2018屆石景山高三理科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
數(shù)學(xué)是高考的必考科目之一，在高考備考期間，多做一些高考數(shù)學(xué)模擬試卷將對(duì)我們高考數(shù)學(xué)很有幫助，以下是百分網(wǎng)小編為你整理的2018屆石景山高三理科數(shù)學(xué)模擬試卷，希望能幫到你。
2018屆石景山高三理科數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,滿(mǎn)分60分.
1.已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù) 等于
A. B. C. D.
3.某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出 的值是 ，
則輸入的整數(shù) 的可能值為
A.5 B.6 C.8 D.15
4.已知直線 ,且 于 , 為坐標(biāo)原點(diǎn),
則點(diǎn) 的軌跡方程為
A. B. C. D.
5.函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程是
A. B. C. D.
6.“等式 成立”是“ 成等差數(shù)列”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件
7.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 中， ， 成等差數(shù)列， 是數(shù)列 的前 項(xiàng)的和，則
A.1008 B.2016 C.2032 D.4032
8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是
A. B.
C. D.
9.半徑為 的球面上有 四點(diǎn)， 兩兩互相垂直，則 面積之和的最大值為
A.8 B.16 C.32 D.64
10.設(shè)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ，則 中最大的是
A. B. C. D.
11.已知函數(shù) (其中 )， ，且函數(shù) 的兩個(gè)極值點(diǎn)為 .設(shè) ，則
A. B.
C. D.
12.設(shè)雙曲線 的右焦點(diǎn)為 ，過(guò)點(diǎn) 作 軸的垂線交兩漸近線于點(diǎn) 兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為 ，設(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 ， ，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.若 是數(shù)列 的`前 項(xiàng)的和，且 ，則數(shù)列 的最大項(xiàng)的值為_(kāi)________ __.
14.設(shè) ,則二項(xiàng)式 展開(kāi)式中的第 項(xiàng)為_(kāi)__________.
15. 已知正方形 的邊長(zhǎng)為 ，點(diǎn) 為 的中點(diǎn).以 為圓心， 為半徑，作弧交 于點(diǎn) ，若 為劣弧 上的動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值為_(kāi)__________.
16.已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) 的取值范圍_________.
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17.(本題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù)
(I)求函數(shù) 的最小正周期;
(Ⅱ)求使函數(shù) 取得最大值的 的集合.
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖，在四棱錐 中，底面 是菱形， ，
點(diǎn) 分別為 和 中點(diǎn).
(Ⅰ)求證：直線 ;
(Ⅱ)求 與平面 所成角的正弦值.
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的治安滿(mǎn)意度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的治安滿(mǎn)意度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉).
(I)若治安滿(mǎn)意度不低于 分，則稱(chēng)該人的治安滿(mǎn)意度為“極安全”，求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極安全”的概率;
(II)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記 表示抽到“極安全”的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
20.(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖，已知直線 過(guò)橢圓 的右焦點(diǎn) ，拋物線： 的焦點(diǎn)為橢 圓 的上頂點(diǎn)，且直線 交橢圓 于 兩點(diǎn)，點(diǎn) 在直線 上的射影依次為點(diǎn) .
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)若直線 交 軸于點(diǎn) ，且 ，當(dāng) 變化時(shí)，探求 的值是否為定值?若是，求出 的值，否則，說(shuō)明理由.
21.(本小題滿(mǎn)分12分)
設(shè) 和 是函數(shù) 的兩個(gè)極值點(diǎn),其中
, .
(Ⅰ) 求 的取值范圍;
(Ⅱ) 若 ,求 的最大值.
22.(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，已知⊙ 的半徑長(zhǎng)為4，兩條弦 相交于點(diǎn) ，若 ， ， 為 的中點(diǎn)， .
(Ⅰ) 求證： 平分 ;
(Ⅱ)求 的度數(shù).
23.(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線 的參數(shù)方程為 (其中 為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ) 分別寫(xiě)出曲線 與曲線 的普通方程;
(Ⅱ)若曲線 與曲線 交于 兩點(diǎn)，求線段 的長(zhǎng).
24.(本小題滿(mǎn)分10分) 選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求不等式 的解集;
(Ⅱ)若函數(shù) 的最小值為 ，且 ，求 的最小值.
2018屆石景山高三理科數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、選擇題:本大題共 12小題,每小題5分,滿(mǎn)分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A
二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.12 14. 15. 16.[﹣1，1]
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17.(Ⅰ) f(x)=3sin(2x-π6)+1-cos2(x-π12)
= 2[32sin2(x-π12)-12 cos2(x-π12)]+ 1
=2sin[2(x-π12)-π6]+1
= 2sin(2x-π3) +1
∴ T=2π2 =π
(Ⅱ)當(dāng)f(x) 取最大值時(shí), sin(2x-π3)=1,
有 2x-π3 =2kπ+π2
即x=kπ+ 5π12 (k∈Z)
∴所求x的集合為{x∈R|x= kπ+ 5π12 , (k∈ Z)}.
18.解：(Ⅰ)證明：作FM∥CD交PC于M.
∵點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，∴ . …………2分
∵ ，∴ ，
∴AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM， ……4分
∵ ，
∴直線AF 平面PEC. ……………6分
(Ⅱ) ， .
如圖所示，建立坐標(biāo)系，則
P(0,0,1),C(0,1,0),E( ,0,0),
A( ， ，0)， ，
∴ ， . …8分
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為 .
∵ ， ，∴ ，取 ，則 ，
∴平面PAB的一個(gè)法向量為 . …………………………10分
設(shè)向量 ∵ ，
∴ ，
∴P C平面PAB所成角的正弦值為 . .…………………………12分
19.
2 0.解：(Ⅰ)易知橢圓右焦點(diǎn)F(1，0)，∴c=1，
拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo) ，∴ ∴b2=3
∴a2=b2+c2=4∴橢圓C的方程
(Ⅱ)易知m≠0，且l與y軸交于 ，
設(shè)直線l交橢圓于A(x1，y 1)，B(x2，y2)
由
∴△=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0
∴
又由
∴
同理
∴
∵
∴
所以，當(dāng)m變化時(shí)，λ1+λ2的值為定值 ;
(Ⅲ)證明：由(Ⅱ)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴D(4，y1)，E(4，y2)
方法1)∵
當(dāng) 時(shí)， =
=
∴點(diǎn) 在直線lAE上，
同理可證，點(diǎn) 也在直線lBD上;
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)
方法2)∵
=
∴kEN=kAN∴A、N、E三點(diǎn)共線，
同理可得B、N、D也三點(diǎn)共線;
∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn) .
解:函數(shù) 的定義域?yàn)?, .
依題意,方程 有兩個(gè)不等的正根 , (其中 ).故
,
并且 .
所以,
故 的取值范圍是
(Ⅱ)解:當(dāng) 時(shí), .若設(shè) ,則
.
于是有
構(gòu)造函數(shù) (其中 ),則 .
所以 在 上單調(diào)遞減, .
故 的最大值是
22.(本小題滿(mǎn)分10分)
解：(1)由 為 的中點(diǎn)， 得
又
∽
又
故 平分 ………………5分
(2)連接 ，由點(diǎn) 是弧 的中點(diǎn)，則 ，
設(shè)垂足為點(diǎn) ，則點(diǎn) 為弦 的中點(diǎn)，
連接 ，則 ， ，
………………10分
23.(本小題滿(mǎn)分10分)
解：(1)曲線 ，………………2分
曲線 ： ………………4分
(2)聯(lián)立 ，得 ，
設(shè) ，則
于是 .
故線段 的長(zhǎng)為 .………………10分
24.(本小題滿(mǎn)分10分)
解：(1)由 知 ，于是 ，解得 ，故不等式 的解集為 ;……………………3分
(2)由條件得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，其最小值 ，即 …………………6分
又 ，…………8分
所以 ，
故 的最小值為 ，此時(shí) .……10分
12分
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