考研數(shù)學(xué)矩陣相似對角化要點及技巧
考研數(shù)學(xué)的沖刺復(fù)習(xí)，需要不斷回顧課本、復(fù)習(xí)錯題，對重要知識點需要一再鞏固。小編為大家精心準備了考研數(shù)學(xué)矩陣相似對角化的知識點，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學(xué)矩陣相似對角化重點和方法
★一般方陣的相似對角化理論
這里要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，會判斷給定的矩陣是否可以相似對角化，另外還要會矩陣相似對角化的計算問題，會求可逆陣以及對角陣。事實上，矩陣相似對角化之后還有一些應(yīng)用，主要體現(xiàn)在矩陣行列式的計算或者求矩陣的方冪上，這些應(yīng)用在歷年真題中都有不同的體現(xiàn)。
1、判斷方陣是否可相似對角化的條件：
(1)充要條件：An可相似對角化的充要條件是：An有n個線性無關(guān)的特征向量;
(2)充要條件的另一種形式：An可相似對角化的充要條件是：An的k重特征值滿足n-r(λE-A)=k
(3)充分條件：如果An的n個特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對角化;
(4)充分條件：如果An是實對稱矩陣，那么An一定可以相似對角化。
【注】分析方陣是否可以相似對角化，關(guān)鍵是看線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)，而求特征向量之前，必須先求出特征值。
2、求方陣的特征值：
(1)具體矩陣的特征值：
這里的難點在于特征行列式的計算：方法是先利用行列式的性質(zhì)在行列式中制造出兩個0，然后利用行列式的展開定理計算;
(2)抽象矩陣的特征值：
抽象矩陣的特征值，往往要根據(jù)題中條件構(gòu)造特征值的定義式來求，靈活性較大。
★實對稱矩陣的相似對角化理論
其實質(zhì)還是矩陣的相似對角化問題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求大家除了掌握實對稱矩陣的正交相似對角化外，還要掌握實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，在考試的時候會經(jīng)常用到這些考點的。
這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，即給定一個實對稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對角陣;也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A;另外由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A。
最重要的是，掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化就相當(dāng)于解決了實二次型的標準化問題。
1、掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)
(1)不同特征值的特征向量一定正交
(2)k重特征值一定滿足滿足n-r(λE-A)=k
【注】由性質(zhì)(2)可知，實對稱矩陣一定可以相似對角化;且有(1)可知，實對稱矩陣一定可以正交相似對角化。
2、會求把對稱矩陣正交相似化的正交矩陣
【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對同一個特征值求出的基礎(chǔ)解系進行正交化，不同特征值對應(yīng)的特征向量一定正交(當(dāng)然除非你計算出錯了會發(fā)現(xiàn)不正交)。
3、實對稱矩陣的特殊考點：
實對稱矩陣一定可以相似對角化，利用這個性質(zhì)可以得到很多結(jié)論，比如：
(1)實對稱矩陣的秩等于非零特征值的個數(shù)
這個結(jié)論只對實對稱矩陣成立，不要錯誤地使用。
(2)兩個實對稱矩陣，如果特征值相同，一定相似
同樣地，對于一般矩陣，這個結(jié)論也是不成立的。
4、實對稱矩陣在二次型中的應(yīng)用
使用正交變換把二次型化為標準型使用的方法本質(zhì)上就是實對稱矩陣的正交相似對角化。
考研數(shù)學(xué)重要題型知識點
溫馨提醒：小編沒有區(qū)分數(shù)一數(shù)二數(shù)三，各位小伙伴需要根據(jù)自己考查科目的大綱要求，進行了解。
1.極限問題的快速分析與處理;
2.巧用極限的保序性、有界性與唯一性，正確快速運用極限運算法則;
3.準確快速判斷分段函數(shù)特性(連續(xù)、可導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)連續(xù)等);
4.導(dǎo)數(shù)與微分的特別考點;
5.等式與不等式證明技巧;
6.處理積分計算與綜合分析問題的有效方法;
7.正確運用定積分性質(zhì)，處理變限積分與含參積分的技巧;
8.用積分表達與計算應(yīng)用問題的技巧;
9.級數(shù)收斂性分析與判斷的快速程序化方法;
10.級數(shù)展開與求和零部件組合安裝法;
11.“按類求解”和“觀察侍定”是解微分方程的兩把鑰匙;
12.“規(guī)律翻譯”與“微量平衡分析”是解應(yīng)用題的基本方法;
13.用函數(shù)觀點來考察微分方程問題;
14.用“多元問題”“一元化”的方法研究多元函數(shù);
15.分析“函數(shù)結(jié)構(gòu)”是“抽象函數(shù)”導(dǎo)數(shù)的計算的關(guān)鍵;
16.多元極(最)值問題應(yīng)抓住“三個什么”“三個步驟”;
17.“三定”(坐標系、積分序和積分限)是計算重積分的三步曲;
18.靈活運用“分塊積分、對稱性、幾何和物理意義”是計算重積分的捷徑;
20.掌握曲面的定向是正確利用Guass公式、Stokes公式的前提;
21.將矩陣按列分塊之技巧及應(yīng)用;
22.利用矩陣的參數(shù)的技巧;
23.利用初等矩陣表示矩陣的初等變換的技巧;
24.應(yīng)用行列式的展開定理的.技巧;
25.關(guān)于向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的技巧;
26.利用簡化行階梯形的技巧;
27.關(guān)于矩陣對角化問題的技巧;
28.判斷二次型正定性的技巧;
29.加減求逆乘法律，全概逆概獨立性，事件化簡是關(guān)鍵，三大概型應(yīng)活用;
30.變量分布特征清，參數(shù)確定容易定，重要分布記背景，離散變量靠列表;
31.一維連續(xù)畫密度，正態(tài)計算標準化，指數(shù)分布無記憶，函數(shù)分布直接求;
32.由聯(lián)合分布求邊緣分布的技巧，判斷獨立性;由聯(lián)合分布求概率;
33.函數(shù)期望是關(guān)鍵，常用分布背特征，特征性質(zhì)要牢記，二維特征定相關(guān);
34.大數(shù)中心規(guī)范記，收斂方式有區(qū)別，切比雪夫估概率，近似計算用中心;
35.抽樣分布定義明，正態(tài)抽樣四式推，矩法似然原理清，無偏有效算特征;
36.區(qū)間估計靠樞軸，分位定義應(yīng)明確，假設(shè)檢驗步驟定，兩類錯誤會計算。
考研數(shù)學(xué)的臨場技巧
一、檢查試卷，穩(wěn)定心情
拿到試卷以后不要著急做題，花一兩分鐘時間把卷子通篇看一下，檢查一下考研數(shù)學(xué)試卷是不是23道題目，大致都是什么題型的題目。這樣做有兩個好處：一是可以有效防止因粗心大意而漏掉一些題目，漏題就太可惜了;二是可以加強自己的信心，穩(wěn)定心情，通過長達一年時間的復(fù)習(xí)，看了這么多參考書，聽了那么多考研課程，相信試卷中肯定有不少題型你是非常熟悉的，看了這些題目以后，你會感到非常高興，自信心會猛烈增長，原本緊張的心情也會放輕松，這樣才能正常發(fā)揮。
二、合理分配答題時間
根據(jù)以往考生的經(jīng)驗，一道客觀題控制在3分鐘左右，最多不要超過5分鐘，解答題一般10分鐘左右，根據(jù)難易程度適當(dāng)調(diào)整。最后至少留出30分鐘時間檢查，確保會做的題目計算正確。
三、按序做題，先易后難
考研數(shù)學(xué)題量都是23道題目，其中選擇題8道，填空題6道，解答題9道。題目類型也是固定的，數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三1-4題是高數(shù)選擇題，5-6題是線代選擇題，7-8題是概率選擇題;9-12題是高數(shù)填空題，13題是線代填空題，14題是概率填空題，15-19題是高數(shù)解答題，20-21題是線代解答題，22-23題是概率解答題。數(shù)學(xué)二1-6題是高數(shù)選擇題，7-8題是線代選擇題;9-13是高數(shù)填空題，14題是線代填空題，15-21題是高數(shù)解答題，22-23題線代解答題。
選擇題和填空題主要考察的是基本概念、基本公式、基本定理和基本運算，解答題包括計算題和證明題考察內(nèi)容比較綜合，往往一個題目考查多個知識點，從近些年的試卷特點，題型都比較常見，難度不算大，我們最好按題目順序做，這樣能穩(wěn)定心情，很快進入狀態(tài)，也不容易漏做題目，如果遇到自己不熟悉的題目也不要發(fā)慌，可以暫時放下接著做下一個題目。等容易的題目有把握的題目都做完之后，再靜心研究有疑問的題目，但如果實在沒有思路也要學(xué)會放棄，留出時間檢查自己會做的題目，爭取會做的題目不丟分，因為數(shù)學(xué)的分數(shù)最依賴的還是能否將會做的題都做對。
此外，有些同學(xué)喜歡先做高數(shù)，再做線代，這樣的做題順序也可以，關(guān)鍵是看你平時訓(xùn)練時是如何訓(xùn)練的，選擇適合自己的就是最好的，但在此提醒一下大家一定不要漏做題。最后祝大家考研順利!
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