考研數(shù)學(xué)沖刺階段的復(fù)習(xí)要點(diǎn)及技巧
考研數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)，需要不斷回顧課本、復(fù)習(xí)錯(cuò)題，對(duì)重要知識(shí)點(diǎn)需要一再鞏固。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)沖刺階段的復(fù)習(xí)指南攻略，歡迎大家前來(lái)閱讀。
考研數(shù)學(xué)沖刺重點(diǎn)矩陣相似對(duì)角化要點(diǎn)及技巧
矩陣的相似對(duì)角化是考研的重要考點(diǎn)，該部分內(nèi)容既可以出大題，也可以出小題。所以同學(xué)們必須學(xué)會(huì)如何判斷一個(gè)矩陣可對(duì)角化，現(xiàn)把該部分的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下:
★一般方陣的相似對(duì)角化理論
這里要求掌握一般矩陣相似對(duì)角化的條件，會(huì)判斷給定的矩陣是否可以相似對(duì)角化，另外還要會(huì)矩陣相似對(duì)角化的計(jì)算問(wèn)題，會(huì)求可逆陣以及對(duì)角陣。事實(shí)上，矩陣相似對(duì)角化之后還有一些應(yīng)用，主要體現(xiàn)在矩陣行列式的計(jì)算或者求矩陣的方冪上，這些應(yīng)用在歷年真題中都有不同的體現(xiàn)。
1、判斷方陣是否可相似對(duì)角化的條件：
(1)充要條件：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量;
(2)充要條件的另一種形式：An可相似對(duì)角化的充要條件是：An的k重特征值滿足n-r(λE-A)=k
(3)充分條件：如果An的n個(gè)特征值兩兩不同，那么An一定可以相似對(duì)角化;
(4)充分條件：如果An是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么An一定可以相似對(duì)角化。
【注】分析方陣是否可以相似對(duì)角化，關(guān)鍵是看線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)，而求特征向量之前，必須先求出特征值。
2、求方陣的特征值：
(1)具體矩陣的特征值：
這里的難點(diǎn)在于特征行列式的計(jì)算：方法是先利用行列式的性質(zhì)在行列式中制造出兩個(gè)0，然后利用行列式的展開(kāi)定理計(jì)算;
(2)抽象矩陣的特征值：
抽象矩陣的特征值，往往要根據(jù)題中條件構(gòu)造特征值的定義式來(lái)求，靈活性較大。
★實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化理論
其實(shí)質(zhì)還是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求大家除了掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化外，還要掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，在考試的時(shí)候會(huì)經(jīng)常用到這些考點(diǎn)的。
這塊的知識(shí)出題比較靈活，可直接出題，即給定一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似于對(duì)角陣;也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來(lái)確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A;另外由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值的特征向量確定出對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A。
最重要的是，掌握了實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化就相當(dāng)于解決了實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化問(wèn)題。
1、掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)
(1)不同特征值的特征向量一定正交
(2)k重特征值一定滿足滿足n-r(λE-A)=k
【注】由性質(zhì)(2)可知，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化;且有(1)可知，實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以正交相似對(duì)角化。
2、會(huì)求把對(duì)稱矩陣正交相似化的正交矩陣
【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對(duì)同一個(gè)特征值求出的基礎(chǔ)解系進(jìn)行正交化，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定正交(當(dāng)然除非你計(jì)算出錯(cuò)了會(huì)發(fā)現(xiàn)不正交)。
3、實(shí)對(duì)稱矩陣的特殊考點(diǎn)：
實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化，利用這個(gè)性質(zhì)可以得到很多結(jié)論，比如：
(1)實(shí)對(duì)稱矩陣的秩等于非零特征值的個(gè)數(shù)
這個(gè)結(jié)論只對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣成立，不要錯(cuò)誤地使用。
(2)兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，如果特征值相同，一定相似
同樣地，對(duì)于一般矩陣，這個(gè)結(jié)論也是不成立的。
4、實(shí)對(duì)稱矩陣在二次型中的應(yīng)用
使用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型使用的方法本質(zhì)上就是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。
考研數(shù)學(xué)沖刺必看36個(gè)重要考點(diǎn)
溫馨提醒：下面沒(méi)有區(qū)分?jǐn)?shù)一數(shù)二數(shù)三，各位小伙伴需要根據(jù)自己考查科目的大綱要求，進(jìn)行了解。
1.極限問(wèn)題的快速分析與處理;
2.巧用極限的保序性、有界性與唯一性，正確快速運(yùn)用極限運(yùn)算法則;
3.準(zhǔn)確快速判斷分段函數(shù)特性(連續(xù)、可導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)連續(xù)等);
4.導(dǎo)數(shù)與微分的特別考點(diǎn);
5.等式與不等式證明技巧;
6.處理積分計(jì)算與綜合分析問(wèn)題的有效方法;
7.正確運(yùn)用定積分性質(zhì)，處理變限積分與含參積分的技巧;
8.用積分表達(dá)與計(jì)算應(yīng)用問(wèn)題的技巧;
9.級(jí)數(shù)收斂性分析與判斷的快速程序化方法;
10.級(jí)數(shù)展開(kāi)與求和零部件組合安裝法;
11.“按類求解”和“觀察侍定”是解微分方程的兩把鑰匙;
12.“規(guī)律翻譯”與“微量平衡分析”是解應(yīng)用題的基本方法;
13.用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)考察微分方程問(wèn)題;
14.用“多元問(wèn)題”“一元化”的方法研究多元函數(shù);
15.分析“函數(shù)結(jié)構(gòu)”是“抽象函數(shù)”導(dǎo)數(shù)的計(jì)算的關(guān)鍵;
16.多元極(最)值問(wèn)題應(yīng)抓住“三個(gè)什么”“三個(gè)步驟”;
17.“三定”(坐標(biāo)系、積分序和積分限)是計(jì)算重積分的三步曲;
18.靈活運(yùn)用“分塊積分、對(duì)稱性、幾何和物理意義”是計(jì)算重積分的捷徑;
20.掌握曲面的定向是正確利用Guass公式、Stokes公式的前提;
21.將矩陣按列分塊之技巧及應(yīng)用;
22.利用矩陣的參數(shù)的技巧;
23.利用初等矩陣表示矩陣的初等變換的技巧;
24.應(yīng)用行列式的展開(kāi)定理的技巧;
25.關(guān)于向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的技巧;
26.利用簡(jiǎn)化行階梯形的技巧;
27.關(guān)于矩陣對(duì)角化問(wèn)題的技巧;
28.判斷二次型正定性的技巧;
29.加減求逆乘法律，全概逆概獨(dú)立性，事件化簡(jiǎn)是關(guān)鍵，三大概型應(yīng)活用;
30.變量分布特征清，參數(shù)確定容易定，重要分布記背景，離散變量靠列表;
31.一維連續(xù)畫(huà)密度，正態(tài)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化，指數(shù)分布無(wú)記憶，函數(shù)分布直接求;
32.由聯(lián)合分布求邊緣分布的技巧，判斷獨(dú)立性;由聯(lián)合分布求概率;
33.函數(shù)期望是關(guān)鍵，常用分布背特征，特征性質(zhì)要牢記，二維特征定相關(guān);
34.大數(shù)中心規(guī)范記，收斂方式有區(qū)別，切比雪夫估概率，近似計(jì)算用中心;
35.抽樣分布定義明，正態(tài)抽樣四式推，矩法似然原理清，無(wú)偏有效算特征;
36.區(qū)間估計(jì)靠樞軸，分位定義應(yīng)明確，假設(shè)檢驗(yàn)步驟定，兩類錯(cuò)誤會(huì)計(jì)算。
考研數(shù)學(xué)沖刺求極限的16個(gè)方法
1、極限分為一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限
(區(qū)別在于數(shù)列極限是發(fā)散的，是一般極限的一種)。
2、解決極限的方法如下
1)等價(jià)無(wú)窮小的轉(zhuǎn)化，(只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說(shuō)一定在加減時(shí)候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記。(x趨近無(wú)窮的時(shí)候還原成無(wú)窮小)
2)洛必達(dá)法則(大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法)
首先他的使用有嚴(yán)格的'使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。(所以面對(duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的不可能是負(fù)無(wú)窮!)必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在!(假如告訴你g(x),沒(méi)告訴你是否可導(dǎo)，直接用無(wú)疑是死路一條)必須是0比0，無(wú)窮大比無(wú)窮大!當(dāng)然還要注意分母不能為0。
洛必達(dá)法則分為三種情況
1)0比0無(wú)窮比無(wú)窮時(shí)候直接用
2)0乘以無(wú)窮，無(wú)窮減去無(wú)窮(應(yīng)為無(wú)窮大于無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系)所以無(wú)窮大都寫(xiě)成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成1中的形式了
3)0的0次方，1的無(wú)窮次方，無(wú)窮的0次方
對(duì)于(指數(shù)冪數(shù))方程方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了，就是寫(xiě)成0與無(wú)窮的形式了，(這就是為什么只有3種形式的原因，ln(x)兩端都趨近于無(wú)窮時(shí)候他的冪移下來(lái)趨近于0,當(dāng)他的冪移下來(lái)趨近于無(wú)窮的時(shí)候ln(x)趨近于0)
3、泰勒公式
(含有e^x的時(shí)候，尤其是含有正余旋的加減的時(shí)候要特變注意!)e^x展開(kāi),sinx展開(kāi),cos展開(kāi),ln(1+x)展開(kāi)對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助
4、面對(duì)無(wú)窮大比上無(wú)窮大形式的解決辦法。
取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母!看上去復(fù)雜處理很簡(jiǎn)單。
5、無(wú)窮小與有界函數(shù)的處理辦法
面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了!
6、夾逼定理
(主要對(duì)付的是數(shù)列極限)這個(gè)主要是看見(jiàn)極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。
7、等比等差數(shù)列公式應(yīng)用
(對(duì)付數(shù)列極限)(q絕對(duì)值符號(hào)要小于1)
8、各項(xiàng)的拆分相加
(來(lái)消掉中間的大多數(shù))(對(duì)付的還是數(shù)列極限)可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)函數(shù)。
9、求左右求極限的方式
(對(duì)付數(shù)列極限)例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，Xn的極限與Xn+1的極限是一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化。
10、兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。
這兩個(gè)很重要!對(duì)第一個(gè)而言是x趨近0時(shí)候的sinx與x比值。第2個(gè)就如果x趨近無(wú)窮大無(wú)窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式(第二個(gè)實(shí)際上是用于函數(shù)是1的無(wú)窮的形式)(當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時(shí)候要特別注意可能是用第二個(gè)重要極限)
11、還有個(gè)方法，非常方便的方法。
就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候，不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的。x的x次方快于x!,快于指數(shù)函數(shù),快于冪數(shù)函數(shù),快于對(duì)數(shù)函數(shù)(畫(huà)圖也能看出速率的快慢)。當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候他們的比值的極限一眼就能看出來(lái)了
12、換元法
是一種技巧，不會(huì)對(duì)某一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中
13、假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的。
14、還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒(méi)有辦法走投無(wú)路的時(shí)候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。
15、單調(diào)有界的性質(zhì)
對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性。
16、直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求極限
(一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f(x)加減某個(gè)值)加減f(x)的形式，看見(jiàn)了有特別注意)(當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)，f(0)的導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義!)
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