高中生最新的中心極限定理證明

　　中心極限的定理很是高級，但這個定理不好證明的，因為需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的中心極限定理證明內(nèi)容，希望大家喜歡。

　　中心極限定理證明例子

　　[例1] 高爾頓釘板試驗.

　　圖中每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以的.概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態(tài)分布.

　　如果定義:當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊,令;當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左邊,令.則是獨立的,且

　　那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài).可以想象,當(dāng)越來越大時接近程度越好.由于時,.因此,顯然應(yīng)考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個證明了二項分布的極限是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.

　　中心極限定理介紹

　　設(shè)是獨立隨機變量序列,假設(shè)存在,若對于任意的,成立

　　稱服從中心極限定理.

　　[例2] 設(shè)服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數(shù)列.

　　解:服從中心極限定理,則表明

　　其中.由于,因此

　　故服從中心極限定理.

　　三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理

　　在重貝努里試驗中,事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù),則

　　[例3] 用頻率估計概率時的誤差估計.

　　由德莫佛—拉普拉斯極限定理,

　　中心極限定理證明解答

　　第一類問題是已知,求,這只需查表即可.

　　第二類問題是已知,要使不小于某定值,應(yīng)至少做多少次試驗?這時利用求出最小的.

　　第三類問題是已知,求.

　　解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計: .

　　[例4] 拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現(xiàn)六點的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?

　　解:由例4中的第二類問題的結(jié)論,.即.查表得.將代入,便得. 由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準(zhǔn)確得多.

　　[例5] 已知在重貝努里試驗中,事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從二項分布:

　　的隨機變量.求.

　　解:

　　因為很大,于是

　　所以

　　利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,就可以求出的值.

　　[例6] 某單位內(nèi)部有260架電話分機,每個分機有0.04的時間要用外線通話,可以認(rèn)為各個電話分機用不用外線是是相互獨立的,問總機要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.

　　解:以表示第個分機用不用外線,若使用,則令;否則令.則.

　　如果260架電話分機同時要求使用外線的.分機數(shù)為,顯然有.由題意得,

　　查表得,,故取.于是

　　取最接近的整數(shù),所以總機至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.

　　[例7] 根據(jù)孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃果植株的比率為3:1,現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和117之間的概率.

　　解:將觀察一株雜交種的果實顏色看作是一次試驗,并假定各次試驗是獨立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為,則.

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