2018屆漢中市高三理科數(shù)學(xué)模擬試卷題目及答案
要想在高考數(shù)學(xué)中取得好成績，就要在最短的時間內(nèi)擬定解決問題的最佳方案，實現(xiàn)答題效率最優(yōu)化。我們可以多做一些數(shù)學(xué)模擬試卷來提升這方面的能力，以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2018屆漢中市高三理科數(shù)學(xué)模擬試卷，希望能幫到你。
2018屆漢中市高三理科數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分)
1.已知集合A={x|(x﹣2)(x+3)<0}，B={x|y= }，則A∩(∁RB)=( )
A.[﹣3，﹣1] B.(﹣3，﹣1] C.(﹣3，﹣1) D.[﹣1，2]
2.已知復(fù)數(shù)z滿足z( +3i)=16i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為( )
A. B.2 C.4 D.8
3.已知兩個隨機(jī)變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系如表所示：
x ﹣4 ﹣2 1 2 4
y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1
根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為 = x+ ，則大致可以判斷( )
A. >0， >0 B. >0， <0 C. <0， >0 D. <0， <0
4.已知向量 =(2，﹣4)， =(﹣3，x)， =(1，﹣1)，若(2 + )⊥ ，則| |=( )
A.9 B.3 C. D.3
5.已知等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn，若log2a2+log2a8=2，則T9的值為( )
A.±512 B.512 C.±1024 D.1024
6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i的值為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知三棱錐A﹣BCD的四個頂點在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別為A(2，0，2)，B(2，1，2)，C(0，2，2)，D(1，2，0)，畫該三棱錐的三視圖中的俯視圖時，以xOy平面為投影面，則得到的俯視圖可以為( )
A. B. C. D.
8.已知過點(﹣2，0)的直線與圓O：x2+y2﹣4x=0相切與點P(P在第一象限內(nèi))，則過點P且與直線 x﹣y=0垂直的直線l的方程為( )
A.x+ y﹣2=0 B.x+ y﹣4=0 C. x+y﹣2=0 D.x+ y﹣6=0
9.函數(shù)f(x)=( ﹣1)•sinx的圖象大致形狀為( )
A. B. C. D.
10.已知函數(shù)f(x)= sinωx﹣ cosωx(ω<0)，若y=f(x+ )的圖象與y=f(x﹣ )的圖象重合，記ω的最大值為ω0，函數(shù)g(x)=cos(ω0x﹣ )的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.[﹣ π+ ，﹣ + ](k∈Z) B.[﹣ + ， + ](k∈Z)
C.[﹣ π+2kπ，﹣ +2kπ](k∈Z) D.[﹣ +2kπ，﹣ +2kπ](k∈Z)
11.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點F2關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點A在該雙曲線的左支上，則此雙曲線的離心率為( )
A. B. C.2 D.
12.定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，若關(guān)于x的不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)在x∈[1，3]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.[ ， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ， ]
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)
13.(2x﹣1)5的展開式中，含x3項的系數(shù)為 (用數(shù)字填寫答案)
14.已知實數(shù)x，y滿足 則z= 的取值范圍為 .
15.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，則S1+S2+…+S2017= .
16.如圖所示，三棱錐P﹣ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是線段AB的中點，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為 .
三、解答題
17.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a、b、c成等比數(shù)列，c= bsinC﹣ccosB.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若b=2 ，求△ABC的周長和面積.
18.(12分)每年的4月23日為世界讀書日，為調(diào)查某高校學(xué)生(學(xué)生很多)的讀書情況，隨機(jī)抽取了男生，女生各20人組成的一個樣本，對他們的年閱讀量(單位：本)進(jìn)行了統(tǒng)計，分析得到了男生年閱讀量的頻率分布表和女生閱讀量的頻率分布直方圖.
男生年閱讀量的頻率分布表(年閱讀量均在區(qū)間[0，60]內(nèi))：
本/年 [0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60]
頻數(shù) 3 1 8 4 2 2
(Ⅰ)根據(jù)女生的頻率分布直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數(shù);
(Ⅱ)在樣本中，利用分層抽樣的方法，從男生年與度量在[20，30)，[30，40)的兩組里抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求[30，40)這一組中至少有1人被抽中的概率;
(Ⅲ)若年閱讀量不小于40本為閱讀豐富，否則為閱讀不豐富，依據(jù)上述樣本研究閱讀豐富與性別的關(guān)系，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為月底豐富與性別有關(guān).
性別 閱讀量 豐富 不豐富 合計
男
女
合計
P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005
k0 5.024 6.635 7.879
附：K2= ，其中n=a+b+c+d.
19.(12分)已知矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分別為DE、CF的中點，現(xiàn)沿著EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小為 .
(Ⅰ)求證：PQ∥平面BCD;
(Ⅱ)求二面角A﹣DB﹣E的余弦值.
20.(12分)已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率為 ，點B是橢圓C的上頂點，點Q在橢圓C上(異于B點).
(Ⅰ)若橢圓V過點(﹣ ， )，求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l：y=kx+b與橢圓C交于B、P兩點，若以PQ為直徑的圓過點B，證明：存在k∈R， = .
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+ ，其中a>0.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明：(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )
四、選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程
22.(10分)已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(Ⅰ)求曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線θ= (ρ∈R)與曲線C1交于P，Q兩點，求|PQ|的長度.
選修4-5：不等式選講
23.(10分)已知函數(shù)f(x)=|3x﹣4|.
(Ⅰ)記函數(shù)g(x)=f(x)+|x+2|﹣4，在下列坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù)g(x)的最小值;
(Ⅱ)記不等式f(x)<5的解集為M，若p，q∈M，且|p+q+pq|<λ，求實數(shù)λ的'取值范圍.
2018屆漢中市高三理科數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分)
1.已知集合A={x|(x﹣2)(x+3)<0}，B={x|y= }，則A∩(∁RB)=( )
A.[﹣3，﹣1] B.(﹣3，﹣1] C.(﹣3，﹣1) D.[﹣1，2]
【考點】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.
【分析】求出A，B中不等式的解集確定出B，找出B的補(bǔ)集，求出A與B補(bǔ)集的交集即可.
【解答】解：A={x|(x﹣2)(x+3)<0}=(﹣3，2)，B={x|y= }=(﹣1，+∞)，
∴∁RB=(﹣∞，﹣1]
∴A∩(∁RB)=(﹣3，﹣1].
故選：B.
【點評】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.
2.已知復(fù)數(shù)z滿足z( +3i)=16i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為( )
A. B.2 C.4 D.8
【考點】復(fù)數(shù)求模;復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算.
【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計算公式即可得出.
【解答】解：z( +3i)=16i(i為虛數(shù)單位)，∴z( +3i)( ﹣3i)=16i( ﹣3i)，∴16z=16i( ﹣3i)，∴z=3+ i.
則復(fù)數(shù)|z|= =4.
故選：C.
【點評】本題考查了復(fù)數(shù)運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
3.已知兩個隨機(jī)變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系如表所示：
x ﹣4 ﹣2 1 2 4
y ﹣5 ﹣3 ﹣1 ﹣0.5 1
根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為 = x+ ，則大致可以判斷( )
A. >0， >0 B. >0， <0 C. <0， >0 D. <0， <0
【考點】線性回歸方程.
【分析】利用公式求出 ， ，即可得出結(jié)論.
【解答】解：樣本平均數(shù) =0.2， =﹣1.7，
∴ = = >0，
∴ =﹣1.7﹣ ×0.2<0，
故選：C.
【點評】本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，屬于基礎(chǔ)題.
4.已知向量 =(2，﹣4)， =(﹣3，x)， =(1，﹣1)，若(2 + )⊥ ，則| |=( )
A.9 B.3 C. D.3
【考點】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.
【分析】利用向量垂直關(guān)系推出等式，求出x，然后求解向量的模.
【解答】既然：向量 =(2，﹣4)， =(﹣3，x)， =(1，﹣1)，
2 + =(1，x﹣8)，
(2 + )⊥ ，
可得：1+8﹣x=0，解得x=9.
則| |= =3 .
故選：D.
【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量的模的求法，考查計算能力.
5.已知等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn，若log2a2+log2a8=2，則T9的值為( )
A.±512 B.512 C.±1024 D.1024
【考點】等比數(shù)列的性質(zhì).
【分析】利用已知條件求出a2a8的值，然后利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解T9的值.
【解答】解：log2a2+log2a8=2，
可得log2(a2a8)=2，
可得：a2a8=4，則a5=±2，
等比數(shù)列{an}的前9項積為T9=a1a2…a8a9=(a5)9=±512.
故選：A.
【點評】本題考查的等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的應(yīng)用，考查計算能力.
6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i的值為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【考點】程序框圖.
【分析】模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的i值.
【解答】解：模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，如下;
S=1，i=1，S<30;
S=2，i=2，S<30;
S=4，i=3，S<30;
S=8，i=4，S<30;
S=16，i=5，S<30;
S=32，i=6，S≥30;
終止循環(huán)，輸出i=6.
故選：B
【點評】本題主要考查了程序框圖的應(yīng)用問題，模擬程序的運(yùn)行過程是解題的常用方法.
7.已知三棱錐A﹣BCD的四個頂點在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別為A(2，0，2)，B(2，1，2)，C(0，2，2)，D(1，2，0)，畫該三棱錐的三視圖中的俯視圖時，以xOy平面為投影面，則得到的俯視圖可以為( )
A. B. C. D.
【考點】簡單空間圖形的三視圖.
【分析】找出各點在xoy平面內(nèi)的投影得出俯視圖.
【解答】解：由題意，A(2，0，2)，B(2，1，2)，C(0，2，2)，D(1，2，0)在xOy平面上投影坐標(biāo)分別為A(2，0，0)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，D(1，2，0).
故選：C.
【點評】本題考查了三視圖的定義，簡單幾何體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題.
8.已知過點(﹣2，0)的直線與圓O：x2+y2﹣4x=0相切與點P(P在第一象限內(nèi))，則過點P且與直線 x﹣y=0垂直的直線l的方程為( )
A.x+ y﹣2=0 B.x+ y﹣4=0 C. x+y﹣2=0 D.x+ y﹣6=0
【考點】圓的切線方程.
【分析】求出P的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為x+ y+c=0，代入P，求出c，即可求出直線l的方程.
【解答】解：由題意，切線的傾斜角為30°，∴P(1， ).
設(shè)直線l的方程為x+ y+c=0，代入P，可得c=﹣4，
∴直線l的方程為x+ y﹣4=0，
故選B.
【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.
9.函數(shù)f(x)=( ﹣1)•sinx的圖象大致形狀為( )
A. B. C. D.
【考點】函數(shù)的圖象.
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值驗證.
【解答】解：∵f(x)=( ﹣1)•sinx，
∴f(﹣x)=( ﹣1)•sin(﹣x)=﹣( ﹣1)sinx=( ﹣1)•sinx=f(x)，
∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故排除C，D，
當(dāng)x=2時，f(2)=( ﹣1)•sin2<0，故排除B，
故選：A
【點評】本題考查了函數(shù)圖象的識別，關(guān)鍵掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的特點，屬于基礎(chǔ)題.
10.已知函數(shù)f(x)= sinωx﹣ cosωx(ω<0)，若y=f(x+ )的圖象與y=f(x﹣ )的圖象重合，記ω的最大值為ω0，函數(shù)g(x)=cos(ω0x﹣ )的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.[﹣ π+ ，﹣ + ](k∈Z) B.[﹣ + ， + ](k∈Z)
C.[﹣ π+2kπ，﹣ +2kπ](k∈Z) D.[﹣ +2kπ，﹣ +2kπ](k∈Z)
【考點】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換;余弦函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】利用三角恒等變換化簡f(x)的解析式，利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)g(x)的增區(qū)間.
【解答】解：函數(shù)f(x)= sinωx﹣ cosωx(ω<0)=2sin(ωx﹣ )，
若y=f(x+ )的圖象與y=f(x﹣ )的圖象重合，
則 為函數(shù)f(x)的周期，即 =k•| |，∴ω=±4k，k∈Z.
記ω的最大值為ω0，則ω0=﹣4，
函數(shù)g(x)=cos(ω0x﹣ )=cos(﹣4x﹣ )=cos(4k+ ).
令2kπ﹣π≤4x+ ≤2kπ，求得 ﹣ ≤x≤ ﹣ ，
故函數(shù)g(x)的增區(qū)間為[ ﹣ ， ﹣ ]，k∈Z.
故選：A.
【點評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.
11.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點F2關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點A在該雙曲線的左支上，則此雙曲線的離心率為( )
A. B. C.2 D.
【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】設(shè)F(﹣c，0)，漸近線方程為y= x，對稱點為F'(m，n)，運(yùn)用中點坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，求出對稱點的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，由離心率公式計算即可得到所求值.
【解答】解：設(shè)F(﹣c，0)，漸近線方程為y= x，
對稱點為F'(m，n)，
即有 =﹣ ，
且 •n= • ，
解得m= ，n=﹣ ，
將F'( ，﹣ )，即( ，﹣ )，
代入雙曲線的方程可得 ﹣ =1，
化簡可得 ﹣4=1，即有e2=5，
解得e= .
故選：D.
【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用中點坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，以及點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.
12.定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，若關(guān)于x的不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)在x∈[1，3]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.[ ， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ， ]
【考點】函數(shù)恒成立問題.
【分析】由條件利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得0≤2mx﹣lnx≤6對x∈[1，3]恒成立，2m≥ 且2m≤ 對x∈[1，3]恒成立.求得相應(yīng)的最大值和最小值，從而求得m的范圍.
【解答】解：∴定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，
∵函數(shù)數(shù)f(x)在[0，+∞)上遞減，
∴f(x)在(﹣∞，0)上單調(diào)遞增，
若不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)對x∈[1，3]恒成立，
即f(2mx﹣lnx﹣3)≥f(3)對x∈[1，3]恒成立.
∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3對x∈[1，3]恒成立，
即0≤2mx﹣lnx≤6對x∈[1，3]恒成立，
即2m≥ 且2m≤ 對x∈[1，3]恒成立.
令g(x)= ，則 g′(x)= ，在[1，e)上遞增，(e，3]上遞減，∴g(x)max= .
令h(x)= ，h′(x)= <0，在[1，3]上遞減，∴h(x)min= .
綜上所述，m∈[ ， ].
故選D.
【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)
13.(1+x﹣30x2)(2x﹣1)5的展開式中，含x3項的系數(shù)為 ﹣260 (用數(shù)字填寫答案)
【考點】二項式定理的應(yīng)用.
【分析】分析x3得到所有可能情況，然后得到所求.
【解答】解：(1+x﹣30x2)(2x﹣1)5的展開式中，含x3項為 ﹣30x2 =80x3﹣40x3﹣300x3=﹣260x3，
所以x3的系數(shù)為﹣260;
故答案為：﹣260.
【點評】本題考查了二項式定理;注意各種可能.
14.已知實數(shù)x，y滿足 則z= 的取值范圍為 [ ] .
【考點】簡單線性規(guī)劃.
【分析】由約束條件作出可行域，再由z= 的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點P(﹣2，﹣1)連線的斜率求解.
【解答】解：由約束條件 作出可行域如圖：
A(2，0)，
聯(lián)立 ，解得B(5，6)，
z= 的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P(﹣2，﹣1)連線的斜率，
∵ ，
∴z= 的取值范圍為[ ].
故答案為：[ ].
【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.
15.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，則S1+S2+…+S2017= .
【考點】數(shù)列遞推式;數(shù)列的求和.
【分析】n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，可得[n(n+1)Sn﹣1](Sn+1)=0，Sn>0.可得Sn= = ﹣ .利用“裂項求和”方法即可得出.
【解答】解：∵n(n+1)Sn2+(n2+n﹣1)Sn﹣1=0(n∈N*)，
∴[n(n+1)Sn﹣1](Sn+1)=0，Sn>0.
∴n(n+1)Sn﹣1=0，
∴Sn= = ﹣ .
∴S1+S2+…+S2017= +…+ = .
故答案為： .
【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
16.如圖所示，三棱錐P﹣ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是線段AB的中點，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA= ，PB= ，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為 13π .
【考點】球內(nèi)接多面體;球的體積和表面積.
【分析】由題意得PA2+PB2=AB2，即可得D為△PAB的外心，在CD上取點O1，使O1為等邊三角形ABC的中心，在△DEC中，過D作直線與DE垂直，過O1作直線與DC垂直，兩條垂線交于點O，則O為球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半徑，
【解答】解：由題意，PA2+PB2=AB2，因為 ，∴AD⊥面DEC，
∵AD⊂PAB，AD⊂ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，
在CD上取點O1，使O1為等邊三角形ABC的中心，
∵D為△PAB斜邊中點，∴在△DEC中，過D作直線與DE垂直，過O1作直線與DC垂直，兩條垂線交于點O，則O為球心.
∵∠EDC=90°，∴ ，
又∵ ，∴OO1= ，三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑R= ，
三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為4πR2=13π，
故答案為：13π.
【點評】本題考查了幾何體的外接球的表面積，解題關(guān)鍵是要找到球心，求出半徑，屬于難題.
三、解答題
17.(12分)(2017•內(nèi)蒙古模擬)已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a、b、c成等比數(shù)列，c= bsinC﹣ccosB.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若b=2 ，求△ABC的周長和面積.
【考點】正弦定理;三角形中的幾何計算.
【分析】(Ⅰ)根據(jù)題意，由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，進(jìn)而變形可得1= sinC﹣cosB，由正弦的和差公式可得1=2sin(B﹣ )，即可得B﹣ 的值，計算可得B的值，即可得答案;
(Ⅱ)由余弦定理可得(a+c)2﹣3ac=12，又由a、b、c成等比數(shù)列，進(jìn)而可以變形為12=(a+c)2﹣36，解可得a+c=4 ，進(jìn)而計算可得△ABC的周長l=a+b+c，由面積公式S△ABC= acsinB= b2sinB計算可得△ABC的面積.
【解答】解：(Ⅰ)根據(jù)題意，若c= bsinC﹣ccosB，
由正弦定理可得sinC= sinBsinC﹣sinCcosB，
又由sinC≠0，則有1= sinC﹣cosB，
即1=2sin(B﹣ )，
則有B﹣ = 或B﹣ = ，即B= 或π(舍)
故B= ;
(Ⅱ)已知b=2 ，則b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac=12，
又由a、b、c成等比數(shù)列，即b2=ac，
則有12=(a+c)2﹣36，解可得a+c=4 ，
所以△ABC的周長l=a+b+c=2 +4 =6 ，
面積S△ABC= acsinB= b2sinB=3 .
【點評】本題考查正弦、余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵利用三角函數(shù)的恒等變形正確求出B的值.
18.(12分)(2017•漢中一模)每年的4月23日為世界讀書日，為調(diào)查某高校學(xué)生(學(xué)生很多)的讀書情況，隨機(jī)抽取了男生，女生各20人組成的一個樣本，對他們的年閱讀量(單位：本)進(jìn)行了統(tǒng)計，分析得到了男生年閱讀量的頻率分布表和女生閱讀量的頻率分布直方圖.
男生年閱讀量的頻率分布表(年閱讀量均在區(qū)間[0，60]內(nèi))：
本/年 [0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60]
頻數(shù) 3 1 8 4 2 2
(Ⅰ)根據(jù)女生的頻率分布直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數(shù);
(Ⅱ)在樣本中，利用分層抽樣的方法，從男生年與度量在[20，30)，[30，40)的兩組里抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求[30，40)這一組中至少有1人被抽中的概率;
(Ⅲ)若年閱讀量不小于40本為閱讀豐富，否則為閱讀不豐富，依據(jù)上述樣本研究閱讀豐富與性別的關(guān)系，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為月底豐富與性別有關(guān).
性別 閱讀量 豐富 不豐富 合計
男
女
合計
P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005
k0 5.024 6.635 7.879
附：K2= ，其中n=a+b+c+d.
【考點】獨立性檢驗.
【分析】(Ⅰ)求出前三組頻率之和，即可根據(jù)女生的頻率分布直方圖估計該校女生年閱讀量的中位數(shù);
(Ⅱ)確定基本事件的個數(shù)，即可求[30，40)這一組中至少有1人被抽中的概率;
(Ⅲ)根據(jù)所給數(shù)據(jù)得出2×2列聯(lián)表，求出K2，即可判斷是否有99%的把握認(rèn)為月底豐富與性別有關(guān).
【解答】解：(Ⅰ)前三組頻率之和為0.1+0.2+0.25=0.55，
∴中位數(shù)位于第三組，設(shè)中位數(shù)為a，則 = ，
∴a=38，
∴估計該校女生年閱讀量的中位數(shù)為38;
(Ⅱ)利用分層抽樣的方法，從男生年與度量在[20，30)，[30，40)的兩組里抽取6人，從這6人中隨機(jī)抽取2人，共有方法 =15種，各組分別為4人，2人，[30，40)這一組中至少有1人被抽中的概率1﹣ = ;
(Ⅲ)
性別 閱讀量 豐富 不豐富 合計
男 4 16 20
女 9 11 20
合計 13 27 40
K2= ≈2.849<6.635，
∴沒有99%的把握認(rèn)為月底豐富與性別有關(guān).
【點評】本題考查頻率分布直方圖，考查概率的計算，考查獨立性檢驗知識的運(yùn)用，屬于中檔題.
19.(12分)(2017•內(nèi)蒙古模擬)已知矩形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分別為DE、CF的中點，現(xiàn)沿著EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小為 .
(Ⅰ)求證：PQ∥平面BCD;
(Ⅱ)求二面角A﹣DB﹣E的余弦值.
【考點】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)取EB的中點M，連接PM，QM，證明：平面PMQ∥平面BCD，即可證明PQ∥平面BCD;
(Ⅱ)建立坐標(biāo)系，利用向量方法，即可求二面角A﹣DB﹣E的余弦值.
【解答】(Ⅰ)證明：取EB的中點M，連接PM，QM，
∵P為DE的中點，
∴PM∥BD，
∵PM⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴PM∥平面BCD，
同理MQ∥平面BCD，
∵PM∩MQ=M，
∴平面PMQ∥平面BCD，
∵PQ⊂平面PQM，
∴PQ∥平面BCD;
(Ⅱ)解：在平面DFC內(nèi)，過F作FC的垂線，則∠DFC= ，建立坐標(biāo)系，則E(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，D(0，﹣1，﹣ )，A(2，﹣1， )，
∴ =(﹣2，﹣2， )， =(0，2，﹣ )， =(0，1，0)，
設(shè)平面DAB的一個法向量為 =(x，y，z)，則 ，取 =(0， ， )，
同理平面DBE的一個法向量為 =( ，0， )，
∴cos< ， >= = ，
∴二面角A﹣DB﹣E的余弦值為 .
【點評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，考查向量方法的運(yùn)用，是中檔題.
20.(12分)(2017•內(nèi)蒙古模擬)已知橢圓C： + =1(a>b>0)的離心率為 ，點B是橢圓C的上頂點，點Q在橢圓C上(異于B點).
(Ⅰ)若橢圓V過點(﹣ ， )，求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l：y=kx+b與橢圓C交于B、P兩點，若以PQ為直徑的圓過點B，證明：存在k∈R， = .
【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系.
【分析】(Ⅰ)由橢圓的離心率公式求得a和b的關(guān)系，將(﹣ ， )代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程;
(Ⅱ)將直線方程代入橢圓方程，求得P的橫坐標(biāo)，求得丨BP丨，利用直線垂直的斜率關(guān)系求得丨BQ丨，由 = ，根據(jù)函數(shù)零點的判斷即可存在k∈R， = .
【解答】解：(Ⅰ)橢圓的離心率e= = = ，則a2=2b2，
將點(﹣ ， )代入橢圓方程 ，解得：a2=4，b2=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，
(Ⅱ)由題意的對稱性可知：設(shè)存在存在k>0，使得 = ，
由a2=2b2，橢圓方程為： ，
將直線方程代入橢圓方程，整理得：(1+2k2)x2+4kbx=0，
解得：xP=﹣ ，則丨BP丨= × ，
由BP⊥BQ，則丨BQ丨= ×丨 丨= • ，
由 = .，則2 × = • ，
整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，
設(shè)f(x)=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f( )<0，f( )>0，
∴函數(shù)f(x)存在零點，
∴存在k∈R， = .
【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的離心率，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，考查函數(shù)零點的判斷，考查計算能力，屬于中檔題.
21.(12分)(2017•內(nèi)蒙古模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+ ，其中a>0.
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明：(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )
【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)求出lnx< x﹣ ，令x=1+ (n≥2)，得到ln(1+ )< ( ﹣ )，累加即可證明結(jié)論.
【解答】解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是(0，+∞)，
f′(x)= ，令h(x)=﹣ax2+x﹣a，
記△=1﹣4a2，當(dāng)△≤0時，得a≥ ，
若a≥ ，則﹣ax2+x﹣a≤0，f′(x)≤0，
此時函數(shù)f(x)在(0，+∞)遞減，
當(dāng)0
顯然x1>x2>0，故此時函數(shù)f(x)在( ， )遞增，
在(0， )和( ，+∞)遞減;
綜上，0
在(0， )和( ，+∞)遞減，
a≥ 時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)遞減;
(Ⅱ)證明：令a= ，由(Ⅰ)中討論可得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)遞減，
又f(1)=0，從而當(dāng)x∈(1，+∞)時，有f(x)<0，即lnx< x﹣ ，
令x=1+ (n≥2)，
則ln(1+ )< (1+ )﹣ =
= ( + )< = ( ﹣ )，
從而：ln(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )
< (1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ + ﹣ )
= (1+ ﹣ ﹣ )< (1+ )= ，
則有l(wèi)n(1+ )+ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )< ，
可得(1+ )(1+ )(1+ )…(1+ )
【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查不等式的證明以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題.
四、選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程
22.(10分)(2017•內(nèi)蒙古模擬)已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(Ⅰ)求曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線θ= (ρ∈R)與曲線C1交于P，Q兩點，求|PQ|的長度.
【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.
【分析】(I)曲線C1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))，利用平方關(guān)系消去φ可得普通方程，展開利用互化公式可得極坐標(biāo)方程.曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程.
(II)把直線θ= (ρ∈R)代入 ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|= 即可得出.
【解答】解：(I)曲線C1的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))，利用平方關(guān)系消去φ可得： +(y+1)2=9，展開為：x2+y2﹣2 x+2y﹣5=0，可得極坐標(biāo)方程： ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0.
曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2x.
(II)把直線θ= (ρ∈R)代入 ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，
整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，
∴ρ1+ρ2=2，ρ1•ρ2=﹣5，
∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|= = =2 .
【點評】本題考查了直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用、參數(shù)方程化為普通方程、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
選修4-5：不等式選講
23.(10分)(2017•內(nèi)蒙古模擬)已知函數(shù)f(x)=|3x﹣4|.
(Ⅰ)記函數(shù)g(x)=f(x)+|x+2|﹣4，在下列坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù)g(x)的最小值;
(Ⅱ)記不等式f(x)<5的解集為M，若p，q∈M，且|p+q+pq|<λ，求實數(shù)λ的取值范圍.
【考點】函數(shù)的圖象.
【分析】(Ⅰ)根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)g(x)的圖象，并根據(jù)圖象求出函數(shù)g(x)的最小值;
(Ⅱ)記不等式f(x)<5的解集為M，可得p，q∈(﹣ ，3)，若p，q∈M，且|p+q+pq|<λ，利用絕對值不等式，即可求實數(shù)λ的取值范圍.
【解答】解：(Ⅰ)函數(shù)g(x)=f(x)+|x+2|﹣4=|3x﹣4|+|x+2|﹣4，
圖象如圖所示，
由圖象可得，x= ，g(x)有最小值﹣ ;
(Ⅱ)由題意，|3x﹣4|<5，可得﹣
∴|p+q+pq|≤|p|+|q|+|pq|<3+3+3×3=15，
∴λ≥15.
【點評】本題考查函數(shù)的圖象，考查絕對值不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.
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