考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)有哪些考點(diǎn)及要求
考生們?cè)跍?zhǔn)備考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)時(shí)，需要把線性代數(shù)的重要考點(diǎn)和要求了解清楚。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)重要考點(diǎn)和要求，歡迎大家前來(lái)閱讀。
考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)主要考點(diǎn)及要求
在數(shù)一、數(shù)二和數(shù)三中，線代部分占22%，雖然所占比例不及高數(shù)分值高，但這部分的成績(jī)也會(huì)直接影響整體成績(jī)，所以希望廣大考生要足夠重視。
新東方網(wǎng)絡(luò)課堂考研(論壇) 輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)提醒大家，線性代數(shù)的考題與高等數(shù)學(xué)、概率部分考題最大的不同就是，，這是因?yàn)榫�性代數(shù)各個(gè)章節(jié)知識(shí)之間聯(lián)系非常緊密，知識(shí)是一個(gè)環(huán)環(huán)相扣且互相融合的。
線性代數(shù)概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系。因此考研復(fù)習(xí)重點(diǎn)應(yīng)該先充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法等等。基本概念、基本性質(zhì)和基本方法一直是考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。
所以，考生在復(fù)習(xí)中一定要重視基本概念、基本性質(zhì)和基本方法的理解與掌握，多做一些基本題來(lái)鞏固基本知識(shí)，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，使所學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三。
根據(jù)往年輔導(dǎo)經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，新東方網(wǎng)絡(luò)課堂考研輔導(dǎo)團(tuán)隊(duì)為大家總結(jié)了線性代數(shù)的通常主要考點(diǎn)：
1、行列式——行列式這部分沒(méi)有太多內(nèi)容，行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。
2、矩陣——矩陣是一個(gè)基礎(chǔ)，關(guān)聯(lián)到整個(gè)線代。矩陣的運(yùn)算非常重要，尤其不要做非法的運(yùn)算(因?yàn)榇蠹伊?xí)慣了數(shù)的運(yùn)算，在做矩陣運(yùn)算的時(shí)候容易受到數(shù)的影響，所以這個(gè)地方大家要把它搞清楚)。矩陣運(yùn)算里一個(gè)很重要的就是初等變換。我們?cè)诮夥匠探M，求特征向量都離不開(kāi)這部分內(nèi)容。這是我們矩陣部分的重點(diǎn)。
3、向量——向量這部分是邏輯性非常強(qiáng)的部分，主要包括證明(或判別)向量組的線性相關(guān)(無(wú)關(guān))，線性表出等問(wèn)題，此問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)(無(wú)關(guān))的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性及反證法的使用。向量組的極大無(wú)關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無(wú)關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。
4、特征值、特征向量——要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值(的取值范圍)，可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用。有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問(wèn)題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣。反過(guò)來(lái)，可由A的特征值，特征向量來(lái)確定A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出A.
另外，特征向量就是求齊次方程組的基礎(chǔ)解系，你前面基礎(chǔ)打牢了，這里又不是新的內(nèi)容。
5、二次型——二次型的內(nèi)容是針對(duì)于只考數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)三的同學(xué)。二次型只要把其矩陣對(duì)應(yīng)寫(xiě)出來(lái)，其問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣的對(duì)角型來(lái)討論。所以這部分的內(nèi)容又聯(lián)系上前面的內(nèi)容了。把前面的基礎(chǔ)打牢，后面的知識(shí)自然就掌握了。
在線性代數(shù)的兩個(gè)大題中，基本上都是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合，從而達(dá)到對(duì)考生的運(yùn)算能力、抽象概括能力、邏輯思維能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力的考核。因此，把基礎(chǔ)爛熟于心之后，再利用做題進(jìn)行綜合思維的鍛煉，通過(guò)做一些綜合性較強(qiáng)的習(xí)題(或做近年的研究生考題)，邊做邊總結(jié)，以加深對(duì)概念、性質(zhì)內(nèi)涵的理解和應(yīng)用方法的掌握。
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考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)關(guān)鍵點(diǎn)
一、重視基本概念、基本性質(zhì)、基本方法的理解和掌握
基本概念、基本性質(zhì)和基本方法一直是考研數(shù)學(xué)的.重點(diǎn)，線性代數(shù)更是如此。從多年的閱卷情況和經(jīng)驗(yàn)看，有些考生對(duì)基本概念掌握不夠牢固，理解不夠透徹，在答題中對(duì)基本性質(zhì)的應(yīng)用不知如何下手，造成許多本可以避免的失分現(xiàn)象，甚為可惜。所以，考生在復(fù)習(xí)中一定要重視基本概念、基本性質(zhì)和基本方法的理解與掌握，同時(shí)配合基本題的練習(xí)鞏固基本知識(shí)。
二、加強(qiáng)綜合能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力
從近十年特別是近兩年的研究生入學(xué)考試試題看，對(duì)考生分析和解決問(wèn)題能力的考核有所增強(qiáng)。線性代數(shù)部分的兩個(gè)大題中基本上都是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，從而達(dá)到對(duì)考生的運(yùn)算能力、抽象概括能力、邏輯思維能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力的全面考查。因此，在打好基礎(chǔ)的同時(shí)，通過(guò)做一些綜合性較強(qiáng)的習(xí)題，如《考研數(shù)學(xué)全真模擬試卷及精析》(或做近年的考試真題)，邊做邊總結(jié)，加深對(duì)概念、性質(zhì)內(nèi)涵的理解和應(yīng)用方法的掌握。
三、注重分析一些重要概念和方法之間的聯(lián)系和區(qū)別
線性代數(shù)部分的基本概念和性質(zhì)較多，并且它們之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，同學(xué)們要特別注意根據(jù)每年線性代數(shù)考試的兩個(gè)大題內(nèi)容找出所涉及到的概念與方法之間的聯(lián)系與區(qū)別。例如：向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯(lián)系;向量的線性相關(guān)(無(wú)關(guān))與齊次線性方程組有非零解(僅有零解)的討論之間的聯(lián)系;實(shí)對(duì)稱陣的對(duì)角化與實(shí)二次型化標(biāo)準(zhǔn)型之間的聯(lián)系等。掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)大家做線性代數(shù)部分的大題在解題思路、方法、技巧方面會(huì)有很大的幫助。
考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)的重要考點(diǎn)
總體來(lái)說(shuō)，線性代數(shù)主要包含行列式、矩陣、向量、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、二次型六章內(nèi)容。按照章節(jié)，我們總結(jié)出線性代數(shù)必須掌握的六大考點(diǎn)。
一是行列式部分，強(qiáng)化概念性質(zhì)，熟練行列式的求法。
在這里我們需要明確下面幾條：行列式對(duì)應(yīng)的是一個(gè)數(shù)值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，明確這一點(diǎn)可以幫助我們檢查一些疏漏的低級(jí)錯(cuò)誤;行列式的計(jì)算方法中常用的是定義法，比較重要的是加邊法，數(shù)學(xué)歸納法，降階法，利用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行恒等變形，化簡(jiǎn)之后再按行或列展開(kāi)。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計(jì)算、含參數(shù)的行列式的計(jì)算等。
二是矩陣部分，重視矩陣運(yùn)算，掌握矩陣秩的應(yīng)用。
通過(guò)歷年真題分類統(tǒng)計(jì)與考點(diǎn)分布，矩陣部分的重點(diǎn)考點(diǎn)集中在逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，其內(nèi)容包括伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩，在課堂輔導(dǎo)的時(shí)候會(huì)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).此外，伴隨矩陣的矩陣方程以及矩陣與行列式的結(jié)合也是需要同學(xué)們熟練掌握的細(xì)節(jié)。涉及秩的應(yīng)用，包含矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)，對(duì)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析，備考需要在理解概念的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地進(jìn)行歸納總結(jié)，并做習(xí)題加以鞏固。
三是向量部分，理解相關(guān)無(wú)關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定。
向量組的線性相關(guān)問(wèn)題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。如何掌握這部分內(nèi)容呢?首先在于對(duì)定義概念的理解，然后就是分析判定的重點(diǎn)，即：看是否存在一組全為零的或者有非零解的實(shí)數(shù)對(duì)�；A(chǔ)線性相關(guān)問(wèn)題也會(huì)涉及類似的題型：判定向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)性的證明、判定一個(gè)向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、與向量空間有關(guān)的命題。
四是線性方程組部分，判斷解的個(gè)數(shù)，明確通解的求解思路。
線性方程組解的情況，主要涵蓋了齊次線性方程組有非零解、非齊次線性方程組解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明以及帶參數(shù)的線性方程組的解的情況。為了使考生牢固掌握線性方程組的求解問(wèn)題，博研堂專家對(duì)含參數(shù)的方程通解的求解思路進(jìn)行了整理，希望對(duì)考研同學(xué)有所幫助。通解的求法有兩種，若為齊次線性方程組，首先求解方程組的矩陣對(duì)應(yīng)的行列式的值，在特征值為零和不為零的情況下分別進(jìn)行討論，為零說(shuō)明有解，帶入增廣矩陣化簡(jiǎn)整理;不為零則有唯一解直接求出即可。若為非齊次方程組，則按照對(duì)增廣矩陣的討論進(jìn)行求解。
五是矩陣的特征值與特征向量部分，理解概念方法，掌握矩陣對(duì)角化的求解。
矩陣的特征值、特征向量部分可劃分為三給我板塊：特征值和特征向量的概念及計(jì)算、方陣的相似對(duì)角化、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。相關(guān)題型有：數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對(duì)角化、有關(guān)實(shí)對(duì)稱矩陣的問(wèn)題。
六是二次型部分，熟悉正定矩陣的判別，了解規(guī)范性和慣性定理。
二次型矩陣是二次型問(wèn)題的一個(gè)基礎(chǔ)，且大部分都可以轉(zhuǎn)化為它的實(shí)對(duì)稱矩陣的問(wèn)題來(lái)處理。另外二次型及其矩陣表示，二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空選擇題中的不可或缺的部分，二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對(duì)角化緊密相連，要會(huì)用配方法、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;掌握二次型正定性的判別方法等等。
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