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2017學(xué)年九年級下冊期中數(shù)學(xué)試卷

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2017學(xué)年九年級下冊期中數(shù)學(xué)試卷

　　一、選擇題(本大題共10小題，每題4分，共40分)

　　1.對于二次函數(shù)y=(x﹣4)2+3的圖象，下列說法正確的是(　　)

　　A.開口向下 B.與x軸有兩個交點

　　C.對稱軸：直線x=﹣4 D.頂點坐標(biāo)(4，3)

　　2.一個不透明的袋子中有5個白球、2個黃球和3個紅球，這些球除顏色可以不同外其他完全相同，則從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率為(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.如圖，正三角形ABC內(nèi)接于圓O，動點P在圓周的劣弧AB上，且不與A，B重合，則∠BPC等于(　　)

　　A.30° B.60° C.90° D.45°

　　4.若拋物線y=ax2經(jīng)過點P(1，﹣3)，則此拋物線也經(jīng)過點(　　)

　　A.(﹣1，3) B.(﹣3，1) C.(1，3) D.(﹣1，﹣3)

　　5.數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a.小明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是(　　)

　　A.勾股定理

　　B.直徑所對的圓周角是直角

　　C.勾股定理的逆定理

　　D.90°的圓周角所對的弦是直徑

　　6.若A(0，y1)，B(﹣3，y2)，C(3，y3)為二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣k的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是(　　)

　　A.y1

　　7.如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，那么(　　)

　　A.a<0，b>0，c>0 B.a>0，b<0，c>0 C.a>0，b<0，c<0 D.a>0，b>0，c<0

　　8.如果一種變換是將拋物線向右平移2個單位或向上平移1個單位，我們把這種變換稱為拋物線的簡單變換.已知拋物線經(jīng)過兩次簡單變換后的一條拋物線是y=x2+1，則原拋物線的解析式不可能的是(　　)

　　A.y=x2﹣1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17

　　9.一個正多邊形的每個外角都等于30°，那么這個正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對的圓心角為(　　)

　　A.15° B.60° C.45° D.30°

　　10.如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸與點A(a，0)和B(b，0)，交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：

　�、佼�(dāng)x>0時，y>0;

　　②若a=﹣1，則b=4;

　�、蹝佄锞€上有兩點P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1<12，則y1>y2;

　�、茳cC關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為6.

　　其中真命題的序號是(　　)

　　A.① B.② C.③ D.④

　　二、填空題(本大題共6小題，每題5分，共30分)

　　11.在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和4個黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機抽出一個球.記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒灠l(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.2，則估計盒子中大約有紅球　　　　　　個.

　　12.已知直角三角形的兩條直角邊長分別為6cm和8cm，則這個直角三角形的外接圓的半徑為　　　　　　cm.

　　13.工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為　　　　　　mm.

　　14.廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn).如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣ x2+10，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是　　　　　　米.(精確到1米)

　　15.如圖，王虎使一長為4cm，寬為3cm的長方形木板，在桌面上做無滑動的翻滾(順時針方向)木板上點A位置變化為A到A1到A2，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌面成30°角，則點A翻滾到A2時共走過的路徑長為　　　　　　cm.(結(jié)果保留π).

　　16.在第一象限內(nèi)作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y=x2(x>0)上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標(biāo)是　　　　　　.

　　三、解答題(本大題有8小題，第17-20小題每小題8分，第21小題10分，第22、23小題每小題8分，第24小題14分，共80分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟)

　　17.已知二次函數(shù)當(dāng)x=1時，y有最大值為5，且它的圖象經(jīng)過點(2，3)，求這個函數(shù)的關(guān)系式.

　　18.在一個不透明的盒子里，裝有四個分別寫有數(shù)字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形狀、大小一樣)，先從盒子里隨機取出一個乒乓球，記下數(shù)字后放回盒子，然后攪勻，再從盒子里隨機取出一個乒乓球，記下數(shù)字.

　　(1)求一次取出乒乓球上的數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率;

　　(2)求兩次取出乒乓球上的數(shù)字之和等于0的概率.

　　(3)求兩次取出乒乓球上的數(shù)字之積小于2的概率.

　　19.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E.

　　(1)若∠B=72°，求∠CAD的度數(shù);

　　(2)若AB=13，AC=12，求DE的長.

　　20.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D、E.

　　(1)求證：BD=CD;

　　(2)若AB=8，∠A=60°，求弓形AE的面積.

　　21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，0)，B(3，1)，C(1，3);

　　(1)將△ABC沿x軸負(fù)方向平移2個單位至△A1B1C1，畫圖并寫出C1的坐標(biāo)　　　　　　;

　　(2)以A1點為旋轉(zhuǎn)中心，將△A1B1C1逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得△A1B2C2，畫圖并寫出C2的坐標(biāo)　　　　　　;

　　(3)在平移和旋轉(zhuǎn)過程中線段BC掃過的面積為　　　　　　.

　　22.我區(qū)“聯(lián)華”超市購進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克.由銷售經(jīng)驗知，每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元)(x≥30)存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.

　　(1)試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

　　(2)設(shè)超市銷售該綠色食品每天獲得利潤p元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤?最大利潤是多少?

　　23.如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點.∠APC=∠CPB=60°.

　　(1)判斷△ABC的形狀：　　　　　　;

　　(2)當(dāng)點P位于什么位置時，四邊形APBC的面積最大?求出最大面積;

　　(3)直接寫出線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系.

　　24.如圖，拋物線y=ax2+c(a≠0)與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點(點C在x軸正半軸上)，△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，與x軸的另一點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H.

　　(1)求a、c的值.

　　(2)連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由.

　　(3)現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P，是否存在這樣的點Q，使以點P、Q、E為頂點的三角形與△POE全等?若存在，求出點Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

　　參考答案與試題解析

　　一、選擇題(本大題共10小題，每題4分，共40分)

　　1.對于二次函數(shù)y=(x﹣4)2+3的圖象，下列說法正確的是(　　)

　　A.開口向下 B.與x軸有兩個交點

　　C.對稱軸：直線x=﹣4 D.頂點坐標(biāo)(4，3)

　　【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

　　【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可的拋物線開口方向、對稱軸方程和頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)開口方向和頂點坐標(biāo)可判斷拋物線與x軸的交點情況.

　　【解答】解：二次函數(shù)y=(x﹣4)2+3的圖象的開口向上，對稱軸為直線x=4，頂點坐標(biāo)為(4，3)，所以拋物線與x軸沒有交點.

　　故選D.

　　2.一個不透明的袋子中有5個白球、2個黃球和3個紅球，這些球除顏色可以不同外其他完全相同，則從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率為(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考點】概率公式.

　　【分析】由一個不透明的袋子中有5個白球、2個黃球和3個紅球，這些球除顏色可以不同外其他完全相同，直接利用概率公式求解即可求得答案.

　　【解答】解：∵一個不透明的袋子中有5個白球、2個黃球和3個紅球，這些球除顏色可以不同外其他完全相同，

　　∴從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率為： = .

　　故選A.

　　3.如圖，正三角形ABC內(nèi)接于圓O，動點P在圓周的劣弧AB上，且不與A，B重合，則∠BPC等于(　　)

　　A.30° B.60° C.90° D.45°

　　【考點】圓周角定理;等邊三角形的性質(zhì).

　　【分析】由等邊三角形的性質(zhì)知，∠A=60°，即弧BC的度數(shù)為60°，可求∠BPC=60°.

　　【解答】解：∵△ABC正三角形，

　　∴∠A=60°，

　　∴∠BPC=60°.

　　故選B.

　　4.若拋物線y=ax2經(jīng)過點P(1，﹣3)，則此拋物線也經(jīng)過點(　　)

　　A.(﹣1，3) B.(﹣3，1) C.(1，3) D.(﹣1，﹣3)

　　【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

　　【分析】將點P(1，﹣3)代入y=ax2可求得解析式為y=﹣3x2，將四個點坐標(biāo)分別代入驗證可知將P (﹣1，﹣3)代入解析式得﹣3=﹣3×(﹣1)2，成立.

　　【解答】解：∵將點P(1，﹣3)代入y=ax2得a=﹣3，

　　∴y=﹣3x2，

　　將四個點坐標(biāo)分別代入解析式可知，當(dāng)x=﹣1時，y=﹣3，即D選項正確，其他三個選項均不成立.

　　故選：D.

　　A.勾股定理

　　B.直徑所對的圓周角是直角

　　C.勾股定理的逆定理

　　D.90°的圓周角所對的弦是直徑

　　【考點】作圖—復(fù)雜作圖;勾股定理的逆定理;圓周角定理.

　　【分析】由作圖痕跡可以看出AB是直徑，∠ACB是直徑所對的圓周角，即可作出判斷.

　　【解答】解：由作圖痕跡可以看出O為AB的中點，以O(shè)為圓心，AB為直徑作圓，然后以B為圓心BC=a為半徑花弧與圓O交于一點C，故∠ACB是直徑所對的圓周角，所以這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是：直徑所對的圓周角是直角.

　　故選：B.

　　6.若A(0，y1)，B(﹣3，y2)，C(3，y3)為二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣k的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是(　　)

　　A.y1

　　【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

　　【分析】分別計算自變量為0、3、﹣3時的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可.

　　【解答】解：當(dāng)x=0時，y1=﹣x2+4x﹣k=﹣k;

　　當(dāng)x=﹣3時，y2=﹣x2+4x﹣k=﹣21﹣k;

　　當(dāng)x=3時，y3=﹣x2+4x﹣k=3﹣k，

　　所以y2

　　故選B.

　　7.如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，那么(　　)

　　A.a<0，b>0，c>0 B.a>0，b<0，c>0 C.a>0，b<0，c<0 D.a>0，b>0，c<0

　　【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

　　【分析】首先根據(jù)開口方向確定a的符號，再依據(jù)對稱軸的正負(fù)和a的符號即可判斷b的符號，然后根據(jù)與y軸的交點的縱坐標(biāo)即可判斷c的正負(fù)，由此得出答案即可.

　　【解答】解：∵圖象開口方向向上，

　　∴a>0;

　　∵圖象的對稱軸在x軸的正半軸上，

　　∴﹣ >0，

　　∵a>0，

　　∴b<0;

　　∵圖象與Y軸交點在y軸的負(fù)半軸上，

　　∴c<0;

　　∴a>0，b<0，c<0.

　　故選：C.

　　A.y=x2﹣1 B.y=x2+6x+5 C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17

　　【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

　　【分析】根據(jù)圖象左移加，右移減，圖象上移加，下移減，可得答案.

　　【解答】解：A、y=x2﹣1，先向上平移1個單位得到y(tǒng)=x2，再向上平移1個單位可以得到y(tǒng)=x2+1，故A正確;

　　B、y=x2+6x+5=(x+3)2﹣4，無法經(jīng)兩次簡單變換得到y(tǒng)=x2+1，故B錯誤;

　　C、y=x2+4x+4=(x+2)2，先向右平移2個單位得到y(tǒng)=(x+2﹣2)2=x2，再向上平移1個單位得到y(tǒng)=x2+1，故C正確;

　　D、y=x2+8x+17=(x+4)2+1，先向右平移2個單位得到y(tǒng)=(x+4﹣2)2+1=(x+2)2+1，再向右平移2個單位得到y(tǒng)=x2+1，故D正確.

　　故選：B.

　　9.一個正多邊形的每個外角都等于30°，那么這個正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對的圓心角為(　　)

　　A.15° B.60° C.45° D.30°

　　【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

　　【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，又由正多邊形的每一個外角都相等，求出多邊形的邊數(shù)，根據(jù)圓心角為360°，即可解答.

　　【解答】解：正多邊形的邊數(shù)為：360÷30=12，

　　這個正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對的圓心角為：360°÷12=30°，

　　故選：D.

　　10.如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸與點A(a，0)和B(b，0)，交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：

　�、佼�(dāng)x>0時，y>0;

　　②若a=﹣1，則b=4;

　�、蹝佄锞€上有兩點P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1<12，則y1>y2;

　�、茳cC關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為6.

　　其中真命題的序號是(　　)

　　A.① B.② C.③ D.④

　　【考點】命題與定理.

　　【分析】利用拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍可對①進(jìn)行判斷;先求出拋物線的對稱軸，然后利用拋物線的對稱性可對②進(jìn)行判斷;先求出拋物線的對稱軸方程，然后比較點P和Q到對稱軸的距離大小，則根據(jù)二次函數(shù)的大小可對③進(jìn)行判斷;先求出D點和E點坐標(biāo)，則作D點關(guān)于y軸的對稱點D′(﹣1，4)，E點關(guān)于x軸的對稱點E′(2，﹣3)，連結(jié)D′E′分別交x軸和y軸于G、F點，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時DF+FG+GE的值最小，所以四邊形EDFG周長的最小，然后利用勾股定理計算出DE和D′E′，則可對④進(jìn)行判斷.

　　【解答】解：當(dāng)a

　　拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =1，所以A點坐標(biāo)為(﹣1，0)，則B(3，0)，所以②錯誤;

　　拋物線的對稱軸為直線x=1，而x1<12，所以點Q離對稱軸較遠(yuǎn)，所以y1>y2，所以③正確;

　　當(dāng)m=2，則y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，則D(1，4);當(dāng)x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C(0，3)，C點關(guān)于對稱軸的對稱點E的坐標(biāo)為(2，3)，作D點關(guān)于y軸的對稱點D′(﹣1，4)，E點關(guān)于x軸的對稱點E′(2，﹣3)，連結(jié)D′E′分別交x軸和y軸于G、F點，如圖，

　　所以DF+FG+GE=D′F+FG+GE′=D′E′，此時DF+FG+GE的值最小，所以四邊形EDFG周長的最小，最小值= + = + ，所以④錯誤.

　　故選C.

　　二、填空題(本大題共6小題，每題5分，共30分)

　　11.在一個不透明的口袋中，裝有若干個紅球和4個黃球，它們除顏色外沒有任何區(qū)別，搖勻后從中隨機抽出一個球.記下顏色后再放回口袋中，通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒灠l(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率是0.2，則估計盒子中大約有紅球　16　個.

　　【考點】利用頻率估計概率.

　　【分析】利用大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

　　【解答】解：設(shè)紅球有x個，根據(jù)題意得，

　　= =0.2，

　　解得x=16.

　　故答案為16.

　　12.已知直角三角形的兩條直角邊長分別為6cm和8cm，則這個直角三角形的外接圓的半徑為　5　cm.

　　【考點】三角形的外接圓與外心;勾股定理.

　　【分析】首先根據(jù)勾股定理，得斜邊是10，再根據(jù)其外接圓的半徑是斜邊的一半，得出其外接圓的.半徑.

　　【解答】解：∵直角邊長分別為6cm和8cm，

　　∴斜邊是10，

　　∴這個直角三角形的外接圓的半徑為5cm.

　　13.工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為　8　mm.

　　【考點】垂徑定理的應(yīng)用;勾股定理.

　　【分析】先求出鋼珠的半徑及OD的長，連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的長，進(jìn)而得出AB的長.

　　【解答】解：連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB=2AD，

　　∵鋼珠的直徑是10mm，

　　∴鋼珠的半徑是5mm，

　　∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，

　　∴OD=3mm，

　　在Rt△AOD中，

　　∵AD= = =4mm，

　　∴AB=2AD=2×4=8mm.

　　故答案為：8.

　　14.廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn).如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣ x2+10，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面AB高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離EF是　18　米.(精確到1米)

　　【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

　　【分析】由題可知，E、F兩點縱坐標(biāo)為8，代入解析式后，可求出二者的橫坐標(biāo)，F(xiàn)的橫坐標(biāo)減去E的橫坐標(biāo)即為EF的長.

　　【解答】解：由“在該拋物線上距水面AB高為8米的點”，

　　可知y=8，

　　把y=8代入y=﹣ x2+10得：

　　x=±4 ，

　　∴由兩點間距離公式可求出EF=8 ≈18(米).

　　【考點】弧長的計算.

　　【分析】利用弧長公式計算.

　　【解答】解：第一次轉(zhuǎn)動是以點B為圓心，AB為半徑，圓心角是90度，

　　所以弧AA1的長= = ，

　　第二次轉(zhuǎn)動是以點C為圓心，A1C為半徑圓心角為60度，

　　所以弧A1A2的長= =π，

　　所以總長= .

　　故答案為：

　　16.在第一象限內(nèi)作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y=x2(x>0)上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標(biāo)是　( ，3)或( ， )或( ， )或(2，2 )　.

　　【考點】二次函數(shù)綜合題.

　　【分析】由于兩三角形的對應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分四種情況進(jìn)行討論：

　�、�∠POQ=∠OAH=30°，此時A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論;

　�、�∠POQ=∠AOH=60°，此時∠POH=30°，即直線OP：y= x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標(biāo)，進(jìn)而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論;

　　③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH，得到點A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論;

　�、墚�(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH，得到點A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

　　【解答】解：①如圖1，當(dāng)∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合;

　　∵∠AOH=60°，

　　∴直線OA：y= x，

　　聯(lián)立拋物線的解析式得：，

　　解得：或，

　　故A( ，3);

　�、诋�(dāng)∠POQ=∠AOH=60°，此時△POQ≌△AOH，

　　易知∠POH=30°，則直線y= x，聯(lián)立拋物線的解析式，

　　得：，

　　解得：或，

　　故P( ， )，那么A( ， );

　�、郛�(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH;

　　易知∠POH=30°，則直線y= x，聯(lián)立拋物線的解析式，

　　得：，

　　解得：或，

　　故P( ， )，

　　∴OP= = ，QP= ，

　　∴OH=OP= ，AH=QP= ，

　　故A( ， );

　�、墚�(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH;

　　此時直線y= x，聯(lián)立拋物線的解析式，

　　得：，

　　解得：或，

　　∴P( ，3)，

　　∴QP=2，OP=2 ，

　　∴OH=QP=2，AH=OP=2 ，

　　故A(2，2 ).

　　綜上可知：符合條件的點A有四個，分別為：( ，3)或( ， )或( ， )或(2，2 ).

　　故答案為：( ，3)或( ， )或( ， )或(2，2 ).

　　三、解答題(本大題有8小題，第17-20小題每小題8分，第21小題10分，第22、23小題每小題8分，第24小題14分，共80分.解答需寫出必要的文字說明、演算步驟)

　　17.已知二次函數(shù)當(dāng)x=1時，y有最大值為5，且它的圖象經(jīng)過點(2，3)，求這個函數(shù)的關(guān)系式.

　　【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

　　【分析】設(shè)這個函數(shù)解析式為y=a(x﹣1)2+5，把點(2，3)代入解析式求出a即可.

　　【解答】解：設(shè)這個函數(shù)解析式為y=a(x﹣1)2+5

　　把點(2，3)代入，3=a(2﹣1)2+5，解得a=﹣2，

　　∴這個函數(shù)解析式是y=﹣2(x﹣1)2+5.

　　(1)求一次取出乒乓球上的數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率;

　　(2)求兩次取出乒乓球上的數(shù)字之和等于0的概率.

　　(3)求兩次取出乒乓球上的數(shù)字之積小于2的概率.

　　【考點】列表法與樹狀圖法.

　　【分析】(1)由在一個不透明的盒子里，裝有四個分別寫有數(shù)字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形狀、大小一樣)，直接利用概率公式求解即可求得答案;

　　(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次取出乒乓球上的數(shù)字之和等于0的情況，再利用概率公式即可求得答案;

　　(3)由(2)中的樹狀圖可求得兩次取出乒乓球上的數(shù)字之積小于2的情況，再利用概率公式即可求得答案.

　　【解答】解：(1)∵在一個不透明的盒子里，裝有四個分別寫有數(shù)字﹣2、﹣1、1、2的乒乓球(形狀、大小一樣)，

　　∴一次取出乒乓球上的數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為： = ;

　　(2)畫樹狀圖得：

　　∵共有16種等可能的結(jié)果，兩次取出乒乓球上的數(shù)字之和等于0的有4種情況，

　　∴兩次取出乒乓球上的數(shù)字之和等于0的概率為： = ;

　　(3)∵兩次取出乒乓球上的數(shù)字之積小于2的有10種情況，

　　∴兩次取出乒乓球上的數(shù)字之積小于2的概率為： = .

　　19.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E.

　　(1)若∠B=72°，求∠CAD的度數(shù);

　　(2)若AB=13，AC=12，求DE的長.

　　【考點】圓周角定理;勾股定理.

　　【分析】(1)由AB是半圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠C=90°，繼而求得∠CAB的度數(shù)，又由OD∥BC，OA=OD，即可求得∠OAD的度數(shù)，繼而求得答案;

　　(2)由AB=13，AC=12，可求得C的長，然后由垂徑定理，可知OE是△ABC的中位線，則可求得OE的長，繼而求得答案.

　　【解答】解：(1)∵AB是半圓O的直徑，

　　∴∠C=90°，

　　∵∠B=72°，

　　∴∠CAB=90°﹣∠B=18°，

　　∵OD∥BC，

　　∴∠AOD=∠B=72°，

　　∵OA=OD，

　　∴∠OAD=∠D=54°，

　　∴∠CAD=∠OAD﹣∠CAB=36°;

　　(2)∵AB=13，AC=12，

　　∴BC= =5，

　　∵OD∥BC，∠C=90°，

　　∴OD⊥AC，

　　∴AE=CE，

　　∵OA=OB，

　　∴OE= BC=2.5，

　　∵OD=OA= AB=6.5，

　　∴DE=OD﹣OE=4.

　　20.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D、E.

　　(1)求證：BD=CD;

　　(2)若AB=8，∠A=60°，求弓形AE的面積.

　　【考點】扇形面積的計算;等腰三角形的性質(zhì).

　　【分析】(1)連接AD，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BDA=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到BD=CD;

　　(2)連接OE，先求得∠AOE，再用扇形AOE的面積減去△AOE的面積即可得出弓形AE的面積.

　　【解答】證明：(1)連接AD，

　　∵AB為⊙O的直徑，

　　∴∠BDA=90°，

　　∴AD⊥BC.

　　∵AB=AC.

　　∴BD=CD;

　　(2)連接OE，

　　∵AB=8，∠A=60°，

　　∴OA=OE=4，∠AOE=60°，

　　∴S弓形AE=S扇形AOE﹣S△AOE= ﹣ ×4×2 = π﹣4 .

　　21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，0)，B(3，1)，C(1，3);

　　(1)將△ABC沿x軸負(fù)方向平移2個單位至△A1B1C1，畫圖并寫出C1的坐標(biāo)　(﹣1，3)　;

　　(2)以A1點為旋轉(zhuǎn)中心，將△A1B1C1逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得△A1B2C2，畫圖并寫出C2的坐標(biāo)　(﹣3，﹣1)　;

　　(3)在平移和旋轉(zhuǎn)過程中線段BC掃過的面積為　2π+4　.

　　【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換;扇形面積的計算;作圖-平移變換.

　　【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標(biāo)進(jìn)而得出答案;

　　(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標(biāo)，進(jìn)而得出對應(yīng)點坐標(biāo)即可;

　　(3)根據(jù)平移的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出線段BC掃過的面積.

　　【解答】解：(1)如圖所示：△A1B1C1即為所求，C1(﹣1，3);

　　故答案為：(﹣1，3);

　　(2)如圖所示：△A2B2C2即為所求，C2(﹣3，﹣1);

　　故答案為：(﹣3，﹣1);

　　(3)在平移和旋轉(zhuǎn)過程中線段BC掃過的面積為：2×2+ ﹣ =2π+4.

　　故答案為：2π+4.

　　(1)試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

　　(2)設(shè)超市銷售該綠色食品每天獲得利潤p元，當(dāng)銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤?最大利潤是多少?

　　【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

　　【分析】(1)由一次函數(shù)的圖象可知過(30，400)和(40，200)，利用待定系數(shù)法可求得y與x的關(guān)系式;

　　(2)利用x可表示出p，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得p的最大值.

　　【解答】解：

　　(1)設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0)，

　　由圖象可知一次函數(shù)的過(30，400)和(40，200)，

　　代入解析式可得，解得，

　　∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣20x+1000(20≤x≤50);

　　(2)由(1)可知每天的銷售量為y千克，

　　∴p=y(x﹣20)=(﹣20x+1000)(x﹣20)=﹣20x2+1400x+20000=﹣20(x﹣35)2+44500，

　　∵﹣20<0，

　　∴p=﹣20(x﹣35)2+44500是開口向下的拋物線，

　　∴當(dāng)x=35時，p有最大值，最大值為44500元，

　　即銷售單價為35元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤為44500元.

　　23.如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點.∠APC=∠CPB=60°.

　　(1)判斷△ABC的形狀：　等邊三角形　;

　　(2)當(dāng)點P位于什么位置時，四邊形APBC的面積最大?求出最大面積;

　　(3)直接寫出線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系.

　　【考點】圓的綜合題.

　　【分析】(1)利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀;

　　(2)過點P作PE⊥AB，垂足為E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積進(jìn)行計算，當(dāng)點P為的中點時，PE+CF=PC從而得出最大面積;

　　(3)在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得.

　　【解答】證明：(1)△ABC是等邊三角形.

　　證明如下：在⊙O中

　　∵∠BAC與∠CPB是所對的圓周角，∠ABC與∠APC是所對的圓周角，

　　∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，

　　又∵∠APC=∠CPB=60°，

　　∴∠ABC=∠BAC=60°，

　　∴△ABC為等邊三角形;

　　故答案為：等邊三角形;

　　(2)當(dāng)點P為的中點時，四邊形APBC的面積最大.

　　理由如下，如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E.

　　過點C作CF⊥AB，垂足為F.

　　∵S△APB= AB•PE，S△ABC= AB•CF，

　　∴S四邊形APBC= AB•(PE+CF)，

　　當(dāng)點P為的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，

　　∴此時四邊形APBC的面積最大.

　　又∵⊙O的半徑為1，

　　∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB= ，

　　∴S四邊形APBC= ×2× = ;

　　(3)在PC上截取PD=AP，如圖2，

　　又∵∠APC=60°，

　　∴△APD是等邊三角形，

　　∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°.

　　又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，

　　∴∠ADC=∠APB，

　　在△APB和△ADC中，，

　　∴△APB≌△ADC(AAS)，

　　∴BP=CD，

　　又∵PD=AP，

　　∴CP=BP+AP.

　　(1)求a、c的值.

　　(2)連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由.

　　【考點】二次函數(shù)綜合題.

　　【分析】(1)先求出A(0，c)，則OA=c，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=OB=OC=c，理由三角形面積公式得 •c•2c=4，解得c=2，接著把C(2，0)代入y=ax2+2可求出a的值;

　　(2)如圖1，先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+2，設(shè)F(t，t+2)，利用拋物線平移的規(guī)律可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=﹣ (x﹣t)2+t+2，再把C(2，0)代入得﹣ (2﹣t)2+t+2=0，可解得t=6，則平移后的拋物線解析式為y=﹣ (x﹣6)2+8，所以F(6，8)，利用勾股定理計算出OF=10，接著根據(jù)拋物線與x軸的交點問題確定E(10，0)，則OE=OF=10，于是可判斷△OEF為等腰三角形;

　　(3)分類討論：當(dāng)點Q在射線HF上，如圖2，利用三角形全等的判定方法，當(dāng)EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，則可根據(jù)勾股定理計算出QH=2 ，于是可得Q點坐標(biāo)為(6，2 );當(dāng)點Q在射線AF上，如圖3，利用三角形全等的判定方法，當(dāng)EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，設(shè)Q(m，m+2)，利用兩點間的距離公式得到(m﹣10)2+(m+2)2=102，解方程求出m的值即可得到Q點坐標(biāo).

　　【解答】解：(1)∵拋物線y=ax2+c(a≠0)與y軸交于點A，

　　∴A(0，c)，則OA=c，

　　∵△ABC為等腰直角三角形，

　　∴OA=OB=OC=c，

　　∴ •c•2c=4，解得c=2，

　　∴C(2，0)，

　　把C(2，0)代入y=ax2+2得4a+2=0，解得a=﹣ ;

　　(2)△OEF是等腰三角形.理由如下：如圖1，

　　設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

　　把A(0，2)、B(﹣2，0)代入得，解得，

　　則直線AB的解析式為y=x+2，

　　設(shè)F(t，t+2)，