閉區(qū)間最大值最小值定理證明
閉區(qū)間的最大值最小值的問題相信一直是同學(xué)們比較困擾的一個(gè)知識點(diǎn)，不用擔(dān)心，小編就讓為你詳細(xì)介紹及通過案例的介紹，一定能夠充分認(rèn)識并熟練運(yùn)用的。
閉區(qū)間介紹
直線上介于固定的兩點(diǎn)間的所有點(diǎn)的 集合(包含給定的兩點(diǎn))。 閉區(qū)間是直線上的 連通的` 閉集。由于它是 有界閉集，所以它是 緊致的。
閉區(qū)間的函數(shù)為 小于等于的關(guān)系 即 —∞≤a≤+∞ 在數(shù)軸上為實(shí)心點(diǎn)。
閉區(qū)間的 余集(就是 補(bǔ)集)是兩個(gè) 開區(qū)間的 并集。
實(shí)數(shù)理論中有著名的 閉區(qū)間套定理。
代表符號：
[x,y] --> 從x值開始到y(tǒng)值，包含x、y
比如：x的取值范圍是 3到5的閉區(qū)間 那么用數(shù)學(xué)語言表示即為 [3,5] 也就是從3(含)到5(含)之間的數(shù)。
最大值最小值定理證明
對于在區(qū)間上有定義的函數(shù)，如果有，使得對于任一都有則稱是函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值.
例如:
定理1(最大值和最小值定理)：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.
定理表明：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使是閉區(qū)間上的最小值;又至少存在一點(diǎn)，使在閉區(qū)間上的最大值
注：當(dāng)定理中的“閉區(qū)間上連續(xù)”的條件不滿足是，定理的結(jié)論可能不成立.
如，若是開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，結(jié)論可能不成立.
又如，函數(shù) 在開區(qū)間內(nèi)沒有最大值，因?yàn)樗陂]區(qū)間上不連續(xù).
若在上有間斷點(diǎn)，結(jié)論不一定成立.
函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，但函數(shù)在閉區(qū)間上既無最大值又無最小值.
案例過程講解
證明：設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，記M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，
則必存在x*，x*∈[a，b]，使得f(x*)=M，f(x*)=m.
也就是說，有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到它在這個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值.
現(xiàn)證明如下
因?yàn)楹瘮?shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，
所以函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上有界，
即數(shù)集{f(x)：x∈[a，b]}有界，
利用確界原理，{f(x)：x∈[a，b]}存在上確界和下確界，m和M都是有限數(shù).
顯然m≤f(x)≤M(∀x∈[a，b])， 考察上確界M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}，
根據(jù)上確界的定義，
對任意n∈N*，
必定存在xn∈[a，b]，使得
M−1n
由于a≤xn≤b，{xn}有界，
根據(jù)列緊性定理，存在一個(gè)子列{xnk}和一點(diǎn)x*∈[a，b]，使得{xnk}，
由于f在x*處連續(xù)，所以有imk→∞f(xnk)=f(x∗)，(存在且有限)
在不等式M−1nk<(xnk)≤M的兩端讓k→∞，得出M≤f(x*)≤M
故存在x*∈[a，b]，使得 f(x*)=M.
同理可證存在x*∈[a，b]，使得f(x*)=m.
什么是極值定理
已知x、y都是正數(shù),x+y=S,xy=P。 (1)如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),P的值最大; (2)如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),S的值最小。 這是眾所周知的極值定理。
設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近的連續(xù)，則除x0以外函數(shù)f(x)可導(dǎo)，那么:
<1>:若點(diǎn)x0左邊f(xié)(x)'>0,在x0右邊f(xié)(x)'<0,則x0點(diǎn)為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)
<2>:若在x0點(diǎn)左邊f(xié)(x)'<0,在x0右邊f(xié)(x)'>0,則x0為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)
<3>:若在x0點(diǎn)的兩邊的導(dǎo)數(shù)f(x)'的正負(fù)號相同,則x0不是f(x)的極值點(diǎn)
函數(shù)的極值不僅是反映函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要特征，而且在解決實(shí)際問題中也占有極其重要的地位。很多經(jīng)濟(jì)和生活中的問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)極值問題進(jìn)行討論，從而得到該問題的最優(yōu)方案。
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