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數(shù)學思想方法與數(shù)學各個領(lǐng)域的聯(lián)系

　　1． “數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域。

　�。�1）回憶學過的數(shù)，溝通整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的聯(lián)系，突出數(shù)的應用，重視培養(yǎng)數(shù)感。

數(shù)學思想方法與數(shù)學各個領(lǐng)域的聯(lián)系

　　本單元編排數(shù)的認識這一節(jié)，要復習這些數(shù)的意義，形成清晰的數(shù)概念。先讓學生說說學過了哪些數(shù)，以及對這些數(shù)和相互聯(lián)系的認識，四個卡通的交流是學生的初步回憶，在初步回憶的基礎(chǔ)上，教材提出三個討論題，進一步梳理知識。表示整數(shù)和小數(shù)都應用十進制計數(shù)法，在討論題（1）里應該聯(lián)系具體的整數(shù)和小數(shù)，復習計數(shù)單位和數(shù)位的知識，理解相鄰計數(shù)單位間的進率都是10；還要分析整數(shù)和小數(shù)的組成，體會十進制計數(shù)法，正確掌握讀數(shù)方法。百分數(shù)只表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，也就是只表示兩個數(shù)的比，不表示具體的數(shù)量。這既是百分數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系，也是它們的區(qū)別。討論題（2）要聯(lián)系實例進行比較，如把1噸煤平均分成5份，用去其中的1份，用去了這些煤的1/5，是1/5噸。如果用百分數(shù)來表示，只能是用去了這些煤的20%，不能說用去了20%噸。在小數(shù)的末尾添上0或者去掉0，只改變小數(shù)的計數(shù)單位，不改變小數(shù)的大小。如0.50是50/100，而0.500是50０/1000，0.5是5/10。小數(shù)的性質(zhì)與分數(shù)的基本性質(zhì)是一致的，可以用對應排列的兩組等式來說明.討論題（3）用分數(shù)的基本性質(zhì)說明小數(shù)的性質(zhì)，能進一步理解小數(shù)意義以及小數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系。

　　練習與實踐編排了14道習題，進一步復習數(shù)的知識。涉及的內(nèi)容有數(shù)的意義和表示方法，數(shù)的改寫與求近似數(shù)，數(shù)的大小比較，通過移動小數(shù)點的位置計算一個數(shù)乘（或除以）10、100、1000，因數(shù)與倍數(shù)的概念以及有關(guān)的知識。教學這些題要注意兩點，一是先讓學生獨立解答，再組織交流，進行必要的評講。第1題要說說填數(shù)時的思考，利用直線下面的整數(shù)，理解負數(shù)是與正數(shù)意義相反的數(shù)，是比0小的數(shù)；利用直線上面的數(shù)理解真分數(shù)、假分數(shù)的意義；把直線上、下的分數(shù)和小數(shù)聯(lián)系起來，理解數(shù)之間的關(guān)系。第9題要體會改變大數(shù)的單位或求大數(shù)的近似數(shù)，能方便對數(shù)的理解或讀、寫。第10題里包含許多概念，要理解素數(shù)與合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)是按不同標準對數(shù)進行分類，還要整理因數(shù)與倍數(shù)、公因數(shù)與公倍數(shù)的概念和相互關(guān)系。二是讓學生體會數(shù)的實際應用，發(fā)展數(shù)感。第3題解釋車票和商品標識上的數(shù)的具體含義，第4題自主收集用數(shù)表達的信息，能讓學生體驗數(shù)描述了生活中的現(xiàn)象、事物，感受用數(shù)表達和交流信息，既方便又準確。第12題體會各組數(shù)的發(fā)展趨勢，第13題借助直觀圖形進行估計，第14題結(jié)合圖形感受數(shù)的大小，這些題把發(fā)展數(shù)感落實到應用知識解決實際問題的過程中。

　�。�2）整理數(shù)的運算知識，培養(yǎng)計算能力和解決實際問題的能力。

　　數(shù)的運算分兩段復習，第一段復習四則計算，第二段復習四則混合運算和運算律。

　　復習四則計算，第87頁練習與實踐從兩方面培養(yǎng)計算能力，一是通過第1~4題練習口算、筆算和估算，使學生能正確計算，并具有驗算的習慣。對口算的基本要求是：能計算百以內(nèi)的兩位數(shù)加、減兩位數(shù)以及相應的小數(shù)加、減法，能計算百以內(nèi)的兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)除以一位數(shù)以及相應的小數(shù)乘、除法，能進行比較簡單的分數(shù)四則計算。對筆算的基本要求是：能計算三位數(shù)的加、減法及相應的小數(shù)加、減法，能計算三位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)除以兩位數(shù)及相應的小數(shù)乘、除法，能進行分數(shù)的四則計算。對整數(shù)四則計算的估算要求是：把參與運算的數(shù)看作最接近的整百數(shù)或整十數(shù)，通過口算得到結(jié)果大約是多少。二是通過第5題學會從實際問題和自己的計算水平出發(fā)，選擇比較適宜的計算方式，省力而高效地解決實際問題。對大多數(shù)學生而言，第（1）題可以口算，第（2）題可以估算，第（3）題可以筆算，第（4）題可以使用計算器。個別學生解答第（2）題用筆算、第（3）題用口算也是允許的。第89頁練習與實踐第1、2題，讓學生選擇合適的方法計算，從中可以獲得兩點體會：第一，運算順序是進行混合運算的一般規(guī)則，而運算律能改變原來的運算順序；第二，簡便運算是有條件地進行的，在計算時要認真審題，發(fā)現(xiàn)和利用可以簡便計算的條件與機會。教學第7-12題要充分發(fā)揮一題多問或題組的作用，通過比較、梳理強化概念和解題思路。

　�。�3）復習式與方程的知識，發(fā)展解決問題的策略。

　　在這一節(jié)教材里，通過三個問題提取用字母表示數(shù)的經(jīng)驗，整理方程與等式的聯(lián)系和區(qū)別，回憶學過的等式性質(zhì)，這些都用舉例說明的方式進行。含有字母的式子不僅能表示周長、面積、體積的計算公式，能表示運算律，還能表示常用的數(shù)量關(guān)系。練習與實踐第1題用字母表示數(shù)量關(guān)系，是列方程解決實際問題的基礎(chǔ)，教學這道題要讓學生說說式子里的字母表示什么數(shù)量，式子表示什么數(shù)量，式子是根據(jù)什么數(shù)量關(guān)系寫的，以及用字母表示數(shù)應遵循的書寫規(guī)則。第2題要解釋解方程的過程，說說等式的兩邊同時加上或減去了幾、同時乘或除以了幾。列方程是解決實際問題的常用方法，列方程的思考和列算式不同，要利用題目中最主要的數(shù)量關(guān)系作為列方程的依據(jù)。

　　（4）復習正比例和反比例，把握變化著的現(xiàn)象里的不變特征。

　　復習比的知識抓住三點進行，一是舉實例說說什么是比，既要有兩個同類數(shù)量的比，也要有兩個不同類數(shù)量的比，使學生對比的含義有比較全面的理解。二是通過改寫a∶b，溝通比與分數(shù)、除法的關(guān)系，從除數(shù)不能是0體會分母、比的后項也不能是0。三是找出比的基本性質(zhì)、分數(shù)的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律之間的內(nèi)在聯(lián)系，完善認知結(jié)構(gòu)。

　　復習正比例和反比例，重點是它們的意義。再通過第7、8題的判斷，進一步鞏固正比例和反比例的概念。第9題復習正比例的圖像，其中汽車行駛的路程和耗油量是否成正比例，要利用圖像找出幾組相對應的數(shù)，組成比并求出比值，根據(jù)正比例的意義進行判斷。

　　2． “空間與圖形”領(lǐng)域。

　　“空間與圖形”領(lǐng)域的內(nèi)容分圖形的認識、測量、圖形與變換、圖形與位置三節(jié)編排復習。

　　（1）分層復習圖形知識，溝通平面圖形間的聯(lián)系。

　　復習圖形知識按“線—角—形”的`線索進行。

　　復習直線、射線和線段的特征，一方面要突出它們都是直的線，另一方面要清楚它們的區(qū)別在于有、無端點和有幾個端點。平行與相交，是同一平面內(nèi)兩條直線的常見位置關(guān)系。學生舉例說說同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，有可能只說出平行與垂直，也有可能說成平行、相交、垂直。如果出現(xiàn)這些情況，應適當予以糾正。

　　復習角的認識把這兩種認識結(jié)合起來，“圍繞角的頂點旋轉(zhuǎn)角的一條邊”要先出現(xiàn)角的圖形，指出它的頂點和兩條邊，然后使角的頂點和一條邊固定不動，另一條邊旋轉(zhuǎn)，讓學生體會角的大小發(fā)生了變化，從而理解角的大小是它兩條邊的叉開程度。復習角的分類可以分三步進行，第一步隨著活動角從小到大地變化依次回憶銳角、直角、鈍角、平角與周角。第二步分別說出直角、平角和周角的度數(shù)，整理這三類角的大小關(guān)系。第三步描述銳角和鈍角，突出鈍角大于90°、小于180°。

　　回憶三角形的知識時，出現(xiàn)了兩張集合圖。左邊的圖表示了三角形的分類，曾經(jīng)在四年級（下冊）出現(xiàn)過，可以利用這幅圖讓學生說說三角形是怎樣分類的，以及各類三角形的特征。右邊的圖第一次在教材中出現(xiàn)，表示等腰三角形是特殊的三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。教材還提出兩個討論題，在問題（1）里“任意兩邊的長度之和大于第三邊”是三角形的三邊關(guān)系，也是三條線段能夠圍成三角形的必備條件。要引導學生注意“任意”的含義，并應用到練習與實踐第8題的解答中去。提出問題（2）有兩個目的：一是進一步理解三角形的分類，在直角三角形和鈍角三角形里也都有兩個銳角；二是復習三角形內(nèi)角和180°，用內(nèi)角和的知識可以解釋一個三角形里最多有一個直角或一個鈍角。

　　整理四邊形的知識，設計了一張反映這些特殊四邊形的關(guān)系圖，從圖中可以看到，如果四邊形的兩組對邊分別平行就是平行四邊形；如果只有一組對邊平行就是梯形。如果平行四邊形的角都是直角就是長方形，如果長方形的長與寬相等就是正方形。學生說出各個圖形的名稱和特征并不難，要把教學精力放在理解圖形間的關(guān)系上，深入地認識四邊形。

　�。�2）復習平面圖形的周長、面積，突出概念和思想方法。

　　復習這些知識按“概念與計量單位—計算方法或公式—實際應用”的線索進行。

　　復習周長與面積的意義，以回憶和辨認為主要教學活動，讓學生說說對周長與面積的理解，可以聯(lián)系實例進行解釋。練習與實踐第5題分別比較方格紙上兩組圖形的周長與面積，進一步體會周長與面積是存在于封閉圖形上的兩個不同的概念。

　　復習長度單位和面積單位，讓每個學生都用學過的單位描述身邊的事物，在交流時就能整理出常用的長度單位千米、米、分米、厘米、毫米，整理出常用的面積單位平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方厘米。練習與實踐第2題以用紙折出1平方分米的正方形順帶復習其他面積單位的意義，通過1平方分米的正方形最多能分成幾個1平方厘米的正方形，復習相鄰單位間的進率。

　　復習長度單位和面積單位要重視兩點：一是讓學生選擇用手比畫、語言描述、實物演示等方法表達1個單位是多長或多大，如1米大約是多長，1平方米是多大；二是要整理并記住相鄰單位間的進率，下圖就是一種整理方式。

　　復習周長與面積計算公式的教學活動主要是回憶和整理。

　�。�3）整合立體圖形的知識，發(fā)展空間觀念。

　　立體圖形是六年級教學的，圓柱、圓錐還是本冊教材的新授內(nèi)容。因此，立體圖形的知識容易回憶，復習的目的不局限于回憶，還要整合知識，進一步精簡和優(yōu)化原有的認知結(jié)構(gòu)。首先理解“正方體是特殊的長方體”，體會正方體具有長方體的全部特征。接著從意義和算法兩個方面把長方體、正方體、圓柱的表面積聯(lián)系起來，體會它們的表面積是所有面的面積總和，都是側(cè)面積與兩個底面積的總和，而且側(cè)面積都可以通過“底面周長×高”計算。最后還用“底面積×高”概括長方體、正方體和圓柱的體積計算公式。通過這些整合，學生對立體圖形的認識能提升一個層次，不再孤立地理解、記憶各個立體圖形的表面積、體積的計算方法。

　　教材安排了許多有利于發(fā)展空間觀念的學習活動，有觀察幾何體，把從正面、上面、側(cè)面看到的圖形畫下來，或者根據(jù)給定的視圖想像和做出立體；把平面圖形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)，體會形成的立體；補充長方體的表面展開圖，設計正方體的表面展開圖；還要解答開放的實際問題。

　�。�4）在方格紙上畫圖形，復習圖形與變換的知識。

　　在圖形與變換這一節(jié)里，復習的內(nèi)容有軸對稱圖形、平移、旋轉(zhuǎn)以及圖形的放大與縮小等。

　　先回憶學過的圖形變換，整理成圖形位置變化和圖形大小變化兩類。理解平移、旋轉(zhuǎn)都是改變圖形位置的方法，不改變圖形的大��；圖形按比例放大、縮小，是改變圖形大小的方法，不改變圖形的形狀。這些都是關(guān)于圖形變換的基礎(chǔ)知識。軸對稱圖形是一類特殊的平面圖形，它的對稱軸的兩邊形狀、大小完全相同，而且沿對稱軸對折圖形，對稱軸的兩邊能完全重合。

　　練習與實踐讓學生在方格紙上畫圖形，進一步體會圖形的變換。其中第2題集中了小學階段教學的圖形變換的全部內(nèi)容，在前面的教學中進行過這些畫圖活動。第3題綜合應用平移與軸對稱兩個知識。圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的直線都可以看作圓的對稱軸。把圓與線段組合成軸對稱圖形，應著重思考線段的對稱軸的位置。第（3）個問題引導學生觀察畫成的軸對稱圖形和它的對稱軸，體會對稱軸通過圓心并和已知線段垂直，而且把這條線段平均分成兩段。第4題把圖形按比例縮小后，計算新圖形與原來圖形的面積的比，再次體會“按1∶2的比縮小”是把圖形每條邊的長度變成原來的1/2，這個比不是面積縮小的比，進一步理解圖形按比例放大或縮小的含義。

　�。�5）在確定位置的活動中，復習圖形與位置的知識。

　　確定位置的方法是逐漸教學的，先是聯(lián)系個體經(jīng)驗，用上、下、前、后、左、右描述位置；再是聯(lián)系生活常識，用東、南、西、北等八個方向詞描述位置；然后既要描述方向，又要描述距離，比較準確地描述位置。另外，還可以用數(shù)對表示位置。

　　復習圖形與位置，在具體情境中應用知識，進一步體會確定位置的常用方法。練習與實踐在第1題的問題（1）里復習方向知識，應先確定平面圖上的東、南、西、北，再確定東北、東南、西北、西南，動物園里任何兩個景點的位置關(guān)系都可以用這些方向詞描述。問題（2）用數(shù)對表示位置，要提醒學生遵照“橫排是行、豎排是列”的規(guī)定，先寫出各景點所在的列數(shù)，再寫所在的行數(shù)。如孔雀園在第6列第4行，表示它所在位置的數(shù)對是（6， 4）。第2題用方向和距離確定位置，要引導學生注意兩點：一是描述方向只能用北偏東（西）或南偏東（西）若干度，不能隨意改變說法；二是把比例尺1∶50000轉(zhuǎn)化成“圖上1厘米表示實際500米”，容易進行圖上距離與實際距離的相互換算。第3題描述行走路線，進一步掌握方向知識。一般應要求學生口述，不必以書面形式回答。如果要求學生寫出行走的方向與路線，應該用填空的形式。如從東園向（）偏（）（）°方向行到興民巷。另外，這題不宜要求學生說出從淮定橋到紅梅新村的行走方向。

　　3. “統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域。

　　復習統(tǒng)計與概率領(lǐng)域的知識，教材分統(tǒng)計、可能性兩節(jié)編排。

　�。�1）注重數(shù)據(jù)統(tǒng)計活動，突出收集、整理、描述與利用信息的過程。

　　新課程中，統(tǒng)計知識的教學觀念發(fā)生了很大變化，不再片面追求制作統(tǒng)計圖表的方法和技術(shù)，把描述信息、利用信息進行判斷與推理作為統(tǒng)計教學的重要內(nèi)容。

　　總復習堅持新的教學觀念，突出以下三點：

　　第一，回顧開展過的調(diào)查活動，積累收集、整理數(shù)據(jù)的經(jīng)驗。

　　第二，選擇合適的描述數(shù)據(jù)的方式，使數(shù)據(jù)內(nèi)容具有直觀性。第1題為兩組數(shù)據(jù)選擇合適的統(tǒng)計圖。第2題里的復式條形圖是以前沒有見過的，在這幅圖上能直接看到各興趣小組的總?cè)藬?shù)，但了解各組的女生人數(shù)不如以前的條形統(tǒng)計圖方便。編排這道題不僅展示了復式條形統(tǒng)計圖的又一種形式，更能讓學生感受不同形式的統(tǒng)計圖各有特點，也各有不足。

　　第三，利用數(shù)據(jù)進行分析、判斷、估計，發(fā)展統(tǒng)計觀念。第5題的第（2）、（3）兩個問題，要利用統(tǒng)計圖里的數(shù)據(jù)進行計算。通過這些習題的教學，讓學生體會提出問題和回答問題是數(shù)據(jù)分析活動，通過數(shù)據(jù)分析還能獲得新的數(shù)據(jù)，從而對事情了解得更多、更清楚。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是統(tǒng)計量，經(jīng)常用于數(shù)據(jù)分析。由于中位數(shù)、眾數(shù)在本冊教材里剛教過，所以結(jié)合應用進行復習，復習的重點是正確選用統(tǒng)計量反映一組數(shù)據(jù)的基本情況。第6題的男生中有2人的體重超過50千克，比其他人重得多，反映這組男生體重的一般情況用中位數(shù)較合適。女生的體重都比較接近，沒有過重或過輕的，平均數(shù)和中位數(shù)都能反映這組女生的體重狀況。

　　（2）描述事件發(fā)生的可能性，進行合理的推斷和預測。

　　可能性的教學聯(lián)系生活實際，從最簡單的現(xiàn)象開始，逐步深入。二年級初步接觸隨機事件，三年級體會事件發(fā)生的可能性有大、有小或相等，四年級結(jié)合游戲中的可能性體會規(guī)則的公平性，六年級用分數(shù)（百分數(shù)）刻畫事件發(fā)生的可能性有多大。本節(jié)教材復習可能性知識，有三個特點。

　　第一，通過三個討論題，分兩步回憶學過的內(nèi)容�！芭e例說明事件發(fā)生的可能性”是對已學內(nèi)容的一般性回憶，可以聯(lián)系各個年級的內(nèi)容和活動作具體的解釋。通過回憶進一步體會有些事情是確定的，有些是不確定的，可能性描述的是不確定事件的發(fā)生情況。舉出用分數(shù)表示可能性的大小和游戲規(guī)則公平的實例，能激活可能性相等或不相等的經(jīng)驗，體會描述可能性的方式是多樣而靈活的，分數(shù)（百分數(shù)）能定量地表達可能性的大小。有層次地回憶知識，形成了關(guān)于可能性的認知結(jié)構(gòu)。

　　第二，編排五個實際問題，分層次地應用可能性的知識。練習與實踐里的習題分三個層次設計，第1~3題用詞語或百分數(shù)描述可能性，是最基礎(chǔ)的知識。第4題識別游戲規(guī)則是否公平，應用可能性的知識。第5題用分數(shù)刻畫可能性，提高表達和應用可能性的能力。三個層次與前幾年教學可能性的線索一致，體現(xiàn)了由簡單到稍復雜，認知與應用相結(jié)合的過程。

　　第三，讓學生溫故知新，主動地復習。練習與實踐選用學生熟悉而喜歡的素材創(chuàng)設隨機事件的情境，能調(diào)用已有的知識經(jīng)驗，通過主動解決實際問題，深入領(lǐng)會可能性。第1、2題用形象的詞語描述轉(zhuǎn)盤、摸球時的可能性，要先體會“經(jīng)�！薄芭紶枴钡木唧w含義，再與“可能性很大”“可能性較小”建立對應聯(lián)系，把生活經(jīng)驗與直覺感受提升成數(shù)學思維。第3題首次用百分數(shù)表示概率，在理解這個百分數(shù)意義的基礎(chǔ)上，分析明天下雨的可能性，體會“降雨概率80%”表示下雨的可能性很大。第4題用可能性的知識分析游戲規(guī)則，體會公平的游戲規(guī)則，各種情況發(fā)生的可能性相等。第5題先求出摸到紅桃的可能性是1/4，復習用分數(shù)表示可能性的思路。摸到其他花色的可能性，可以像摸到紅桃那樣分別計算，也可以把摸到紅桃的可能性1/4向其他花色推理。對不同的方法進行交流與解釋，能進一步體驗可能性相等。摸到“紅桃A”的可能性與摸到“A”的可能性是否相同，可以分別計算以后比較，也可以利用12張牌里“紅桃A”的張數(shù)與“A”的張數(shù)進行分析與推理，進一步體驗可能性不相等。