中考數(shù)學(xué)探索性問題知識(shí)點(diǎn)
一、探索性問題
是指命題中缺少一定的題設(shè)或沒有明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷、補(bǔ)充、并加以證明的問題。其典型特點(diǎn)是不確定性。主要包括（1）條件探索型，（2）結(jié)論探索型，（3）存在性探索型等。
條件探索型是指結(jié)論已明確，需要探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目；結(jié)論探索型是指在一定的條件下無結(jié)論或結(jié)論不明確，需要探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論的題目；而存在型探索題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目。
探索性問題由于它的題型新穎、涉及面廣、綜合性強(qiáng)、難度較大，不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且能考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題的能力，因而倍受關(guān)注。
探索性問題解法，根據(jù)已知條件，從基礎(chǔ)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想方法出發(fā)，結(jié)合基本圖形，抓住本質(zhì)聯(lián)系進(jìn)行探究，常用觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、歸納、類比等方法，進(jìn)行分析、歸納、猜想、比較、推理等，直到得出答案。題目的答案也是多種多樣的，有的題目有唯一解，有的題無解，也有的題要分幾種情況討論。
解結(jié)論探索型題的方法是由因?qū)Ч唤鈼l件探索型的方法是執(zhí)果索因；解存在性探索題先假設(shè)要探索的問題存在，繼而進(jìn)行推導(dǎo)與計(jì)算，若得出矛盾或錯(cuò)誤的結(jié)論，則不存在，反之即為所求的結(jié)論。解題時(shí)應(yīng)注意知識(shí)的綜合運(yùn)用。
二、理解掌握
例一、已知：（如圖）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的條件是_____（只填一個(gè)）。（答案：∠ABP=∠C，或∠ABC=∠APC，或AB2=APAC）
說明：該圖是初二幾何的基本圖形，是解決其他問題的基礎(chǔ)，應(yīng)牢記。
例二、如圖， ☉O與☉O1外切于點(diǎn)T，AB為其外公切線，PT為內(nèi)公切線，AB與PT相交于點(diǎn)P，根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段，請(qǐng)寫出一個(gè)正確結(jié)論，并加以證明。（本題將按正確答案的難易程度評(píng)分）
結(jié)論1： PA=PB=PT 結(jié)論2：AT⊥BT。（或AT2+BT2=AB2）
結(jié)論3： ∠BAT=∠TBO1 結(jié)論4： ∠OTA=∠PTB
結(jié)論5：∠APT=∠BO1T 結(jié)論6：∠BPT=∠AOT
結(jié)論7：ΔOAT∽ΔPBT 結(jié)論8：ΔAPT∽ΔBO1T
設(shè)OT=R， O1T=r， 結(jié)論9：PT2=Rr
結(jié)論10： AB=2√Rr 結(jié)論11：S梯形AOO1B=（R+r）√Rr
結(jié)論12：以AB為直徑的☉P必定與直線OO1相切于T點(diǎn)。
說明：你還能得出其它的結(jié)論嗎？試試看。本題是由初三幾何書上的例題改編的，對(duì)基本圖形的再認(rèn)識(shí)，對(duì)圖形間的內(nèi)在關(guān)系的深刻挖掘，有助于透徹理解知識(shí)。
例三、已知二次函數(shù)ｙ＝１／２ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的圖象經(jīng)過點(diǎn)Ａ（－３，６）、和ｘ軸交于點(diǎn)Ｂ（－１，０）和點(diǎn)Ｃ，拋物線的頂點(diǎn)為Ｐ。
（１）求這個(gè)函數(shù)的解析式；
�。ǎ玻┚�段ＯＣ上是否存在點(diǎn)Ｄ，使∠ＢＡＣ＝∠ＣＰＤ
分析：函數(shù)的解析式為ｙ＝１／２ｘ２－ｘ－３／２
�。剑保玻ǎ保玻玻�
各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：Ａ（—3，6）、Ｂ（—1，0）、Ｃ（3，0）、
�。牛ā�3，0）、Ｆ（1，O）、Ｐ（1，—2）。
設(shè)存在點(diǎn)Ｄ（a，0），使∠CAB=∠CPD。作AE⊥x軸于點(diǎn)E，則ΔAEC和ΔPFC都是等腰直角三角形，∴AC=6√2，PC=2√2，∠ACE=∠PCD=45°∵∠CAB=∠CPD ∴ΔABC∽ΔPDC∴AC：ＰＣ＝ＢＣ：ＤＣ，即６√２ ： ２√２＝４ ：（3—a）
解之得：a=5/3。 ∴存在這樣的點(diǎn)D（5/3，0），使∠CAB=∠CPD。
說明：本題是代數(shù)與幾何結(jié)合的探索性題，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，難點(diǎn)是尋求數(shù)與形的結(jié)合點(diǎn)，用到的數(shù)學(xué)思想方法多，如數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，轉(zhuǎn)化思想，待定系數(shù)法，配方法，采用觀察、試驗(yàn)、猜想、比較等方法，把角相等轉(zhuǎn)化為三角形相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例的關(guān)系得出方程，從而解決問題。與函數(shù)有關(guān)的'探索題如果所求的點(diǎn)在圖象上，有時(shí)還要代入解析式，利用方程組來解決問題。
三、鞏固訓(xùn)練
1、已知AC、AB是☉O的弦，AB > AC，（如圖）能否在AB 上確定一點(diǎn)E，使AC2=AEAB
分析：作 AM=AC，連結(jié)CM交AB于點(diǎn)E，連結(jié)CB，可證ΔACE ∽Δ ABC，即可得出結(jié)論。
2、關(guān)于ｘ的方程x２—（5+1）x+２—2=0，是否存在負(fù)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為4？若存在，求出滿足條件的的值；若不存在，說明理由。
提示：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2。
由根與系數(shù)關(guān)系，得x1+x2=5+1，x1x2=2—2。
由題意知得方程，化簡得 42—5—9=0， ∴ 1=—1，2=9/4（不合題意，舍去）
把=—1代入根的判別式，Δ=20>0。
∴ 存在滿足條件的，=—1。
3、已知一次函數(shù)=—X+6和反比例函數(shù)=/x（≠0）。（1）滿足什么條件時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)在（2）設(shè)（1）中的兩個(gè)公共點(diǎn)分別為A、Ｂ，∠ＡＯＢ是銳角還是鈍角？
答案：（1）<9且≠0：
�。�2）分兩種情況討論當(dāng)0<<9時(shí)，∠ＡＯＢ是銳角；當(dāng)<0時(shí)，∠ＡＯＢ是鈍角。
四、拓展應(yīng)用
1、如圖，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6），
那么（1）當(dāng)t為何值時(shí)，ΔQAP為等腰三角形？
（2）求四邊形QAPC的面積；提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；
�。�3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形 與ΔABC相似？
解：（1）對(duì)于任時(shí)刻的t，AP=2t，DQ=t，QA=6—t。
當(dāng)QA=AP時(shí)，ΔQAP為等腰三角形，即6—t=2t，解得t=2（秒），
∴當(dāng)t=2秒時(shí)，ΔQAP為等腰三角形，
（2） 在ΔQAC中，QA=6—t，QA邊上的高DC=12，
∴SΔQAC=1/2QADC=1/2（6—t）12=36—6t。
在ΔAPC中，AP=2t，BC=6，
∴SΔAPC =1/2APBC=1/22t6=6t。
∴S四邊形QAPC= SΔQAC + SΔAPC =（36—6t）+6t=36（厘米2）
（3）略解：分兩種情況討論： ①當(dāng)QA ：AB=AP：BC時(shí)，ΔQAP∽ΔABC，
可解得t=1。2（秒）
�、诋�(dāng)QA：BC =AP：AB時(shí)， ΔPAQ ∽Δ ABC，可解得t=3（秒）
∴ 當(dāng)t=1。2秒或t=3秒時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ΔABC相似。
2、如圖，已知在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)FC（AB>AE）。
（1）ΔAEF與ΔECF是否相似。若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，說明理由。
（2）設(shè)AB/BC=，是否存在這樣的值，使得ΔAEF與ΔECF相似？
若存在，證明你的結(jié)論；
若不存在，說明理由。
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