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高中數(shù)學(xué)正弦定理的常用證明方法
正弦定理(The Law of Sines)是三角學(xué)中的一個基本定理，它要怎么證明呢?下面小編就帶大家一起來詳細(xì)了解下吧。
正弦定理內(nèi)容
在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R，直徑為D。則有：
一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等于該三角形外接圓的直徑(半徑的2倍)長度。[1]
公式變形
△ABC中，若角A，B，C所對的邊為a，b，c，三角形外接圓半徑為R，直徑為D，正弦定理進(jìn)行變形有
定理意義
正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦值之間的一個關(guān)系式。由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。
一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。
在解三角形中，有以下的應(yīng)用領(lǐng)域：
已知三角形的兩角與一邊，解三角形。
已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。[3]
運(yùn)用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。
正弦定理證明
外接圓證明正弦定理
只需證明任意三角形內(nèi)，任一角的邊與它所對應(yīng)的正弦之比值為該三角形外接圓直徑即可。
現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設(shè)圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設(shè)AB長度為c。
1.若∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2r。
∵(特殊角正弦函數(shù)值)
∴
2.若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`'交 ⊙O于C`，連接C'A，顯然BC'= 2r=R。
若∠C為銳角，則C'與C落于AB的同側(cè)，此時∠C'=∠C(同弧所對的圓周角相等)
∴在Rt△ABC'中有
若∠C為鈍角，則C'與C落于AB的異側(cè)，BC的對邊為a，此時∠C'=∠A，亦可推出。
考慮同一個三角形內(nèi)的`三個角及三條邊，同理，分別列式可得。
故對任意三角形，定理得證。
向量證明
若△ABC為銳角三角形,過點(diǎn)A作單位向量j⊥,則j與的夾角為90°-∠A,j與的夾角為90°-∠C.由向量的加法原則可得
為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算,得到
∴|j| || Cos90°+|j| || Cos(90°-C)=|j| ||Cos(90°-A) .
∴asinC=csinA 即
同理,過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+∠C,j與的夾角為90°+∠B,可得
若△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A>90°,過點(diǎn)A作與AB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為∠A-90°,j與CB的夾角為90°+∠B.同理
a·Cos(90°-B)=b·Cos(A-90°),
∴asinB=bsinA 即
過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+∠C,j與的夾角為90°+∠B,可得
綜上，
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