基本數(shù)學(xué)思想方法

　　數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。下面是小編整理的基本數(shù)學(xué)思想方法，希望對你有所幫助！

　　第一：函數(shù)與方程思想

　�。�1）函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時(shí)，起著重要作用

　�。�2）方程思想是解決各類計(jì)算問題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)

　　高考把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法重點(diǎn)來考查

　　第二：數(shù)形結(jié)合思想

　�。�1）數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個(gè)方面

　�。�2）在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系

　　在二維空間，實(shí)數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系

　　數(shù)形結(jié)合中，選擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題中，考慮推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化

　　第三：分類與整合思想

　�。�1）分類是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中的基本邏輯方法

　�。�2）從具體出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)

　�。�3）劃分只是手段，分類研究才是目的

　�。�4）有分有合，先分后合，是分類整合思想的本質(zhì)屬性

　�。�5）含字母參數(shù)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類與整合的研究，重點(diǎn)考查學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性

　　第四：化歸與轉(zhuǎn)化思想

　�。�1）將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題

　　（2）靈活性、多樣性，無統(tǒng)一模式，利用動(dòng)態(tài)思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法

　　（3）高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化

　　第五：特殊與一般思想

　　（1）通過對個(gè)例認(rèn)識(shí)與研究，形成對事物的認(rèn)識(shí)

　�。�2）由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)、由局部到整體、由實(shí)踐到理論

　　（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反復(fù)認(rèn)識(shí)過程

　�。�4）構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點(diǎn)、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程

　�。�5）高考以新增內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向

　　第六：有限與無限的思想

　�。�1）把對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究，是解決無限問題的必經(jīng)之路

　�。�2）積累的解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)，將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題來解決是解決的方向

　�。�3）立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用

　　（4）隨著高中課程改革，對新增內(nèi)容考查深入，必將加強(qiáng)對有限與無限的考查

　　第七：或然與必然的思想

　�。�1）隨機(jī)現(xiàn)象兩個(gè)最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，二是頻率的穩(wěn)定性

　�。�2）偶然中找必然，再用必然規(guī)律解決偶然

　�。�3）等可能性事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望是考查的重點(diǎn)

　　數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法

　　一、數(shù)形結(jié)合的思想方法

　　數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究對象的兩個(gè)側(cè)面，把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來去分析問題、解決問題，就是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合可以借助簡單的圖形、符號(hào)和文字所作的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。它是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原則，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個(gè)重要特點(diǎn)，更是解決問題時(shí)常用的方法。

　　例如，我們常用畫線段圖的方法來解答應(yīng)用題，這是用圖形來代替數(shù)量關(guān)系的一種方法。我們又可以通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等，這些都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

　　二、集合的思想方法

　　把一組對象放在一起，作為討論的范圍，這是人類早期就有的思想方法,繼而把一定程度抽象了的思維對象，如數(shù)學(xué)上的點(diǎn)、數(shù)、式放在一起作為研究對象，這種思想就是集合思想。集合思想作為一種思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)中就有所體現(xiàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。

　　如用圓圈圖（韋恩圖）向?qū)W生直觀的滲透集合概念。讓他們感知圈內(nèi)的物體具有某種共同的屬性，可以看作一個(gè)整體，這個(gè)整體就是一個(gè)集合。利用圖形間的關(guān)系則可向?qū)W生滲透集合之間的關(guān)系，如長方形集合包含正方形集合，平行四邊形集合包含長方形集合，四邊形集合又包含平行四邊行集合等。

　　三、對應(yīng)的思想方法

　　對應(yīng)是人的思維對兩個(gè)集合間問題聯(lián)系的把握，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)最基本的概念。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中主要利用虛線、實(shí)線、箭頭、計(jì)數(shù)器等圖形將元素與元素、實(shí)物與實(shí)物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來，滲透對應(yīng)思想。

　　如人教版一年級(jí)上冊教材中，分別將小兔和磚頭、小豬和木頭、小白兔和蘿卜、蘋果和梨一一對應(yīng)后，進(jìn)行多少的比較學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透了事物間的對應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生解決問題提供了思想方法。

　　四、函數(shù)的思想方法

　　恩格斯說：數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了。我們知道，運(yùn)動(dòng)、變化是客觀事物的本質(zhì)屬性。函數(shù)思想的可貴之處正在于它是運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)去反映客觀事物數(shù)量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律的。學(xué)生對函數(shù)概念的理解有一個(gè)過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在處理一些問題時(shí)就要做到心中有函數(shù)思想，注意滲透函數(shù)思想。

　　函數(shù)思想在人教版一年級(jí)上冊教材中就有滲透。如讓學(xué)生觀察《20以內(nèi)進(jìn)位加法表》，發(fā)現(xiàn)加數(shù)的變化引起的和的變化的規(guī)律等，都較好的滲透了函數(shù)的思想，其目的都在于幫助學(xué)生形成初步的函數(shù)概念。

　　五、極限的思想方法

　　極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識(shí)無限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)，了解它有重要意義。

　　現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透。 在自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)這些概念教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無限多個(gè)，讓學(xué)生初步體會(huì)無限思想；在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，13 = 0.333是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的，是無限的；在直線、射線、平行線的教學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生體會(huì)線的兩端是可以無限延長的。

　　六、化歸的思想方法

　　化歸是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法。化歸，是指將有待解決或未解決的的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去，以求得解決�？陀^事物是不斷發(fā)展變化的，事物之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，是現(xiàn)實(shí)世界的普遍規(guī)律。數(shù)學(xué)中充滿了矛盾，如已知和未知、復(fù)雜和簡單、熟悉和陌生、困難和容易等，實(shí)現(xiàn)這些矛盾的轉(zhuǎn)化，化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，化困難為容易，都是化歸的思想實(shí)質(zhì)。任何數(shù)學(xué)問題的解決過程，都是一個(gè)未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程。化歸是基本而典型的數(shù)學(xué)思想。我們實(shí)施教學(xué)時(shí)，也是經(jīng)常用到它，如化生為熟、化難為易、化繁為簡、化曲為直等。

　　小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法如：小數(shù)除法通過商不變性質(zhì)化歸為除數(shù)是整數(shù)的除法；異分母分?jǐn)?shù)加減法化歸為同分母分?jǐn)?shù)加減法；異分母分?jǐn)?shù)比較大小通過通分化歸為同分母分?jǐn)?shù)比較大小等；在教學(xué)平面圖形求積公式中，就以化歸思想、轉(zhuǎn)化思想等為理論武器，實(shí)現(xiàn)長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積計(jì)算公式間的同化和順應(yīng)，從而構(gòu)建和完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

　　七、歸納的思想方法

　　在研究一般性性問題之前，先研究幾個(gè)簡單的、個(gè)別的、特殊的情況，從而歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì)，這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程就是歸納思想的應(yīng)用過程。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)運(yùn)用歸納思想，既可認(rèn)由此發(fā)現(xiàn)給定問題的解題規(guī)律，又能在實(shí)踐的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新的客觀規(guī)律，提出新的原理或命題。因此，歸納是探索問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理或公式的重要思想方法，也是思維過程中的一次飛躍。

　　如：在教學(xué)三角形內(nèi)角和時(shí)，先由直角三角形、等邊三角形算出其內(nèi)角和度數(shù)，再用猜測、操作、驗(yàn)證等方法推導(dǎo)一般三角形的內(nèi)角和，最后歸納得出所有三角形的內(nèi)角和為180度。這就運(yùn)用歸納的思想方法。

　　八、符號(hào)化的思想方法

　　數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，已成為一個(gè)符號(hào)化的世界。符號(hào)就是數(shù)學(xué)存在的具體化身。英國著名數(shù)學(xué)家羅素說過：什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯。數(shù)學(xué)離不開符號(hào)，數(shù)學(xué)處處要用到符號(hào)。懷特海曾說：只要細(xì)細(xì)分析，即可發(fā)現(xiàn)符號(hào)化給數(shù)學(xué)理論的表述和論證帶來的極大方便，甚至是必不可少的。數(shù)學(xué)符號(hào)除了用來表述外，它也有助于思維的發(fā)展。如果說數(shù)學(xué)是思維的體操，那么，數(shù)學(xué)符號(hào)的`組合譜成了體操進(jìn)行曲�，F(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材十分注意符號(hào)化思想的滲透。

　　人教版教材從一年級(jí)就開始用□或（ ）代替變量 x ，讓學(xué)生在其中填數(shù)。例如： 1 + 2 = □ ，6 +（ ）=8 ， 7 = □+□+□+□+□+□+□；再如：學(xué)校有7個(gè)球，又買來4個(gè)�，F(xiàn)在有多少個(gè)？要學(xué)生填出□ ○ □ = □ （個(gè)）。

　　符號(hào)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中隨處可見，教師要有意識(shí)地進(jìn)行滲透。數(shù)學(xué)符號(hào)是抽象的結(jié)晶與基礎(chǔ)，如果不了解其含義與功能，它如同天書一樣令人望而生畏。因此 ，教師在教學(xué)中要注意學(xué)生的可接受性。

　　九、統(tǒng)計(jì)的思想方法

　　在生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究時(shí)，人們通常需要有目的地調(diào)查和分析一些問題，就要把收集到的一些原始數(shù)據(jù)加以歸類整理，從而推理研究對象的整體特征，這就是統(tǒng)計(jì)的思想和方法。例如，求平均數(shù)是一種理想化的統(tǒng)計(jì)方法。我們要比較兩個(gè)班的學(xué)習(xí)情況，以班級(jí)學(xué)生的平均數(shù)作為該班成績的標(biāo)志是有一定說服力的，這是一種最常用、最簡單方便的統(tǒng)計(jì)方法

　　小學(xué)數(shù)學(xué)除滲透運(yùn)用了上述各數(shù)學(xué)思想方法外，還滲透運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法、假設(shè)的思想方法、比較的思想方法、分類的思想方法、類比的思想方法等。從教學(xué)效果看，在教學(xué)中滲透和運(yùn)用這些教學(xué)思想方法，能增加學(xué)習(xí)的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性；能啟迪思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)智能；有利于學(xué)生形成牢固、完善的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)�？傊�，在教學(xué)中，教師要既重視數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的教學(xué)，又注重?cái)?shù)學(xué)思想、方法的滲透和運(yùn)用，這樣無疑有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升，無疑有助于學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展。

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