2018屆煙臺市高考文科數(shù)學模擬試卷及答案
數(shù)學是高考必考科目，那么在高考文科數(shù)學考試中，文科數(shù)學有哪些必考題型呢?此時我們可以做一套數(shù)學模擬試卷來分析數(shù)學的必考題型，下面是小編為大家精心推薦的2018屆煙臺市高考文科數(shù)學模擬試卷，希望能夠?qū)δ兴鶐椭?/p>
2018屆煙臺市高考文科數(shù)學模擬試卷題目
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
(1)已知集合 ， ，則
(A) (B) (C) (D)
(2)已知復數(shù) .若 ，則 在復平面內(nèi)對應的點位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(3)公差為2的等差數(shù)列 的前 項和為 .若 ，則
(A)4 (B)6 (C)8 (D)14
(4)已知實數(shù) 滿足約束條件 ，則滿足 的點 所構(gòu)成的區(qū)域面積等于
(A) (B) (C) (D)1
(5)榫卯(sǔn mǎo)是古代中國建筑、家具及其它器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是在兩個構(gòu)件上采用凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式，凸出部分叫做“榫頭”.某“榫頭”的三視圖及其部分尺寸如圖所示，則該“榫頭”體積等于
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15
(6)執(zhí)行一次如圖所示的程序框圖，若輸出 的值為0，則下列關(guān)于框圖中函數(shù) 的表述，正確的是
(A) 是奇函數(shù)，且為減函數(shù) (B) 是偶函數(shù)，且為增函數(shù)
(C) 不是奇函數(shù)，也不為減函數(shù) (D) 不是偶函數(shù)，也不為增函數(shù)
(7)已知以 為中心的雙曲線 的一個焦點為 ， 為 上一點， 為 的中點.若 為等腰直角三角形，則 的離心率等于
(A) (B) (C) (D)
(8)已知曲線 的一條對稱軸方程為 ，曲線 向左平移 ( )個單位長度，得到的曲線 的一個對稱中心為 ，則 的最小值是
(A) (B) (C) (D)
(9)在梯形 中， ， ， ， ， ，則
(A)2 (B) (C) (D)
(10)某密碼鎖共設四個數(shù)位，每個數(shù)位的數(shù)字都可以是1，2，3，4中的任一個.現(xiàn)密碼破譯者得知：甲所設的四個數(shù)字有且僅有三個相同;乙所設的四個數(shù)字有兩個相同，另兩個也相同;丙所設的四個數(shù)字有且僅有兩個相同;丁所設的四個數(shù)字互不相同.則上述四人所設密碼最安全的是
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁
(11)已知直線 分別與半徑為1的圓 相切于點 ， ， .若點 在圓 的內(nèi)部(不包括邊界)，則實數(shù) 的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
(12)已知函數(shù) ， .若曲線 上存在兩點關(guān)于直線 的對稱點在曲線 上，則實數(shù) 的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
第 Ⅱ 卷
本卷包括必考題和選考題兩個部分.第(13)題～第(21)題為必考題，每個試題考生都必須做答.第(22)、(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
(13)已知橢圓 的左頂點、上頂點、右焦點分別為 ，則 _________.
(14)已知曲線 在點 處的切線為 ，則由 以及直線 圍成的區(qū)域面積等于__________.
(15)在平面直角坐標系 中，角 的終邊經(jīng)過點 ，則 的取值范圍是_____.
(16)已知在體積為 的圓柱中， 分別是上、下底面兩條不平行的直徑，則三棱錐 的體積最大值等于_________.
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
(17)(本小題滿分12分)
在數(shù)列 中， ， .
(Ⅰ)求證：數(shù)列 是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列 的前 項和 .
(18)(本小題滿分12分)
某測試團隊為了研究“飲酒”對“駕車安全”的影響，隨機選取 名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進行“停車距離”測試. 測試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”(駕駛員從看到意外情況到車子完全停下所需要的距離).無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗數(shù)據(jù)分別列于表1和表2.
表1
停車距離 (米)
頻數(shù)
表2
平均每毫升血液酒精含量 毫克
平均停車距離 米
已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為 ，回答以下問題.
(Ⅰ)求 的值，并估計駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計算 關(guān)于 的回歸方程 ;
(Ⅲ)該測試團隊認為：駕駛員酒后駕車的平均“停車距離” 大于(Ⅰ)中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的 倍，則認定駕駛員是“醉駕”.請根據(jù)(Ⅱ)中的回歸方程，預測當每毫升血液酒精含量大于多少毫克時為“醉駕”?
(附：對于一組數(shù)據(jù) ，其回歸直線 的斜率和截距的最小二乘估計分別為 ， .)
(19) (本小題滿分12分)
如圖，在三棱錐 中，平面 平面 ， ， ， ，點 在 上， .
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)若二面角 的余弦值為 ，求三棱錐 的體積.
(20) (本小題滿分12分)
在平面直角坐標系 中，拋物線 的焦點為 ，過 的直線 交 于 兩點，交 軸于點 ， 到 軸的.距離比 小1.
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)若 ，求 的方程.
(21) (本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)若 有唯一解，求實數(shù) 的值;
(Ⅱ)證明：當 時， .
(附： ， ， ， )
請考生在第(22)、(23)兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.
(22)(本小題滿分10分)選修4—4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系 中，曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù));在以 為極點， 軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線 的極坐標方程為 .
(Ⅰ)求 的普通方程和 的直角坐標方程;
(Ⅱ)若射線 ： 分別交 ， 于 兩點( 異于原點).當 時，求 的取值范圍.
(23)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講
已知函數(shù) .
(Ⅰ)當 時，解不等式 ;
(Ⅱ)若關(guān)于 的不等式 有解，求實數(shù) 的取值范圍.
2018屆煙臺市高考文科數(shù)學模擬試卷答案
一、選擇題：本大題考查基礎知識和基本運算.每小題5分，滿分60分.
(1)C (2)B (3)B (4)C (5)C (6)D
(7)B (8)A (9)B (10)C (11)B (12)D
(11)解法一：以圓心 為原點， 的方向為 軸的正方向建立平面直角坐標系，則有 ， ， .設 ，可解得 ， ，因為 在圓內(nèi)，所以 ，整理，得 ，解得 ，故答案選(B).
解法二：如圖，在線段 的延長線上取點 ，使得 .連結(jié) ，交圓 于 .可求得 ，故 三點共線.因為 ，所以 ，故 .又因為點 在圓 的內(nèi)部(不包括邊界)，所以 ，答案選(B).
(12)解法一：可以看出， 是曲線 與曲線 的一個公共點，且當 時，兩曲線在點 處的切線方程均為 .由導數(shù)的概念，可知當 或 時，曲線 與直線 交于兩點，必與曲線 交于兩點，故答案為(D).
解法二：方程 顯然有一個根 .
若滿足在去心鄰域 存在非 的根則符合題意.又因為對于區(qū)間 (其中 為任意充分小正數(shù))， ( 表示等價無窮小 )，故去心鄰域 中，方程等價為 ，所以 取遍去心鄰域 ，所以排除選項(A)(B)(C)，答案為(D).
解法三： 有兩個不同根，由于兩者都是連續(xù)函數(shù)，令特殊值 ，不合題意;
令特殊值 ，符合題意;令特殊值 ，符合題意.故選項(D).
解法四：依題意，可知 有兩個不同實根.設 ，則 .
當 時， 單調(diào)遞增;當 時， 單調(diào)遞減;
當 時， 恒成立，當且僅當 取到等號，即只有一個根，與題意不合.
當 時，顯然符合題意.
當 時，可以發(fā)現(xiàn) 時， ;(或者 )
當時， (證明后補).根據(jù)零點存在性定理可得在 必有一根.
故兩圖象有兩個公共點.故 的取值范圍是 .
補證： 時， ，即證 ，即證 ，
這是顯然的 ，而 .得證
解法五：方程 顯然有一個實根 ，故當 時方程 還有另一個實根，
當 時， ;當 時， ;
且 ，
;
顯然， ，且 都是符合題意.
二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算.每小題5分，滿分20分.
(13)6 (14) (15) (16)8
解析：
(15)解法一：依題意，可知 ，所以 ，故 ，所以 ，故答案為 .
解法二：由三角函數(shù)定義，得 ， ，
所以 ，
因為 在 單調(diào)遞增，所以 ，
所以 ，從而 ，故答案為 .
(16)解：設上、下底面圓的圓心分別為 ，圓的半徑為 ，
由已知 ，所以 ，則 ，
因為 是 中點，所以 到平面 的距離與 到平面 的距離相等，故 ，從而 .設三棱錐 的高為 ，則 ，
所以 ，
故三棱錐 的體積最大值等于8.
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(17)(本小題滿分12分)
解法一：(Ⅰ) 的兩邊同時除以 ，
得 ， 3分
所以數(shù)列 是首項為4，公差為2的等差數(shù)列. 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)，得 ， 7分
所以 ，故 ， 8分
所以 ，
，
. 12分
解法二：依題意，可得 ， 1分
所以 ，
即 ， 3分
所以數(shù)列 是首項為4，公差為2的等差數(shù)列. 6分
(Ⅱ)同解法一. 12分
(18)(本小題滿分12分)
本小題主要考查頻率分布直方圖、數(shù)學期望等基礎知識;考查抽象概括能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應用意識;考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想.
解：(Ⅰ)依題意，得 ，解得 ， 1分
又 ，解得 ; 2分
故停車距離的平均數(shù)為 . 4分
(Ⅱ)依題意，可知 ， 5分
， 6分
， 7分
，
所以回歸直線為 . 8分
(Ⅲ)由(I)知當 時認定駕駛員是“醉駕”. 9分
令 ，得 ，解得 ， 11分
當每毫升血液酒精含量大于 毫克時認定為“醉駕”. 12分
(19) (本小題滿分12分)
解法一:(Ⅰ)取 的中點 ，連結(jié) .
因為 ， ，所以 ， 1分
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 2分
又 平面 ，所以 .
在 中， ， ，所以 ，
由角平分線定理，得 ， 3分
又 ，所以 ， 4分
又因為 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 5分
又 平面 ，所以 . 6分
(Ⅱ)在 中， ， ，
由余弦定理得 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，所以 ， 7分
結(jié)合(Ⅰ)知， 兩兩垂直.以 為原點，分別以向量 的方向為 軸、 軸、 軸的正方向建立空間直角坐標系 (如圖)，設 ，
則 ， ， ，
所以 ， ， 8分
設 是平面 的一個法向量，
則 即 ，整理，得
令 ，得 . 9分
因為 平面 ，所以 是平面 的一個法向量. 10分
又因為二面角 的余弦值為 ，
所以 ，解得 或 (舍去)， 11分
又 平面 ，所以 是三棱錐 的高，
故 . 12分
解法二：(Ⅰ)取 中點 ，連結(jié) .
因為 ， ，所以 ， 1分
又因為平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 2分
在平面 內(nèi)，過 作 (如圖)，則 ， , 兩兩垂直.
以 為原點，分別以向量 的方向為 軸、 軸、 軸的正方向建立空間直角坐標系 (如圖)，設 ， 3分
在 中， ， ，由余弦定理得 ，
因為 ，所以 ，故 ， 4分
則有 ， ， ， ， 5分
所以 ， ，
所以 ，
所以 . 7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 .
設 是平面 的法向量，
則 即 整理，得
令 ，得 . 9分
因為 平面 ，所以 是平面 的一個法向量. 10分
又因為二面角 的余弦值為 ，
所以 ，解得 或 (不合，舍去)， 11分
又 平面 ，所以 是三棱錐 的高，
故 . 12分
解法三:(Ⅰ)同解法一. 6分
(Ⅱ)過點 作 于點 ，連結(jié) .
在 中， ， ，由余弦定理可得 .
因為 ，所以 ，
故 ， ，所以 ， 7分
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 8分
又因為 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，所以 為二面角 的平面角， 9分
所以 ，所以 ，解得 ， 10分
設 ，則 ，解得 或 (不合，舍去)， 11分
又 平面 ，所以 是三棱錐 的高，
所以 . 12分
(20) (本小題滿分12分)
解法一：(Ⅰ) 的準線方程為 ， 1分
由拋物線的定義，可知 等于點 到 的準線的距離. 2分
又因為點 到 軸的距離比 小1，
所以點 到 軸的距離比點 到拋物線準線的距離小1， 3分
故 ，解得 ，
所以 的方程為 . 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 的焦點為 ，設直線 的方程為 ， , .則 . 5分
聯(lián)立方程組 消去 ，得 . 6分
，
由韋達定理，得 . 7分
設點 到直線 的距離為 ，則 , .
又 ，所以 . 8分
又 在同一直線上,所以 ，即 ， 9分
因為 ， 10分
所以 ，整理，得 ，
故 ，解得 ， 11分
所以 的方程為 . 12分
解法二：(Ⅰ) 的焦點為 ， 1分
將 代入 ，得 或 ，故 ，
因為點 到 軸的距離比 小1， ，即 ， 2分
解得 ，所以 的方程為 ， 3分
經(jīng)檢驗，拋物線的方程 滿足題意. 4分
(Ⅱ)同解法一. 12分
(21) (本小題滿分12分)
解法一：(Ⅰ)函數(shù) 的定義域為 .
要使 有唯一解，只需滿足 ，且 的解唯一， 1分
， 2分
�、佼� 時， ， 在 上單調(diào)遞增，且 ，
所以 的解集為 ，不符合題意; 4分
�、诋� 時，且 時， ， 單調(diào)遞增;當 時， ， 單調(diào)遞減，所以 有唯一的一個最大值為 ，
令 ，得 ，此時 有唯一的一個最大值為 ，且 ，故 的解集是 ，符合題意;
綜上，可得 . 6分
(Ⅱ)要證當 時， ，
即證當 時， ，
即證 . 7分
由(Ⅰ)得，當 時， ，即 ，從而 ，
故只需證 ，當 時成立; 8分
令 ，則 ， 9分
令 ，則 ，令 ，得 .
因為 單調(diào)遞增，所以當 時， ， 單調(diào)遞減，即 單調(diào)遞減，當 時， ， 單調(diào)遞增，即 單調(diào)遞增，
所以 ， ， ，
由零點存在定理，可知 ， ，使得 ，
故當 或 時， ， 單調(diào)遞增;當 時， ， 單調(diào)遞減，所以 的最小值是 或 .
由 ，得 ，
，
因為 ，所以 ，
故當 時， ，所以原不等式成立. 12分
解法二：(Ⅰ)函數(shù) 的定義域為 .
， 1分
�、佼� 時， ， 在 上單調(diào)遞增，且 ，所以 的解為 ，此時不符合題意; 2分
�、诋� 時， ，
所以當 時， ， 單調(diào)遞增;當 時， ， 單調(diào)遞減，所以 ， ， 3分
令 ， ， 4分
當 時， ， 單調(diào)遞減，當 時， ， 單調(diào)遞增，所以 ，由此可得當 且 時， ，
且當 時， ，由零點存在定理， ，
使得 ，當 時， ，解集不唯一，不符合題意;
當 時， ，所以 的解集是 ，符合題意;
綜上可得，當 時， 有唯一解; 6分
(Ⅱ)要證明當 時， ，
即證當 時， ，(因為 )
即證 ， 7分
令 ，則 ， 8分
令 ，則 在 上單調(diào)遞增，且 ， ，
所以 使得 ，即 ，
所以當 時， ， 單調(diào)遞增，即 遞增;
當 時， ， 單調(diào)遞減，即 遞減，
所以 ， ，
當 時遞減， ，
當 時， ， ，
由零點存在定理，可得 ， ， ，
故當 或 時， ， 單調(diào)遞增，
當 時， ， 單調(diào)遞減，
當 時， ，由 得， ， ，
又 ，
令 ( )，
則 在 遞減，且 ，所以 ，
所以 在 遞減， ，
所以當 ， ，即 ，
所以 ，即原不等式成立. 12分
請考生在第(22)，(23)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號.
(22)選修 ;坐標系與參數(shù)方程
本小題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.滿分10分.
解：(Ⅰ)由題意得，由 可得 ，
即 的普通方程為 . 2分
方程 可化為 ……(*)，
將 代入方程(*)，可得 . 5分
(Ⅱ)聯(lián)立方程 得 . 7分
聯(lián)立方程組 ，可得 ，
所以 . 9分
又 ，所以 . 10分
(23)選修 ：不等式選講
本小題主要考查絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等.滿分10分.
解：(Ⅰ)當 時， . 1分
當 時，可得 ，解得 . 2分
當 時，因為 不成立，故此時無解; 3分
當 時，由 得， ，故此時 . 4分
綜上所述，不等式 的解集為 . 5分
(Ⅱ)因為 ， 6分
要使關(guān)于 的不等式 有解，只需 成立即可. 7分
當 時， 即 ，
解得 ，或 (舍去); 8分
當 時， ，即 ，
解得 (舍去)，或 ; 9分
所以， 的取值范圍為 . 10分
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