復(fù)變函數(shù)學(xué)結(jié)
好久沒(méi)更新博客了，原因很多；主要的一點(diǎn)是我在中途換了本書，由《復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用》換成了《復(fù)分析基礎(chǔ)及工程應(yīng)用》，然后又從頭看了。現(xiàn)在大概說(shuō)說(shuō)這門學(xué)問(wèn)的學(xué)習(xí)感受吧！
首先，與微積分相比，它的學(xué)習(xí)難度要小很多，里面的大部分證明都是短小精悍，非常容易接受的；但是個(gè)別定理，比如柯西定理等等，由于受到拓?fù)渲R(shí)的約束，一般書上都會(huì)略去不證。但是，學(xué)的時(shí)候一定要注意跟微積分中一些結(jié)論的區(qū)別，例如：在某一點(diǎn)解析，那么就有無(wú)窮次導(dǎo)數(shù)；柯西積分公式，洛朗級(jí)數(shù)，留數(shù)等。
其次，說(shuō)說(shuō)跟學(xué)習(xí)的內(nèi)容吧，一般而言都是上來(lái)先講復(fù)數(shù)，然后將解析函數(shù)，然后講一些常用的函數(shù)（例如指數(shù)，對(duì)數(shù)，三角，多項(xiàng)式），然后講復(fù)積分，然后講級(jí)數(shù)，然后講留數(shù)，最后有的書會(huì)將初等映射。相比之下，前3章（復(fù)積分之前），都是在打基礎(chǔ)，解析函數(shù)的知道滿足的關(guān)系式，具體函數(shù)中注意log的分支，指數(shù)函數(shù)的定義稍有奇葩外，都是一些簡(jiǎn)單的東西，到了復(fù)積分，可以說(shuō)才有了復(fù)變自己的內(nèi)容。積分不僅在實(shí)數(shù)上是困難的，在復(fù)數(shù)上也是一樣，所以這一章的內(nèi)容主要圍繞如何算復(fù)積分展開(kāi)�？傮w上講，有3種方法：參數(shù)方程、如果解析，求原函數(shù)、柯西積分公式，其中第3種方法是復(fù)變特有的。到了級(jí)數(shù)部分其實(shí)是既熟悉又陌生的。泰勒級(jí)數(shù)大家都會(huì)，但是講完泰勒級(jí)數(shù)以后還會(huì)講一個(gè)冪級(jí)數(shù)，為洛朗級(jí)數(shù)做準(zhǔn)備，而在講洛朗級(jí)數(shù)時(shí)，不論前面的定義如何，但落實(shí)到具體計(jì)算時(shí)，都是轉(zhuǎn)化為與冪級(jí)數(shù)相關(guān)的形式計(jì)算。而留數(shù)的作用，我理解有的時(shí)候也是在幫你算積分：柯西定理告訴你，如果解析，那么積分為0，柯西積分公式告訴你如果有1個(gè)極點(diǎn)，那么該如何處理，而留數(shù)告訴你，如果有多個(gè)極點(diǎn)，該如何處理。關(guān)于留數(shù)的應(yīng)用，很大一部分都是再算積分（一般或者反常積分）！基本思想也差不多，可見(jiàn)計(jì)算積分一直是所有人的心頭大患，想法利用簡(jiǎn)單的方法搞定是數(shù)學(xué)家們的期望。
最后，復(fù)變還稍微學(xué)了一點(diǎn)以前公認(rèn)的東西，例如代數(shù)學(xué)基本定理的證明使用復(fù)變就很簡(jiǎn)單。
最后，對(duì)比一下上面提到的兩本書吧。個(gè)人感覺(jué)《復(fù)分析基礎(chǔ)及工程應(yīng)用》是一本更好的教科書，主要原因在于：
1.結(jié)構(gòu)，章節(jié)條目更清晰，而且，定義，定理，以及對(duì)定理的證明都用粗體標(biāo)出來(lái)了，書后也有便于查閱用的索引頁(yè)碼。而且清楚的告訴了讀者，那些內(nèi)容講了，那些內(nèi)容只講了特例，哪些內(nèi)容沒(méi)講。而且每章后有簡(jiǎn)短的總結(jié)，幫你梳理主要內(nèi)容。
2.它的講述的內(nèi)容更加細(xì)致，深入，比如：在初等函數(shù)這一章，專門證明了如何部分分式展開(kāi)；在積分那一張，他給出的復(fù)積分的定義是分隔求和取極限，而《復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用》則直接用的是參數(shù)方程定義，感覺(jué)很不協(xié)調(diào)。在級(jí)數(shù)那一張，它就專門講了級(jí)數(shù)收斂的判別法及相關(guān)的內(nèi)容；而在柯西積分定理中，使用了向量分析（格林公式）證明，又使用了周線變形法證明；
3.《復(fù)分析基礎(chǔ)及工程應(yīng)用》中應(yīng)用的例子講的是與通信緊密相關(guān)的傅里葉變換，拉普拉斯變換，z變換等內(nèi)容，更適合工科學(xué)生，而《復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用》的例子更偏物理一些。
4.《復(fù)分析基礎(chǔ)及工程應(yīng)用》中共性映射的講-法是先給出概念，然后舉一些例子；而《復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用》則是先給出一些映射的例子，然后再講共性映射，這樣感覺(jué)開(kāi)始會(huì)有點(diǎn)迷茫，不過(guò)我也就是看一個(gè)基本概念，因?yàn)楣ぷ髦兴坪跤貌坏健?/p>
當(dāng)然《復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用》的優(yōu)點(diǎn)也是很明顯的，它略去了很多繁瑣的細(xì)節(jié)，直奔主題，如果你想直接搞清楚怎么用，學(xué)這本會(huì)更快一些。很多章節(jié)的安排都是先告訴你一個(gè)定理，然后舉好幾個(gè)例子，最后再給出定理的證明。而且課后題也會(huì)稍微簡(jiǎn)單一點(diǎn)，偏計(jì)算為主，證明題稍微復(fù)雜一點(diǎn)的，都會(huì)給出提示。
應(yīng)用部分我只看了《復(fù)分析基礎(chǔ)及工程應(yīng)用》，因?yàn)樗鼈兣c通信專業(yè)關(guān)系非常密切；《復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用》的應(yīng)用比較偏物理，我覺(jué)得還是算了吧。
復(fù)變函數(shù)學(xué)結(jié) [篇2]
數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展到現(xiàn)在,已成為了分支眾多的學(xué)科之一，復(fù)變函數(shù)則是其中一個(gè)非常重要的分支，是19世紀(jì)，cauchy, riemann, weierstrass 等數(shù)學(xué)家分別從不同角度建立了復(fù)變函數(shù)的系統(tǒng)理論，使復(fù)變函數(shù)真正成為分析數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。
復(fù)變函數(shù)是復(fù)數(shù)域上的微積分，是基于解決數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的間接需要而產(chǎn)生的，是由于在生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)研究中發(fā)現(xiàn)了應(yīng)用原型而發(fā)展起來(lái)的!
復(fù)變函數(shù)現(xiàn)在是大學(xué)理工科專業(yè)和數(shù)學(xué)院系數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課,但是復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)要有高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),如果沒(méi)有這方面的知識(shí),學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)無(wú)疑會(huì)非常困難,因?yàn)檫@門課程在初學(xué)者看來(lái)非常抽象,理論性太強(qiáng)。作為復(fù)變函數(shù)的教學(xué)工作者,如何使得這門課程的課堂變得生動(dòng)有趣,而且使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易理解,是我們不得不思考的問(wèn)題。
由于復(fù)變函數(shù)的'導(dǎo)數(shù)與可導(dǎo)性、微分與可微性是利用類比的方法從一元實(shí)變函數(shù)相應(yīng)概念推廣到復(fù)數(shù)域后得到的，它們?cè)谛问缴吓c一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與微分一致，因此在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)勤于和善于比較，既要重視共性，更要注意不同點(diǎn)，切實(shí)關(guān)注在推廣到復(fù)數(shù)域后出現(xiàn)了什么新情況和新問(wèn)題，探討出現(xiàn)新問(wèn)題的原因何在。
在這篇報(bào)告中,王錦森先生非常生動(dòng)地介紹了復(fù)變函數(shù)課程的改革思路和分別討論了復(fù)變函數(shù)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，并且這些難點(diǎn)和重點(diǎn)的教學(xué)方法。
難點(diǎn)和重點(diǎn)介紹方面：討論了“在復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)性(從而判斷函數(shù)解析性)的充要條件中，為什么要求函數(shù)的實(shí)部和虛部必須滿足cauchy-riemann方程?”內(nèi)在含義，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是否跟實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義相同?，一元實(shí)函數(shù)的微分中值定理能不能推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái)?，復(fù)變初等函數(shù)與相應(yīng)的實(shí)變初等函數(shù)之間的關(guān)系與差別，復(fù)變函數(shù)的積分與一元實(shí)變函數(shù)的第二型曲線積分的不同之處，即，它們積分和式的結(jié)構(gòu)不同，積分的表達(dá)形式不同，物理意義不同等等，還討論了學(xué)習(xí)cauchy-goursat 基本定理應(yīng)當(dāng)注意的幾個(gè)問(wèn)題，復(fù)變函數(shù)積分中有沒(méi)有與一元實(shí)變函數(shù)微積分中的微積分基本定理和newton-leibniz公式相對(duì)應(yīng)的結(jié)論等等。
這些難點(diǎn)和重點(diǎn)教學(xué)法方面介紹了類比教學(xué)法，化“復(fù)”為“實(shí)”，用“已知”解決“未知”的思想等教學(xué)法。
參加培訓(xùn)之前我沒(méi)有考慮過(guò)這些問(wèn)題，通過(guò)這次學(xué)習(xí)，我對(duì)這些難點(diǎn)與重點(diǎn)的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步深入了。以后的教學(xué)過(guò)程中用到所學(xué)的知識(shí)，為提高教學(xué)質(zhì)量而努力。
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