證明極限不存在的方法有哪些
“極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念，廣義的“極限”是指“無(wú)限靠近而永遠(yuǎn)不能到達(dá)”的意思。下面是小編帶來(lái)的證明極限不存在的方法有哪些，希望對(duì)你有幫助。
證明極限不存在方法一
若存在實(shí)數(shù)L，使limsin(1/x)=L，
取ε=1/2，
在x=0點(diǎn)的.任意小的鄰域X內(nèi)，總存在整數(shù)n，
�、儆泋1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin[1/x1(n)]=1，
�、谟泋2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin[1/x2(n)]=-1，
使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3，
和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3，
同時(shí)成立。
即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同時(shí)成立。
這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發(fā)生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=L 成立的實(shí)數(shù)L不存在
證明極限不存在方法二
令y=x, lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y
=lim(x趨于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y
= lim(x趨于0) x^3-x^2/ x^2 =-1
兩種情況極限值不同，故原極限不存在
2答案： 首先需要二項(xiàng)式定理：
(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)
用數(shù)學(xué)歸納法證此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此，n=1時(shí)，式一成立。
設(shè)n1為任一自然數(shù)，假設(shè)n=n1時(shí)，(式一)成立 ，即：
(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)
則，當(dāng)n=n1+1時(shí):
式二兩端同乘(a+b)
[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
= (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 據(jù)乘法分配律)
因此二項(xiàng)式定理(即式一成立)
證明極限不存在方法三
(1+1/n)^n (式一)
用二項(xiàng)式展開(kāi)得：
(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)項(xiàng)的分子乘積的最高次項(xiàng)與(1/n)的次數(shù)相同，而系數(shù)為1，因此，最高次項(xiàng)與(1/n)的相應(yīng)次方剛好相約，得1，低次項(xiàng)與1/n的相應(yīng)次方相約后，分子剩下常數(shù)，而分母總余下n的若干次方，當(dāng)n - +∞,得0。因此總的結(jié)果是當(dāng)n - +∞，二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)項(xiàng)的各項(xiàng)分子乘積與(1/n)的相應(yīng)項(xiàng)的次方相約，得1。余下分母。于是式一化為：
(1+1/n)^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n! (式二)
當(dāng)n - +∞時(shí)，你可以用計(jì)算機(jī)，或筆計(jì)算此值。這一數(shù)值定義為e。
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