的幾何中角超大于零。

　　不難看出當(dāng)球面半徑R無限增大時(shí)，球面逐漸趨向于平面，越來越小，即三角形的角超越來越小，球面三角形逐漸趨向于平面三角形，球面幾何的性質(zhì)逐漸接近于平面幾何的性質(zhì)。所以我們可以說：

　　當(dāng)球面半徑趨向于無窮大時(shí)，球面上的幾何以平面幾何為極限。

　　因?yàn)榈厍虻陌霃椒浅４�，�?dāng)我們研究的范圍相對(duì)于地球半徑很小時(shí)，三角形的角超就一定很小。因此，可以用平面幾何的知識(shí)來代替球面幾何知識(shí)，所產(chǎn)生的誤差很小。

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