奧數(shù)數(shù)論問題之余數(shù)問題
1.數(shù)11…1(2007個(gè)1),被13除余多少
分析:根據(jù)整除性質(zhì)知:13能整除111111,而2007÷6后余3,所以答案為7.
2.求下列各式的余數(shù):
(1)2461×135×6047÷11(2)2123÷6
分析:(1)5;(2)6443÷19=339……2,212=4096,4096÷19余11,所以余數(shù)是11.
3.1013除以一個(gè)兩位數(shù),余數(shù)是12.求出符合條件的所有的兩位數(shù).
分析:1013-12=1001,1001=7×11×13,那么符合條件的所有的兩位數(shù)有13,77,91有的同學(xué)可能會粗心的認(rèn)為11也是.11小于12,所以不行.大家做題時(shí)要仔細(xì)認(rèn)真.
4.學(xué)校新買來118個(gè)乒乓球,67個(gè)乒乓球拍和33個(gè)乒乓球網(wǎng),如果將這三種物品平分給每個(gè)班級,那么這三種物品剩下的數(shù)量相同.請問學(xué)校共有多少個(gè)班
分析:所求班級數(shù)是除以118,67,33余數(shù)相同的數(shù).那么可知該數(shù)應(yīng)該為118-67=51和67-33=34的公約數(shù),所求答案為17.
5.有一個(gè)大于1的整數(shù),除45,59,101所得的余數(shù)相同,求這個(gè)數(shù).
分析:這個(gè)題沒有告訴我們,這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少,但是由于所得的余數(shù)相同,根據(jù)性質(zhì)2,我們可以得到:這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差,也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).
101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的約數(shù)有1,2,7,14,所以這個(gè)數(shù)可能為2,7,14.
6.求下列各式的余數(shù):
(1)2461×135×6047÷11
(2)2123÷6
分析:(1)5;(2)找規(guī)律,2的n次方被6除的余數(shù)依次是(n=1,2,3,4……):2,4,2,4,2,4……
因?yàn)橐蟮氖?的123次方是奇數(shù),所以被6除的余數(shù)是2.
7.(小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽)有蘋果,桔子各一筐,蘋果有240個(gè),桔子有313個(gè),把這兩筐水果分給一些小朋友,已知蘋果等分到最后余2個(gè)不夠分,桔子分到最后還余7個(gè)桔子不夠再分,求最多有多少個(gè)小朋友參加分水果
分析:此題是一道求除數(shù)的問題.原題就是說,已知一個(gè)數(shù)除240余2,除313余7,求這個(gè)數(shù)最大為多少,我們可以根據(jù)帶余除法的性質(zhì)把它轉(zhuǎn)化成整除的情況,從而使問題簡化,因?yàn)?40被這個(gè)數(shù)除余2,意味著240-2=238恰被這個(gè)數(shù)整除,而313被這個(gè)數(shù)除余7,意味著這313—7=306恰為這個(gè)數(shù)的倍數(shù),我們只需求238和306的最大公約數(shù)便可求出小朋友最多有多少個(gè)了.240—2=238(個(gè)),313—7=306(個(gè)),(238,306)=34(人).
8.(第十三屆迎春杯決賽)已知一個(gè)兩位數(shù)除1477,余數(shù)是49.那么,滿足那樣條件的所有兩位數(shù)是.
分析:1477-49=1428是這兩位數(shù)的倍數(shù),又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的兩位數(shù)51或68或84.
9.有一個(gè)大于1的'整數(shù),除45,59,101所得的余數(shù)相同,求這個(gè)數(shù).
分析:這個(gè)題沒有告訴我們,這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少,但是由于所得的余數(shù)相同,根據(jù)性質(zhì)2,我們可以得到:這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差,也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).
101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的約數(shù)有1,2,7,14,所以這個(gè)數(shù)可能為2,7,14.
10.已知三個(gè)數(shù)127,99和一個(gè)小于30的兩位數(shù)a除以一個(gè)一位數(shù)b的余數(shù)都是3,求a和b的值.
分析:127-3=124,99-3=96,則b是124和96的公約數(shù).而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.
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