二次函數(shù)學(xué)習(xí)方法
篇一：函數(shù)學(xué)習(xí)方法
一．函數(shù)的相關(guān)概念：
1．變量與常量
在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，保持不變的量叫做常量。
注意：變量和常量往往是相對而言的，在不同研究過程中，常量和變量的身份是可以相互轉(zhuǎn)換的．
在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)．
說明：函數(shù)體現(xiàn)的是一個變化的過程，在這一變化過程中，要著重把握以下三點(diǎn)：
（1）只能有兩個變量．
�。�2）一個變量的數(shù)值隨另一個變量的數(shù)值變化而變化．
�。�3）對于自變量的每一個確定的值，函數(shù)都有唯一的值與之對應(yīng)．
二．函數(shù)的表示方法和函數(shù)表達(dá)式的確定：
函數(shù)關(guān)系的表示方法有三種：
1．.解析法：兩個變量之間的關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量的等式表示，這種表示方法叫做解析法．用解析法表示一個函數(shù)關(guān)系時，因變量y放在等式的左邊，自變量y的代數(shù)式放在右邊，其實(shí)質(zhì)是用x的代數(shù)式表示y；
注意：解析法簡單明了，能準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與因變量的關(guān)系，但不直觀，且有的函數(shù)關(guān)系不一定能用解析法表示出來．
2．列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫列表法；
注意：列表法優(yōu)點(diǎn)是一目了然，使用方便，但其列出的對應(yīng)值是有限的，而且從表中不易看出自變量和函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。
3．.圖象法：用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法．圖象法形象直觀，是研究函數(shù)的一種很重要的方法。
三．函數(shù)（或自變量）值、函數(shù)自變量的取值范圍
2．函數(shù)求值的幾種形式：
（1）當(dāng)函數(shù)是用函數(shù)表達(dá)式表示時，示函數(shù)的值，就是求代數(shù)式的值；
（2）當(dāng)已知函數(shù)值及表達(dá)式時，賭注相應(yīng)自變量的值時，其實(shí)質(zhì)就是解方程；
�。�3）當(dāng)給定函數(shù)值的取值范圍，求相應(yīng)的自變量的取值范圍時，其實(shí)質(zhì)就是解不等式（組）。
3．.函數(shù)自變量的取值范圍是指使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體．求自變量的取值范圍通常從兩個方面考慮：一是要使函數(shù)的解析式有意義；二是符合客觀實(shí)際．下面給出一些簡單函數(shù)解析式中自變量范圍的確定方法．
�。�1）當(dāng)函數(shù)的解析式是整式時，自變量取任意實(shí)數(shù)（即全體實(shí)數(shù)）；
�。�2）當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時，自變量取值是使分母不為零的任意實(shí)數(shù)；
�。�3）當(dāng)函數(shù)的解析式是開平方的無理式時，自變量取值是使被開方的式子為非負(fù)的實(shí)數(shù)；
�。�4）當(dāng)函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整數(shù)次冪的底數(shù)中時，自變量取值是使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù)。
說明:當(dāng)函數(shù)表達(dá)式表示實(shí)際問題或幾何問題時，自變量取值范圍除應(yīng)使函數(shù)表達(dá)式有意義外，還必須符合實(shí)際意義或幾何意義。
在一個函數(shù)關(guān)系式中，如果同時有幾種代數(shù)式時，函數(shù)自變量取值范圍應(yīng)是各種代數(shù)式中自變量取值范圍的公共部分。
篇二：學(xué)習(xí)二次函數(shù)的技巧和方法
二次函數(shù)專項知識分析
知識能力目標(biāo)：
1、 經(jīng)歷探索、分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)如何用數(shù)
學(xué)的方法描述變量之間的數(shù)量關(guān)系。 2、 能用表格、表達(dá)式、圖象表示變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，提高有條理的思考和語言
表達(dá)能力，能根據(jù)具體問題，選取適當(dāng)?shù)姆椒ū硎咀兞恐g的二次函數(shù)關(guān)系。 3、 會作二次函數(shù)的圖象，并能根據(jù)圖象對二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，逐步積累研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。
4、 能根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式確定二次函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。 5、 理解一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，并能利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的
近似根。
考點(diǎn)一 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1、二次函數(shù)的定義和知識點(diǎn)：形如y=ax2+bx+c(a≠0，其中a、b、c是常數(shù))的函數(shù)為二次函數(shù)。 （1）、a決定拋物線的開口方向和形狀大小，當(dāng)a＞0時，開口向上，當(dāng)a＜0時開口向下；︱a︱的值越大，開口就越小；當(dāng)b=0時，拋物線的軸對稱是Y軸；當(dāng)c=0時，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)b和c同時為0時，其頂點(diǎn)就是原點(diǎn)。 ?b4ac?b2（2）、拋物線y=ax+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是???2a4a
?
2
?
?，對稱軸方程是直??
線x=?
b2a
，注意：對稱軸是由a和b決定的，與c 無關(guān)，a和b同號時，對稱軸在Y
軸的左邊，a和b異號時，對稱軸在Y軸的右邊，簡稱“同左異右”。
�。�3）、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與Y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；求與X軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是令y=0，然后解關(guān)于ax2+bx+c=0的方程，得出的x的解就是與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這兩個交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱。
2、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是一條拋物線，a決定拋物線的開口方向。當(dāng)a＞0時，拋物線的開口向上，圖象有最低點(diǎn)；函數(shù)有最小值；且x＞?的增大而增大；當(dāng)x＜?
b2a
b2a
時，y隨x
時， y隨x的增大而減�。划�(dāng)a＜0時，拋物線的開口向下，
b2a
圖象有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值，且x＞?y隨x的增大而增大。
時，y隨x的增大而減�。划�(dāng)x＜?
b2a
時，
注意：函數(shù)的最值就是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值，即當(dāng)
3、圖象的平移：將二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象進(jìn)行平移，就是在頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k
基礎(chǔ)上進(jìn)行的，平移后的圖象與原圖象的開口方向，形狀大小相同，只是位置不同，所以a不變；平移的口訣是h是左加右減，K是上加下減。
4、會求與二次函數(shù)y?ax2?bx?c（a≠0）關(guān)于X軸、關(guān)于Y軸或者關(guān)于頂點(diǎn)對稱的新二次函數(shù)的解析式。
�。�1）與二次函數(shù)y?ax2?bx?c（a≠0）關(guān)于X軸對稱的新解析式為y??ax2?bx?c 即a、c、b都變成相反數(shù)。
�。�2）關(guān)于Y軸對稱的新解析式為y?ax2?bx?c，即a和c不變，b變成相反數(shù)。 即a和c不變，b變成相反數(shù)。
2
�。�3）求關(guān)于頂點(diǎn)對稱的新二次函數(shù)的解析式。應(yīng)先化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)+k，再把a(bǔ)變成相反數(shù)即可，即y=a(x-h)2+k—— y = - a (x-h)2+k
考點(diǎn)二、二次函數(shù)解析式的求法
1、 二次函數(shù)的三種表示方法：
（1） 表格法：可以清楚、直接地表示出變量之間的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系。 （2） 圖象法：可以直觀地表示出函數(shù)的變化過程和變化趨勢。 （3） 解析式：可以比較全面、完整、簡潔地表示出變量之間的關(guān)系。 2、 二次函數(shù)解析式的求法：
（1） 若已知拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo)，則可采用一般式：y?ax2?bx?c（a≠0）； （2） 若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程，則可采用頂點(diǎn)式：y?a(x?h)2?k，
其中頂點(diǎn)為（h,k），對稱軸為直線x=h；
（3） 若已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可采用交點(diǎn)式：
y?a(x?x1)(x?x2)，其中與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0),(x2,0)；同時，兩交
b?4aca
2
點(diǎn)在x軸上截得的線段x1?x2?
考點(diǎn)三 根據(jù)二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解 一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系：
1、 一元二次方程ax?bx?c?0（a≠0）就是二次函數(shù)y?ax?bx?c（a≠0）；
當(dāng)函數(shù)y的值為0時的情況。
2、 二次函數(shù)y?ax?bx?c（a≠0）的圖象與x 軸的交點(diǎn)有三中情況：有兩個交點(diǎn)、
有一個交點(diǎn)、沒有交點(diǎn)；二次函數(shù)y?ax?bx?c（a≠0）的圖象與x軸有交點(diǎn)
2
2
22
時，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是y =0時自變量x的值，也就是一元二次方程ax2?bx?c?0（a≠0）的根。
3、 當(dāng)二次函數(shù)y?ax2?bx?c（a≠0）的圖象與x 軸的交點(diǎn)有兩個交點(diǎn)時，則一元
二次方程ax2?bx?c?0（a≠0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)
y?ax
2
?bx?c（a≠0）的圖象與x 軸的交點(diǎn)有一個交點(diǎn)時，則一元二次方程
2
ax
2
?bx?c?0（a≠0）有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y?ax?bx?c（a
≠0）的圖象與x 軸沒有交點(diǎn)時，則一元二次方程ax2?bx?c?0（a≠0）沒有實(shí)數(shù)根；
考點(diǎn)四：二次函數(shù)的應(yīng)用
1、 二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)廣泛應(yīng)用于實(shí)際生活中，主要有最大利益的獲取，最佳
方案的設(shè)計、最大面積的計算等問題。 2、 解決最值問題的基本思路：（1）認(rèn)真審題，分清題中的已知和未知，找出數(shù)量
間的關(guān)系；（2）確定自變量x及函數(shù)y；（3）根據(jù)題中實(shí)際數(shù)量的相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系模型；（4）分析圖表信息、利用待定系數(shù)法、配方法等求出最值。
考點(diǎn)五：二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，與各種幾何圖形的綜合運(yùn)用。
例題講解：
1、 某跳水運(yùn)動員進(jìn)行10米跳臺跳水訓(xùn)練時，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動路線是如
圖所示坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點(diǎn)0的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）。 在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下運(yùn)動員在空中的最高處距水面10
23
米，入水處距
池邊的距離為4米，同時，運(yùn)動員在距離水面高度為5米以前必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤。
�。�1） 求這條拋物線的表達(dá)式。
（2） 在某次試跳中，測得運(yùn)動員在空中的運(yùn)動路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動
員在空中調(diào)整好姿勢時距離池邊的水平距離為3誤？通過計算說明理由。
35
米，問此次跳水會不會失
2、 某化工廠材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購進(jìn)價格30元/千克，物
價部門規(guī)定其銷售單價不得高于70元/千克，也不得低于30元/千克，市場調(diào)查發(fā)
現(xiàn)，單價定為70元/千克時，日均銷售60千克，單價降低1元，日均多銷售2千克，每天還要支出其他費(fèi)用500元（天數(shù)不足一天的按一天計算）。設(shè)銷售單價為x元，日均獲利為y元。
�。�1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并注明x的取值范圍。 （2）將（1）中所求出的二次函數(shù)配方成y?a(x?
b2a)?
2
4ac?b4a
2
的形式，寫出頂
點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出草圖，觀察圖象，指出單價定為多少時，日獲利最多，是多少？ （3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種方式，哪一種獲總利較多，多多少？
4已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)。將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處。
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
�。�2）若拋物線y?ax?bx（a≠0）經(jīng)過C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式； （3）若拋物線的對稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn)，過P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M。問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。
2
篇三：怎樣學(xué)好函數(shù)
�。蹖W(xué)法指導(dǎo)］怎樣學(xué)好函數(shù)
學(xué)習(xí)函數(shù)要重點(diǎn)解決好四個問題：準(zhǔn)確深刻地理解函數(shù)的有關(guān)概念；揭示并認(rèn)識函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系；把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法；認(rèn)識函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識.
(一)準(zhǔn)確、深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念
概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，函數(shù)概念貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終.數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等是以函數(shù)為中心的代數(shù).近十年來，高考試題中始終貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主線.
(二)揭示并認(rèn)識函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系.函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程等內(nèi)容.在利用函數(shù)和方程的思想進(jìn)行思維中，動與靜、變量與常量如此生動的辯證統(tǒng)一，函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式.
所謂函數(shù)觀點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是將問題放到動態(tài)背景上去加以考慮.高考試題涉及5個方面：(1)原始意義上的函數(shù)問題；(2)方程、不等式作為函數(shù)性質(zhì)解決；(3)數(shù)列作為特殊的函數(shù)成為高考熱點(diǎn)；(4)輔助函數(shù)法；(5)集合與映射，作為基本語言和工具出現(xiàn)在試題中.
(三)把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法
函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換.
(四)認(rèn)識函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識
函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系，求得問題的解決.縱觀近幾年高考題，考查函數(shù)思想方法尤其是應(yīng)用題力度加大，因此一定要認(rèn)識函數(shù)思想實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意識.
篇四：二次函數(shù)的學(xué)習(xí)方法
二次函數(shù)（quadratic function）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
一般式：1：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))， 則稱y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-b2)/4a) (若給出拋物線上兩點(diǎn)及另一個條件，通�？稍O(shè)一般式）
2.頂點(diǎn)式：y=a(x+m)^2+k(a≠0,m≠0,k≠0) (兩個式子實(shí)質(zhì)一樣,但初中課本上都是第一個式子)（若給出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最值，通�？稍O(shè)頂點(diǎn)式），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m,k）對稱軸x=-m
3.交點(diǎn)式（與x軸）：y=a(x-x?)(x-x?) （若給出拋物線與x軸的交點(diǎn)及對稱軸與x軸的交點(diǎn)距離或其他一的條件，通�？稍O(shè)交點(diǎn)式）
重要概念：（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量，y是x的二次函數(shù)
x?,x?=[-b±√(b2-4ac)]/2a
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的.平方的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。不同的二次函數(shù)圖像如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有
1本身圖像，旁邊注名函數(shù)。
2畫出對稱軸，并注明X=什么
3與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因?yàn)槿魧ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號
當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因?yàn)閷ΨQ軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時 （即ab＜ 0 ），對稱軸在y軸右。
事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的
斜率k的值�？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù) Δ= b*2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。 Δ= b*2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數(shù)，乘上 虛數(shù)i，整個式子除以2a）
當(dāng)a>0時，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x<-b x="">-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①當(dāng)x=1時 y=a+b+c
�、诋�(dāng)x=-1時 y=a-b+c
�、郛�(dāng)x=2時 y=4a+2b+c
④當(dāng)x=-2時 y=4a-2b+c
8.定義域：R
值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a， 正無窮）；
②[t，正無窮）
奇偶性：偶函數(shù)
周期性：無
解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0 ⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下； ⑶極值點(diǎn)：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)： （[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0，圖象與x軸交于一點(diǎn)： （-b/2a，0）； Δ＜0，圖象與x軸無交點(diǎn)； ②y=a(x-h)^2+k[頂點(diǎn)式] 此時，對應(yīng)極值點(diǎn)為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式（雙根式）]（a≠0） 對稱軸X=(X1+X2)/2 當(dāng)a>0 且X≥(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a>0且X≤（X1+X2）/2時Y隨X 的增大而減小 此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。
焦點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個x軸焦點(diǎn)和另一個點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)焦點(diǎn)式。兩焦點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1 X2值。
特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，
當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），ax^2+bx+c=0 此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1．二次函數(shù)y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表： 解析式 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對 稱 軸 y=ax^2 (0，0) x=0 y=ax^2+K (0，K) x=0 y=a(x-h)^2 (h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b^2/4a) x=-b/2a
當(dāng)h>0時，y=a(x-h)^2;的圖象可由拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位得到，
當(dāng)h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當(dāng)h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；
當(dāng)h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2;向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2-k的圖象；
當(dāng)h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x+h)^2+k的圖象；
當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x+h)^2-k的圖象；在向上或向下.向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減�。划�(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當(dāng)x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減�。�
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a絕對值分之根號下△）另外，拋物線上任何一對對稱點(diǎn)的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)）
當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個交點(diǎn)；
當(dāng)△<0．圖象與x軸沒有交點(diǎn)．當(dāng)a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時，都有y>0；當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時，都有y<0． y="ax^2+bx+c的最值：如果a">0(a<0)，則當(dāng)x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值．
6．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點(diǎn)或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或極大（�。┲禃r，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)．
習(xí)題:
1．( 北京東城區(qū))有一個二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點(diǎn)： 甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；
丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3． 請你寫出滿足上述全部特點(diǎn)的一個二次函數(shù)解析式： ．
考點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的求法
評析：設(shè)所求解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，且設(shè)x1＜x2，則其圖象與x軸兩交點(diǎn)分別是A(x1，0)，B(x2，0)，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，ax1x2). 『因?yàn)榻稽c(diǎn)式
a(x-x1)(x-x2),又因?yàn)榕cy軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2 ∵拋物線對稱軸是直線x=4，
∴x2-4=4 - x1
即：x1+ x2=8
�、� ∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1= ②
�、佗趦墒较嗉訙p，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整數(shù)，ax1x2也是整數(shù)，
∴ax1x2是3的約數(shù)，共可取值為：±1，±3。
當(dāng)ax1x2=±1時，x2=7，x1=1，a=±
當(dāng)ax1x2=±3時，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式為：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
說明：本題中，只要填出一個解析式即可，也可用猜測驗(yàn)證法。例如：猜測與x軸交點(diǎn)為A(5，0)，B(3，0)。再由題設(shè)條件求出a，看C是否整數(shù)。若是，則猜測得以驗(yàn)證，填上即可。
2．( 安徽省)心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越強(qiáng)。
(1)x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？x在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？
(2)第10分時，學(xué)生的接受能力是什么？
(3)第幾分時，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？
考點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)。
評析：將拋物線y=-0.1x2+2.6x+43變?yōu)轫旤c(diǎn)式為：y=-0.1(x-13)2+59.9，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知開口向下，當(dāng)x＜13時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>13時，y
隨x的增大而減小。而該函數(shù)自變量的范圍為：0＜x3＜0，所以兩個范圍應(yīng)為0＜x＜13；13＜x＜30。將x=10代入，求函數(shù)值即可。由頂點(diǎn)解析式可知在第13分鐘時接受能力為最強(qiáng)。解題過程如下：
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以，當(dāng)0＜x＜13時，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)。
當(dāng)13＜x＜30時，學(xué)生的接受能力逐步下降。
(2)當(dāng)x=10時，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分時，學(xué)生的接受能力為59。
(3)x=13時，y取得最大值，
所以，在第13分時，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)。
3．( 河北省)某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品．據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答以下問題：
(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
(2)設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍)；
(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？
解：(1)當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，月銷售量為：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月銷售利潤為:(55–40)×450=6750(元)．
(2)當(dāng)銷售單價定為每千克x元時，月銷售量為：[500–(x–50)×10]千克而每千克的銷售利潤是:(x–40)元，所以月銷售利潤
為:y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元)， ∴y與x的函數(shù)解析式為：y =–10x^2+1400x–40000．
(3)要使月銷售利潤達(dá)到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000， 即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
當(dāng)銷售單價定為每千克60元時，月銷售量為：500–(60–50)×10=400(千克)，月銷售成本為：40×400=16000(元)；
當(dāng)銷售單價定為每千克80元時，月銷售量為：500–(80–50)×10=200(千克)，月銷售單價成本為：40×200=8000(元)；
由于8000＜10000＜16000，而月銷售成本不能超過10000元，所以銷售單價應(yīng)定為每千克80元．
篇五：二次函數(shù)的學(xué)習(xí)方法
二次函數(shù)
二次函數(shù)與圓的知識一樣，在初中數(shù)學(xué)占有重要的地位.對二次函數(shù)的考查經(jīng)常跟方程等知識相結(jié)合.
概念與圖像
重點(diǎn)難點(diǎn)
(1)能夠根據(jù)實(shí)際問題，熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍.
(2)理解拋物線的有關(guān)概念，會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖象,探索掌握二次函數(shù)的性質(zhì).
內(nèi)容提要
(1)形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)，a叫做二次函數(shù)的系數(shù)，b叫做一次項的系數(shù)，c叫作常數(shù)項．
(2)當(dāng)aO時，拋物線y=ax2開口向上，在對稱軸的左邊，曲線自左向右上升；在對稱軸的右邊，曲線自左向右下降，頂點(diǎn)拋物線上位置最高的點(diǎn)。圖象的這些特點(diǎn)，反映了當(dāng)aO時，函數(shù)y=ax2的性質(zhì)；當(dāng)x0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；與xO時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)x=0時，函數(shù)值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0.
典型一例
某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結(jié)600個橙子.現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子.
求增種樹的棵數(shù)與橙子總產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系.
解：假設(shè)果園增種x棵橙子樹,果園橙子的總產(chǎn)量為y(個)，依題意，果園共有（100+x）棵樹,平均每棵樹結(jié)（600-5x）個橙子.
y=(100+x)(600-5x)
=-5x2+100x+60000.
圖象性質(zhì)
重點(diǎn)難點(diǎn)
(1)確定函數(shù)y=a(x－h(huán))2＋k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，理解函數(shù)y=a(x－h(huán))2＋k的圖象與函數(shù)y=ax2的圖象之間的關(guān)系，理解函數(shù)y=a(x－h(huán))2＋k的性質(zhì).
(2)正確理解函數(shù)y=a(x－h(huán))2＋k的圖象與函數(shù)y=ax2的圖象之間的關(guān)系以及函數(shù)y=a(x－h(huán))2＋k的性質(zhì)是難點(diǎn).
探索求知
1.你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2(x－1)2＋1的圖象有哪些性質(zhì)嗎?
函數(shù)y＝2(x－1)2＋1的圖象可以看成是將函數(shù)y=2(x－1)2的圖象向上平稱1個單位得到的，也可以看成是將函數(shù)y=2x2的圖象向右平移1個單位再向上平移1個單位得到的.
當(dāng)x＜1時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值，最小值y=1.
2.你能說出函數(shù)y=－13(x－1)2＋2的圖象與函數(shù)y=－13x2的圖象的關(guān)系，由此進(jìn)一步說出這個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎?
函數(shù)y＝－13(x－1)2＋2的圖象可以看成是將函數(shù)y=－13x2的圖象向右平移一個單位再向上平移2個單位得到的，其開口向下，對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，2)
描點(diǎn)法
重點(diǎn)難點(diǎn)
(1)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象;通過配方確定拋物線的對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)理解二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質(zhì)以及它的對稱軸(頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是x＝－b2a、(－b2a，4ac－b24a)是難點(diǎn).
探索求知
1．你能說出函數(shù)y＝－4(x－2)2＋1圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎？ 函數(shù)y＝－4(x－2)2＋1圖象的開口向下，對稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2，
1).
2．函數(shù)y＝－4(x－2)2＋1圖象與函數(shù)y＝－4x2的圖象有什么關(guān)系?
函數(shù)y＝－4(x－2)2＋1的圖象可以看成是將函數(shù)y＝－4x2的圖象向右平移2個單位再向上平移1個單位得到的.
3．函數(shù)y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性質(zhì)?
當(dāng)x＜2時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當(dāng)x＝2時，函數(shù)取得最大值，最大值y＝1.
4．不畫出圖象，你能直接說出函數(shù)y＝－12x2＋x－52的圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)嗎?
因?yàn)閥＝－12x2＋x－52＝－12(x－1)2－2，所以這個函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2).
經(jīng)典一例
請畫出函數(shù)y＝－12x2＋x－52的圖象，并說明這個函數(shù)具有哪些性質(zhì).
分析:由以上探索求知，大家已經(jīng)知道函數(shù)y＝－12x2＋x－52的圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)這些特點(diǎn)，可以采用描點(diǎn)法作圖的方法作出函數(shù)y＝－12x2＋x－52的圖象，進(jìn)而觀察得到這個函數(shù)的性質(zhì).
解：(1)列表：在x的取值范圍內(nèi)列出函數(shù)對應(yīng)值表；
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －612
�。�4 －212
�。�2 －212
�。�4 －612
…
(2)描點(diǎn)：用表格里各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn).
(3)連線：用光滑的曲線順次連接各點(diǎn)，得到函數(shù)y＝－12x2＋x－52的圖象. 說明：(1)列表時，應(yīng)根據(jù)對稱軸是x＝1，以1為中心，對稱地選取自變量的值，求出相應(yīng)的函數(shù)值。相應(yīng)的函數(shù)值是相等的.
(2)直角坐標(biāo)系中x軸、y軸的長度單位可以任意定，且允許x軸、y軸選取的長度單位不同。所以要根據(jù)具體問題，選取適當(dāng)?shù)拈L度單位，使畫出的圖象美觀. 則可得到這個函數(shù)的性質(zhì)如下:
當(dāng)x＜1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞1時，函數(shù)值y隨x的增大而減�。�
當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得最大值，最大值y＝－2.
解決問題
重點(diǎn)難點(diǎn)
根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并確定二次函數(shù)自變量的范圍，既是這部分知識的重點(diǎn)也是難點(diǎn).
探索求知
1．通過配方，寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).
(1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－10.
y＝6(x＋1)2－6，拋物線的開口向上，對稱軸為x＝－1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1，－
6)；y＝－4(x－1)2－6，拋物線開口向下，對稱軸為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，－6).
2. 以上兩個函數(shù)，哪個函數(shù)有最大值，哪個函數(shù)有最小值?說出兩個函數(shù)的最大值、最小值分別是多少?
函數(shù)y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6，函數(shù)y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6.
、定義與定義式：
自變量x和因變量y有如下關(guān)系：
y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）
則稱y是x的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù)。
II、一次函數(shù)的性質(zhì)：
y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即 △y/△x=k
III、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：
1． 作法與圖形：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖象——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖象只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。
2． 性質(zhì)：在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。
3． k，b與函數(shù)圖象所在象限。
當(dāng)k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當(dāng)k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當(dāng)b＞0時，直線必通過一、二象限；當(dāng)b＜0時，直線必通過三、四象限。 特別地，當(dāng)b=O時，直線通過原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖象。 這時，當(dāng)k＞0時，直線只通過一、三象限；當(dāng)k＜0時，直線只通過二、四象限。
IV、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：
已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
�。�1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。
�。�2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
V、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用
1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
解一次函數(shù)，首先要知道一次函數(shù)在圖象中是兩個點(diǎn)確定的一條直線，要知道它的解析式是Y＝KX＋B，其中B不能為零（為零的話就是正比例函數(shù)了），k是直線在Y軸上的截距，解決一次函數(shù)的關(guān)鍵是解決K和B的問題，所以要充分利用題目中的條件，找到兩個坐標(biāo)點(diǎn)，并列關(guān)于K和B的二元一次方程組，從而求得一次函數(shù)的解析式。要注意一次函數(shù)和正比例函數(shù)的關(guān)系，也就是正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，也就是正比例函數(shù)在Y軸的截距為零，解正比例函數(shù)只需要一個坐標(biāo)，解決K問題即可。另外，要注意訓(xùn)練一下有關(guān)與一次函數(shù)相結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用的問題，因?yàn)檫@部分在考題當(dāng)中還是經(jīng)常出現(xiàn)的，應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。
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