關(guān)于上山下山行程問題的六年級數(shù)學(xué)題
所謂上山、下山的行程問題區(qū)別于通常的行程問題之處就在于在整個(gè)行程過程中速度會發(fā)生變化。下面通過幾個(gè)問題介紹此類問題的解決思路。
問題 從甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一輛汽車上坡速度為每小時(shí)20千米，下坡速度為每小時(shí)35千米。車從甲地到乙地共用9小時(shí)，從乙地返回到甲地共用7.5小時(shí)。求去時(shí)上坡路和下坡路分別為多少千米？
先畫出如右圖形：圖中a表示甲地，c表示乙地。從a到b是上坡路，從b到c是下坡路；反過來，從c到b就是上坡路，從b到a是下坡路。
由于從甲地到乙地用9小時(shí)，反過來從乙地到甲地用7.5小時(shí)，這說明從a到b的距離大于從b到c的距離。本題的難點(diǎn)在于上下坡不僅速度不同，而且距離不同，因此自然的思路是設(shè)法把上下坡的距離變不同為相同。
在從a到b的路程中取一個(gè)點(diǎn)d，使得從d到b的距離等于從b到c的距離，這樣a到d的距離就是ab距離比bc距離多出來的部分。
下面我們分析為什么去時(shí)比回來時(shí)間會多用了：9-7.5＝1.5（時(shí)）
從圖中容易看出就是因?yàn)槿r(shí)從a到d是上坡，而回來時(shí)從d到a變成了下坡，其它路途所用的`總時(shí)間是一樣的。
現(xiàn)在的問題是ad這段路程中速度由每小時(shí)20千米改為35千米，則時(shí)間少用1.5小時(shí)，由此可以求出什么？
如果設(shè)速度為每小時(shí)20千米所用時(shí)間為單位1，那么速度為每小時(shí)35千米所用時(shí)間為：
由此就可以求出ad之間的距離為：
203.5＝70（千米）
或 352＝70（千米）
還可以求出從d到c和從c到d所用時(shí)間均為：9－3.5＝5.5（時(shí)）
或 7.5－2＝5.5（時(shí)）
至此我們已經(jīng)完成了將上下坡的距離變?yōu)橄嗤哪康牧恕Ｈ绻O(shè)從d到
上坡所用時(shí)間為：
所以去時(shí)上坡的總路程就是：
70+203.5=140（千米）
下坡總路程是：352=70（千米）
上面所用方法實(shí)質(zhì)上是通過截長變短把上下坡的距離變不同為相同，而實(shí)現(xiàn)這一目的還可以通過補(bǔ)的方法。
將返回的路程補(bǔ)在去時(shí)路程的后面，畫出右圖：
這時(shí)全程去與回所用的時(shí)間都是：
9＋7.5＝16.5（時(shí)）
而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原來上下坡距離之和。設(shè)
所以原來上下坡距離之和就是：
2010.5=210（千米）
或 356＝210（千米）
下面采用解決雞兔同籠問題的方法，假設(shè)原來從a到c速度不變，都是每小時(shí)35千米，這樣9小時(shí)所行路程應(yīng)該為：
359＝180（千米）
比實(shí)際距離少行了：
210－180＝30（千米）
就是因?yàn)閺腷到c的下坡速度每小時(shí)20千米變成了35千米，因此從b到c的時(shí)間為：
30（35－20）＝2（時(shí)）
從a到b上坡的時(shí)間為：9－2=7（時(shí)）
由此上下坡的距離就不難求出了。
這個(gè)解法的思路是通過補(bǔ)，不僅使得上下坡距離相等，而且使得往返所用的時(shí)間相等。
解決本題的兩個(gè)方法說明，在變不同為相同這個(gè)基本思想的指導(dǎo)下，手段可以是多種多樣的。
下面再看一道類似的問題。
問題 如右圖，從a到b是下坡路，從b到c是平路，從c到d是上坡路。小張和小王步行速度分別都是：上坡每小時(shí)4千米，平路每小時(shí)5千米，下坡每小時(shí)6千米。二人分別從a、d兩點(diǎn)同時(shí)
王到達(dá)a后9分鐘，小張到達(dá)d。求從a到d的全程距離。
首先發(fā)現(xiàn)二人平路上行走的距離相同，小張比小王多用9分鐘的原因就是cd距離大于ab距離。
我們仿照上題思路，在cd上取一點(diǎn)f，使得cf距離等于ab距離，并畫出如右圖形：設(shè)從d到f下坡所用時(shí)間為1，則從f到d上坡所用時(shí)間為：
到f所用時(shí)間18分鐘，因此可以求出平路的距離為：
以上兩個(gè)問題的共同之處在于將上下坡的不同距離變?yōu)橄嗤�，完成這種變化的基礎(chǔ)問題是：已知同一段路程的兩個(gè)不同速度和相差的時(shí)間，如何求出這段行程的時(shí)間和路程。
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