初三數(shù)學(xué)二次方程知識(shí)點(diǎn)
教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)科名稱：人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二十六章二次函數(shù)用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程
所在班級(jí)情況，學(xué)生特點(diǎn)分析：
本人擔(dān)任八年級(jí)(1)、(2)兩班的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生共106人，男生50人，女生56人。約有65%的學(xué)生對(duì)本門課有濃厚學(xué)習(xí)興趣。
教學(xué)內(nèi)容分析：
本節(jié)課選自人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下第二十六章，這節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)及其相關(guān)應(yīng)用的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生繼續(xù)探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能：理解拋物線交x軸的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，理解何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)和沒(méi)有實(shí)根.并能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。
過(guò)程與方法：經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神，會(huì)用圖象法求一元二次方程的近似根的過(guò)程，獲得用圖象法求方程近似根的體驗(yàn)，并通過(guò)觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。
態(tài)度、情感、價(jià)值觀：從學(xué)生感興趣的問(wèn)題入手，讓學(xué)生親自體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，并通過(guò)學(xué)生共同觀察和討論，培養(yǎng)大家的合作交流意識(shí)。
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1.重點(diǎn)：使學(xué)生理解二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，能夠運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題是教學(xué)的重點(diǎn)。
2.難點(diǎn)關(guān)鍵：探索方程與函數(shù)之間關(guān)系的過(guò)程，理解二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。
教學(xué)過(guò)程：
一、引入新課
在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問(wèn)題，如拱橋跨度、拱高計(jì)算等，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究和解決這些問(wèn)題，具有很現(xiàn)實(shí)的意義。本節(jié)課，請(qǐng)同學(xué)們共同研究，嘗試解決以下幾個(gè)問(wèn)題。
二、探索問(wèn)題
問(wèn)題1：某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，上面的A處安裝一個(gè)噴頭向外噴水。連噴頭在內(nèi)，柱高為0.8m。水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖(1)所示。
根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：如圖(2)中所示直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-x2+2x+
(1)噴出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不計(jì)其他的因素，那么水池至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)?
教學(xué)要點(diǎn)
1.讓學(xué)生討論、交流，如何將文學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，得出問(wèn)題(1)就是求函數(shù)
y=-x2+2x+最大值，問(wèn)題(2)就是求如圖(2)B點(diǎn)的橫坐標(biāo);
2.學(xué)生解答，教師巡視指導(dǎo);
3.讓一兩位同學(xué)板演，教師講評(píng)。
問(wèn)題2：一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖(3)所示，現(xiàn)測(cè)得，當(dāng)水面寬AB=1.6m時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離為2.4m。這時(shí)，離開(kāi)水面1.5m處，涵洞寬ED是多少?是否會(huì)超過(guò)1m?
教學(xué)要點(diǎn)
1.教師分析：根據(jù)已知條件，要求ED的寬，只要求出FD的長(zhǎng)度。在如圖(3)的直角坐標(biāo)系中，即只要求出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因?yàn)辄c(diǎn)D在涵洞所成的拋物線上，又由已知條件可得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式可以進(jìn)一步算出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)。
2.讓學(xué)生完成解答，教師巡視指導(dǎo)。
3.教師分析存在的問(wèn)題，書寫解答過(guò)程。
解：以AB的垂直平分線為y軸，以過(guò)點(diǎn)O的`y軸的垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。
這時(shí)，涵洞的橫截面所成拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，開(kāi)口向下，所以可設(shè)它的 函數(shù)關(guān)系式為：y=ax2 0) (1)
因?yàn)锳B與y軸相交于C點(diǎn)，所以CB==0.8(m)，又OC=2.4m，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0.8，-2.4)。
因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(1)，得 -2.4=a0.82 所以：a=
因此，函數(shù)關(guān)系式是 y=x2 (2)
因?yàn)镺F=1.5m，設(shè)FD=x1m(x10)，則點(diǎn)D坐標(biāo)為(x1，-1.5)。因?yàn)辄c(diǎn)D的坐標(biāo)在拋物線上，將它的坐標(biāo)代人(2)，得 -1.5=x12 x12= x1=
x1=-不符合假設(shè)，舍去，所以x1=
ED=2FD=2x1=2= 3.1621.26(m)
所以涵洞ED是m，會(huì)超過(guò)1m。
問(wèn)題3：畫出函數(shù)y=x2-x-的圖象，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題。
(1)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么;
(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y=0?這里x的取值與方程x2-x-=0有什么關(guān)系?
(3)你能從中得到什么啟發(fā)?
教學(xué)要點(diǎn)
1.先讓學(xué)生回顧函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的畫法，按列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫出函數(shù)y=x2-x-的圖象。
2.教師巡視，與學(xué)生合作、交流。
3.教師講評(píng)，并畫出函數(shù)圖象，如圖(4)所示。
4.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象，回答(1)提出的問(wèn)題，得到圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-，0)和(，0)。
5.讓學(xué)生完成(2)的解答。教師巡視指導(dǎo)并講評(píng)。
6.對(duì)于問(wèn)題(3)，教師組織學(xué)生分組討論、交流，各組選派代表發(fā)表意見(jiàn)，全班交流，達(dá)成共識(shí)：從形的方面看，函數(shù)y=x2-x-的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為方程x2-x-=0的解;從數(shù)的方面看，當(dāng)二次函數(shù)y=x2-x-的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程x2-x-=0的解。更一般地，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程ax2+bx+c=0的解;當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程ax2+bx+c=0的解，這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。
三、試一試
根據(jù)問(wèn)題3的圖象回答下列問(wèn)題。
(1)當(dāng)x取何值時(shí)，y0?當(dāng)x取何值時(shí)，y0?
(當(dāng)-
(2)能否用含有x的不等式來(lái)描述(1)中的問(wèn)題? (能用含有x的不等式采描述(1)中的問(wèn)題，即x2-x-0的解集是什么?x2-x-0的解集是什么?)
想一想：二次函數(shù)與一元二次不等式有什么關(guān)系?
讓學(xué)生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關(guān)系，討論、交流，達(dá)成共識(shí)：
(1)從形的方面看，二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x軸上方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為一元二次不等式ax2+bx+c在x軸下方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo).即為一元二次不等式ax2+bx+c0的解。
(2)從數(shù)的方面看，當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值大于0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2+bx+c當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值小于0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2+bc+c0的解。這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系。
四、課堂練習(xí)： P23練習(xí)1、2。
五、小結(jié)：
1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲?有什么困惑?
2.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，試說(shuō)明，元二次方程ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c0、ax2+bx+c0的解的情況。
六、作業(yè)：
自問(wèn)自答：設(shè)計(jì)思路與過(guò)程
在教學(xué)過(guò)程中，教師作為引導(dǎo)者，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、提供問(wèn)題串、給學(xué)生提供廣闊的思考空間、活動(dòng)空間、為學(xué)生搭建自主學(xué)習(xí)的平臺(tái);學(xué)生則在老師的指導(dǎo)下經(jīng)歷操作、實(shí)踐、思考、交流、合作的過(guò)程，其知識(shí)的形成和能力的培養(yǎng)相伴而行，創(chuàng)造海闊憑魚躍，天高任鳥(niǎo)飛的課堂境界。
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