考研數(shù)學(xué)各個(gè)科目的考點(diǎn)詳解
我們?cè)跍?zhǔn)備考研數(shù)學(xué)的考試準(zhǔn)備時(shí)，需要把各個(gè)科目的考點(diǎn)了解清楚。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)各個(gè)科目的考點(diǎn)指南，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學(xué)三大科目考點(diǎn)解析
一、高等數(shù)學(xué)
高數(shù)是考研數(shù)學(xué)的重中之重。高數(shù)真題體現(xiàn)出以下規(guī)律：側(cè)重對(duì)數(shù)學(xué)(一)、(二)、(三)獨(dú)有知識(shí)的考查。多元積分部分的曲線積分、曲面積分及幾大公式(格林、高斯和斯托克斯)是數(shù)學(xué)(一)的獨(dú)有內(nèi)容，也是必考內(nèi)容。今年有一道考查三重積分計(jì)算的填空題和考查曲線積分的解答題;曲率、形心質(zhì)心和其他物理應(yīng)用是數(shù)學(xué)(二)�？純�(nèi)容，今年就考了一道關(guān)于溫度變化的解答題;數(shù)三的特色是經(jīng)濟(jì)應(yīng)用——建立收益、成本、銷量、價(jià)格等經(jīng)濟(jì)變量的函數(shù)關(guān)系、邊際收益和邊際成本、彈性問題，今年考了經(jīng)濟(jì)應(yīng)用的解答題。
考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。上文提到的幾何應(yīng)用、物理應(yīng)用和經(jīng)濟(jì)應(yīng)用即為證明。
考點(diǎn)覆蓋較全。上表列出的數(shù)學(xué)(三)的高數(shù)考點(diǎn)即為例證。提醒考生不要心存僥幸心理，要全面復(fù)習(xí)。
二、線性代數(shù)
線代的規(guī)律若用兩個(gè)關(guān)鍵字概括，為“綜合”和“靈活”。線代這門學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)是一個(gè)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系非常多。請(qǐng)思考一個(gè)問題：矩陣可逆有哪些等價(jià)條件?從行列式的角度，為矩陣的行列式不等于零;從向量組的角度，是矩陣的行向量組或列向量組線性無關(guān);從線性方程組的角度，是以矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組僅有零解或矩陣為系數(shù)矩陣的非齊次線性方程組有唯一解;從秩的角度，是矩陣滿秩;從特征值的角度，是矩陣的特征值不含零;從二次型的角度，為矩陣的轉(zhuǎn)置乘矩陣這個(gè)新矩陣正定。不難看到，從一個(gè)核心概念“矩陣可逆”出發(fā)，可以把整個(gè)線性代數(shù)的五章全串起來。既然知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系如此之多，那么一道題聯(lián)系多個(gè)考點(diǎn)或需考生從不同角度考慮就很自然了。這提醒考生復(fù)習(xí)線代時(shí)，不僅要注重基本知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，也要重視知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。
三、概率論
概率是三科中題型最固定的：哪考大題哪考小題非常清楚。根據(jù)對(duì)歷年真題的分析，不難發(fā)現(xiàn)，概率常考大題的點(diǎn)有：邊緣分布和條件分布，隨機(jī)變量函數(shù)的分布和參數(shù)估計(jì)。其他考點(diǎn)考小題或大題的一問，如隨機(jī)事件與概率，數(shù)字特征，常用統(tǒng)計(jì)量及統(tǒng)計(jì)分布。既然概率規(guī)律如此明顯，那考生復(fù)習(xí)時(shí)可以在打牢基礎(chǔ)的前提下關(guān)注重點(diǎn)。
考研數(shù)學(xué)通過做題提高成績(jī)的三點(diǎn)建議
1.切忌眼高手低
"眼高手低"是很多考生在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)易犯的錯(cuò)誤，很多考生對(duì)基礎(chǔ)性的東西不屑一顧，認(rèn)為這些內(nèi)容很簡(jiǎn)單，用不著下勁復(fù)習(xí)，還有的考生只是"看"，認(rèn)為看懂就行了，很少下筆去做題，結(jié)果在最后的考試中眼熟手生，難以取得好的成績(jī)。所以，在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)一定要腳踏實(shí)地，一步一個(gè)腳印，就像下象棋，要取敵方老帥，就要老老實(shí)實(shí)戰(zhàn)敗所有兵卒，穩(wěn)扎穩(wěn)打，步步為營(yíng)，這樣的話，才能以不變應(yīng)萬變，在最后的實(shí)考中占據(jù)主動(dòng)!
2.基礎(chǔ)是提高的`前提
基礎(chǔ)的重要性已不言而喻，但是只注重基礎(chǔ)，也是不行的。太注重基礎(chǔ)，就會(huì)拘泥于書本，難以適應(yīng)考研試題。打好基礎(chǔ)的目的就是為了提高。但太重提高就會(huì)基礎(chǔ)不牢，導(dǎo)致頭重腳輕，力不從心�？忌靼谆A(chǔ)與提高的辯證關(guān)系，根據(jù)自身情況合理安排復(fù)習(xí)進(jìn)度，處理好打基礎(chǔ)和提高能力兩者的關(guān)系。一般來說，基礎(chǔ)與提高是交叉和分段進(jìn)行的，在一個(gè)時(shí)期的某一個(gè)階段以基礎(chǔ)為主，基礎(chǔ)扎實(shí)了，再行提高。然后又進(jìn)入了另一個(gè)階段，同樣還要先扎實(shí)基礎(chǔ)再提高水平，如此反復(fù)循環(huán)�？忌谶@個(gè)過程中容易遇到這樣的問題，就是感覺自己經(jīng)過基礎(chǔ)復(fù)習(xí)或一段時(shí)間的提高后幾乎不再有所進(jìn)步，甚至感到越學(xué)越退步，碰到這種情況，考生千萬不要?dú)怵H，要堅(jiān)信自己的能力，只要復(fù)習(xí)方法沒有問題，就應(yīng)該堅(jiān)持下去。雖然表面上感到?jīng)]有進(jìn)步，但實(shí)際水平其實(shí)已經(jīng)在不知不覺中提高了，因?yàn)樵谶@個(gè)時(shí)期考生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了自己的不足，正處于調(diào)整和進(jìn)步中。這個(gè)時(shí)候需要的就是考生的意志力，考研本來就是一場(chǎng)意志力的比賽，不僅需要豐富的知識(shí)和較高的能力，更要有堅(jiān)強(qiáng)的意志力。只要堅(jiān)持下去，就有成功的希望。
3.按題型分類進(jìn)行
解題訓(xùn)練最好按題型進(jìn)行分類復(fù)習(xí)，對(duì)于任何一個(gè)同學(xué)而言，都可能有自己很擅長(zhǎng)的某些類型的題，相反的，也有一些不太熟悉或者不會(huì)做的題型，這在復(fù)習(xí)的過程中也當(dāng)有所側(cè)重。例如復(fù)習(xí)大全當(dāng)中的典型例題解析部分，就對(duì)各個(gè)章節(jié)的題目都進(jìn)行了細(xì)致劃分，且在題目解答部分給出一題多解的多種解題方法，極大程度拓寬同學(xué)們的思路，掌握多種解題方法和要領(lǐng)。第一遍復(fù)習(xí)的時(shí)候，需要認(rèn)真研究各種題型的求解思路和方法，做到心中有數(shù)，同時(shí)對(duì)自己的強(qiáng)項(xiàng)和薄弱環(huán)節(jié)有清楚的認(rèn)識(shí)，第二遍復(fù)習(xí)的時(shí)候就可以有針對(duì)性地加強(qiáng)自己不擅長(zhǎng)的題型的練習(xí)了，經(jīng)過這樣兩邊的系統(tǒng)梳理，相信解題能力一定會(huì)有飛躍性的提高。
考研數(shù)學(xué)必考的4個(gè)定理證明
一、求導(dǎo)公式的證明
20xx年真題考了一個(gè)證明題：證明兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式。幾乎每位同學(xué)都對(duì)這個(gè)公式怎么用比較熟悉，而對(duì)它怎么來的較為陌生。實(shí)際上，從授課的角度，這種在20xx年前從未考過的基本公式的證明，一般只會(huì)在基礎(chǔ)階段講到。如果這個(gè)階段的考生帶著急功近利的心態(tài)只關(guān)注結(jié)論怎么用，而不關(guān)心結(jié)論怎么來的，那很可能從未認(rèn)真思考過該公式的證明過程，進(jìn)而在考場(chǎng)上變得很被動(dòng)。這里給2017考研學(xué)子提個(gè)醒：要重視基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，那些真題中未考過的重要結(jié)論的證明，有可能考到，不要放過。
當(dāng)然，該公式的證明并不難。先考慮f(x)*g(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)自然用導(dǎo)數(shù)定義考察，可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出一個(gè)極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達(dá)法則，因?yàn)榉肿拥膶?dǎo)數(shù)不好算(乘積的導(dǎo)數(shù)公式恰好是要證的，不能用!)。利用數(shù)學(xué)上常用的拼湊之法，加一項(xiàng)，減一項(xiàng)。這個(gè)“無中生有”的項(xiàng)要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項(xiàng)兩兩配對(duì)，除以分母后考慮極限，不難得出結(jié)果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式。
類似可考慮f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的導(dǎo)數(shù)公式的證明。
二、微分中值定理的證明
這一部分內(nèi)容比較豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會(huì)證。
費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)：1.f'(x0)存在2. f(x0)為f(x)的極值，結(jié)論為f'(x0)=0�？紤]函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，用什么方法?自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看第二個(gè)條件怎么用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數(shù)學(xué)語言即f(x) -f(x0)<0(或>0)，對(duì)x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)部分表達(dá)式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負(fù)號(hào)。若能得出函數(shù)部分的符號(hào)，如何得到極限值的符號(hào)呢?極限的保號(hào)性是個(gè)橋梁。
費(fèi)馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個(gè)考頻最高的，那羅爾定理當(dāng)之無愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導(dǎo)”和“端值相等”，結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(diǎn)(即所謂的中值)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。該定理的證明不好理解，需認(rèn)真體會(huì)：條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當(dāng)然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經(jīng)有了證明過程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時(shí)代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。
閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費(fèi)馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費(fèi)馬引理。我們對(duì)比這兩個(gè)定理的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)是一致的：都是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。話說到這，可能有同學(xué)要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費(fèi)馬引理得結(jié)論不就行了。大方向?qū)�，但過程沒這么簡(jiǎn)單。起碼要說清一點(diǎn)：費(fèi)馬引理的條件是否滿足，為什么滿足?
前面提過費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)——“可導(dǎo)”和“取極值”，“可導(dǎo)”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個(gè)條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個(gè)條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關(guān)系?這個(gè)點(diǎn)需要想清楚，因?yàn)橹苯佑绊懴旅嫱评淼淖呦颉＝Y(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，此種情況下費(fèi)馬引理?xiàng)l件完全成立，不難得出結(jié)論;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，注意到已知條件第三條告訴我們端點(diǎn)函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個(gè)閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的表達(dá)式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點(diǎn)都能使結(jié)論成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個(gè)定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個(gè)的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路，適用于證其它結(jié)論。
以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對(duì)比一下兩個(gè)定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號(hào)右側(cè)為零。我們可以考慮在草稿紙上對(duì)拉格朗日定理的結(jié)論作變形，變成羅爾定理結(jié)論的形式，移項(xiàng)即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對(duì)哪個(gè)函數(shù)用羅爾定理的結(jié)果。這就是構(gòu)造輔助函數(shù)的過程——看等號(hào)左側(cè)的式子是哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后，把x換成中值的結(jié)果。這個(gè)過程有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查：根據(jù)這個(gè)犯罪現(xiàn)場(chǎng)，反推嫌疑人是誰。當(dāng)然，構(gòu)造輔助函數(shù)遠(yuǎn)比破案要簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單的題目直接觀察;復(fù)雜一些的，可以把中值換成x，再對(duì)得到的函數(shù)求不定積分。
三、微積分基本定理的證明
該部分包括兩個(gè)定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓-萊布尼茨公式。
變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號(hào)扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對(duì)閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對(duì)待：對(duì)應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)�；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個(gè)極限式如何化簡(jiǎn)，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。
“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時(shí)在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計(jì)算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。
該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個(gè)條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，結(jié)論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。注意到該公式的另一個(gè)條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f(x)對(duì)應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f(x)在閉區(qū)間上的另一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)原函數(shù)之間只差個(gè)常數(shù)，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數(shù)加某個(gè)常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。
四、積分中值定理
該定理?xiàng)l件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間(閉區(qū)間)上連續(xù)，結(jié)論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號(hào)外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學(xué)想到用微分中值定理，理由是微分相關(guān)定理的結(jié)論中含有中值。可以按照此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續(xù)相關(guān)定理(介值定理和零點(diǎn)存在定理)，理由更充分些：上述兩個(gè)連續(xù)相關(guān)定理的結(jié)論中不但含有中值而且不含導(dǎo)數(shù)，而待證的積分中值定理的結(jié)論也是含有中值但不含導(dǎo)數(shù)。
若我們選擇了用連續(xù)相關(guān)定理去證，那么到底選擇哪個(gè)定理呢?這里有個(gè)小的技巧——看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點(diǎn)存在定理的結(jié)論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結(jié)論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經(jīng)不言自明了。
若順利選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對(duì)比一下介值定理和積分中值定理的結(jié)論：介值定理的結(jié)論的等式一邊為某點(diǎn)處的函數(shù)值，而等號(hào)另一邊為常數(shù)A。我們自然想到把積分中值定理的結(jié)論朝以上的形式變形。等式兩邊同時(shí)除以區(qū)間長(zhǎng)度，就能達(dá)到我們的要求。當(dāng)然，變形后等號(hào)一側(cè)含有積分的式子的長(zhǎng)相還是挺有迷惑性的，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，看清楚定積分的值是一個(gè)數(shù)，進(jìn)而定積分除以區(qū)間長(zhǎng)度后仍為一個(gè)數(shù)。這個(gè)數(shù)就相當(dāng)于介值定理結(jié)論中的A。
接下來如何推理，這就考察各位對(duì)介值定理的熟悉程度了。該定理?xiàng)l件有二：1.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，2.實(shí)數(shù)A位于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結(jié)論是該實(shí)數(shù)能被取到(即A為閉區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數(shù)的連續(xù)性不難判斷，僅需說明定積分除以區(qū)間長(zhǎng)度這個(gè)實(shí)數(shù)位于函數(shù)的最大值和最小值之間即可。而要考察一個(gè)定積分的值的范圍，不難想到比較定理(或估值定理)。
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