2018屆上海市黃浦區(qū)高三數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
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2018屆上海市黃浦區(qū)高三數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、填空題(本大題共有12題，滿分54分. 其中第1~6題每題滿分4分，第7~12題每題滿分5分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.[
1.函數(shù) 的定義域是 .
2.若關(guān)于 的方程組 有無數(shù)多組解，則實(shí)數(shù) _________.
3.若“ ”是“ ”的必要不充分條件，則 的最大值為 .
4.已知復(fù)數(shù) ， (其中i為虛數(shù)單位)，且 是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t等于 .
5.若函數(shù) (a>0,且a≠1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是 .
6.設(shè)變量 滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù) 的最小值為 .
7. 已知圓 和兩點(diǎn) ，若圓 上至少存在一點(diǎn) ，使得 ，則 的取值范圍是 .
8. 已知向量 ， ，如果 ∥ ，那么 的值為 .
9.若從正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形的概率是
.
10.若將函數(shù) 的圖像向左平移 個(gè)單位后，所得
圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則 的最小值是 .
11.三棱錐 滿足： ， ， ， ，
則該三棱錐的體積V的取值范圍是 .
12.對于數(shù)列 ，若存在正整數(shù) ，對于任意正整數(shù) 都有 成立，則稱數(shù)列 是以 為
周期的周期數(shù)列.設(shè) ，對任意正整數(shù)n都有 若數(shù)列
是以5為周期的周期數(shù)列，則 的值可以是 .(只要求填寫滿足條件的一個(gè)m值即可)
二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分.)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
13.下列函數(shù)中，周期為π，且在 上為減函數(shù)的是 ( )
A.y = sin(2x+ B.y = cos(2x+
C.y = sin(x+ D.y = cos(x+
14.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的
表面積是 ( )
A. B.
C. D.
15.已知雙曲線 的右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離等
于它到漸近線距離的2倍，則其漸近線方程為 ( )
A. B.
C. D.
16.如圖所示， ，圓 與 分別相切于點(diǎn) ，
，點(diǎn) 是圓 及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且
，則 的取值范圍是 ( )
A. B.
C. D.
三、解答題(本大題共有5題，滿分76分.)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17.(本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
如圖，在直棱柱 中， ， ， 分別是 的中點(diǎn).
(1)求證： ;
(2)求 與平面 所成角的大小及點(diǎn) 到平面 的距離.
18.(本題滿分14分)本題共有2小題，第小題滿分6分，第小題滿分8分.
在 中，角 的對邊分別為 ，且 成等差數(shù)列.
(1)求角 的大小;
(2)若 ， ，求 的值.
19.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題6分，第2小題8分.
如果一條信息有n 種可能的情形(各種情形之間互不相容)，且這些情形發(fā)生的概率分別為 ，則稱 (其中 )為該條信息的信息熵.已知 .
(1)若某班共有32名學(xué)生，通過隨機(jī)抽簽的方式選一名學(xué)生參加某項(xiàng)活動(dòng)，試求“誰被選中”的信息熵的大小;
(2)某次比賽共有n位選手(分別記為 )參加，若當(dāng) 時(shí)，選手 獲得冠軍的概率為 ，求“誰獲得冠軍”的信息熵 關(guān)于n的表達(dá)式.
20.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
設(shè)橢圓M: 的左頂點(diǎn)為 、中心為 ，若橢圓M過點(diǎn) ，且 .
(1)求橢圓M的方程;
(2)若△APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上，試求△APQ面積的.最大值;
(3)過點(diǎn) 作兩條斜率分別為 的直線交橢圓M于 兩點(diǎn)，且 ，求證：直線 恒過一個(gè)定點(diǎn).
21.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
若函數(shù) 滿足:對于任意正數(shù) ，都有 ，且 ，則稱函數(shù) 為“L函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù) 與 是否是“L函數(shù)”;
(2)若函數(shù) 為“L函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù) 為“L函數(shù)”，且 ，求證：對任意 ，都有
2018屆上海市黃浦區(qū)高三數(shù)學(xué)模擬試卷答案
一、填空題：(1~6題每題4分;7~12題每題5分)
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. (或 ，或 ).
二、選擇題：(每題5分)
13.A 14.D 15. C 16. B
三、解答題：(共76分)
17.解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB為x軸、 為y軸、
為z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.
由題意可知 ，
故 ，…………………4分
由 ，
可知 ，即 . …………………6分
(2)設(shè) 是平面 的一個(gè)法向量，
又 ，
故由 解得 故 . …………9分
設(shè) 與平面 所成角為 ，則 ，…………12分
所以 與平面 所成角為 ，
點(diǎn) 到平面 的距離為 . …………………14分
18.解：(1)由 成等差數(shù)列，
可得 ， …………………2分
故 ，所以 ， ………4分
又 ，所以 ，故 ，
又由 ，可知 ，故 ，所以 . …………………6分
(另法：利用 求解)
(2)在△ABC中，由余弦定理得 ， …………………8分
即 ，故 ，又 ，故 ，………………10分
所以
…………………12分
，
故 . …………………14分
19.解：(1)由 ，可得 ，解之得 . …………………2分
由32種情形等可能，故 ， ……………………4分
所以 ，
答：“誰被選中”的信息熵為 . ……………………6分
(2) 獲得冠軍的概率為 ，……………8分
當(dāng) 時(shí)， ，又 ，
故 ， ……………………11分
，
以上兩式相減，可得 ，故 ，
答：“誰獲得冠軍”的信息熵為 . ……………………14分
20.解：(1)由 ，可知 ，
又 點(diǎn)坐標(biāo)為 故 ，可得 ， ……………………………2分
因?yàn)闄E圓M過 點(diǎn)，故 ，可得 ，
所以橢圓M的方程為 . ……………………………4分
(2)AP的方程為 ，即 ，
由于 是橢圓M上的點(diǎn)，故可設(shè) ， ……………………………6分
所以 ……………………………8分
當(dāng) ，即 時(shí)， 取最大值.
故 的最大值為 . ……………………………10分
法二：由圖形可知，若 取得最大值，則橢圓在點(diǎn) 處的切線 必平行于 ，且在直線 的下方. …………………………6分
設(shè) 方程為 ，代入橢圓M方程可得 ，
由 ，可得 ，又 ，故 . …………………………8分
所以 的最大值 . ……………………………10分
(3)直線 方程為 ，代入 ，可得
， ，
又 故 ， ， ………………12分
同理可得 ， ，又 且 ，可得 且 ，
所以 ， ， ，
直線 的方程為 ， ………………14分
令 ，可得 .
故直線 過定點(diǎn) . ………………16分
(法二)若 垂直于 軸，則 ，
此時(shí) 與題設(shè)矛盾.
若 不垂直于 軸，可設(shè) 的方程為 ，將其代入 ，
可得 ，可得 ，………12分
又 ，
可得 ， ………………14分
故 ，
可得 或 ，又 不過 點(diǎn)，即 ，故 .
所以 的方程為 ，故直線 過定點(diǎn) . ………………16分
21.解：(1)對于函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， ，
又 ，所以 ，
故 是“L函數(shù)”. ………………2分
對于函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， ，
故 不是“L函數(shù)”. ………………4分
(2)當(dāng) 時(shí)，由 是“L函數(shù)”，
可知 ，即 對一切正數(shù) 恒成立，
又 ，可得 對一切正數(shù) 恒成立，所以 . ………………6分
由 ，可得 ，
故 ，又 ，故 ，
由 對一切正數(shù) 恒成立，可得 ，即 . ………………9分
綜上可知，a的取值范圍是 . ………………………10分
(3)由函數(shù) 為“L函數(shù)”， 可知對于任意正數(shù) ，
都有 ，且 ，
令 ，可知 ，即 ， ………………………12分
故對于正整數(shù)k與正數(shù) ，都有
， ………………………………14分
對任意 ，可得 ，又 ，
所以 ，…………………16分
同理 ，
故 . ……………………………18分
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