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絕對(duì)值不等式性質(zhì)及幾何意義
絕對(duì)值不等式
簡介
在不等式應(yīng)用中，經(jīng)常涉及重量、面積、體積等，也涉及某些數(shù)學(xué)對(duì)象（如實(shí)數(shù)、向量）的大小或絕對(duì)值。它們都是通過非負(fù)數(shù)來度量的。
公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
性質(zhì)
|a|表示數(shù)軸上的點(diǎn)a與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。
兩個(gè)重要性質(zhì)：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|
2.|a|＜|b| 可逆 a＜b
另外
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)左邊等號(hào)成立，ab≥0時(shí)右邊等號(hào)成立。
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)左邊等號(hào)成立，ab≤0時(shí)右邊等號(hào)成立。
幾何意義
1.當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)它們位于原點(diǎn)的同一邊，此時(shí)a與﹣b的距離等于它們到原點(diǎn)的距離之和。 2.當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)它們分別位于原點(diǎn)的兩邊，此時(shí)a與﹣b的距離小于它們到原點(diǎn)的距離之和。
(|a+b|表示a-b與原點(diǎn)的距離，也表示a與b之間的距離)
絕對(duì)值重要不等式
我們知道
|a|={a，(a＞0)， a，（a=0)， ﹣a，（a＜0)，}
因此，有
﹣|a|≤a≤|a|
﹣|b|≤b≤|b|
同樣地
�、�，②相加得
﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即 |a+b|≤|a|+|b|
顯而易見，a，b同號(hào)或有一個(gè)為0時(shí)，③式等號(hào)成立。
由③可得
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|，
即 |a|-|b|≤|a+b|
綜合③，④我們得到有關(guān)絕對(duì)值（absolute value)的重要不等式
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
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