人教版向量法證明正弦定理
向量法可以證明很多的數(shù)學(xué)定理的，比如正弦定理就不錯(cuò)。下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的向量法證明正弦定理內(nèi)容，希望大家喜歡。
向量法證明正弦定理 篇1
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.
因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度
因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
向量法證明正弦定理 篇2
如圖1，△ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C
由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)
在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·AC+CB=j·AB
∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
=│j││AB│cos(90°-A)
∴asinC=csinA
∴a/sinA=c/sinC
同理，過點(diǎn)C作與向量CB垂直的'單位向量j，可得
c/sinC=b/sinB
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
向量法證明正弦定理 篇3
正弦定理是三角學(xué)中的一個(gè)定理。它指出了三角形三邊、三個(gè)內(nèi)角以及外接圓半徑之間的關(guān)系。
定理內(nèi)容
在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R。則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
即，在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦之比相等，該比值等于該三角形外接圓的直徑長度。
定理變形
a:b:c=sinA:sinB:sinC
應(yīng)用領(lǐng)域
在解三角形中，有以下的應(yīng)用領(lǐng)域：
�。�1）已知三角形的兩角與一邊，解三角形
�。�2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形
�。�3）運(yùn)用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系
直角三角形的一個(gè)銳角的對邊與斜邊的比叫做這個(gè)角的正弦。
正弦定理變形形式
a=2RSinA。b=2RsinB。c=2Rsinc
asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA
定理的意義
正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式。由正弦定理在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。
一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形。
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