江蘇省連云港市2018年中考數(shù)學(xué)模擬試題及答案
模擬試題是考試前的前瞻,能幫助我們認(rèn)清楚考試的具體內(nèi)容、形式和時(shí)間,可以說(shuō)是十分重要的。以下是百分網(wǎng)小編給你帶來(lái)的最新模擬試題,希望能幫到你哈。
江蘇省連云港市2018年中考數(shù)學(xué)模擬試題
一、選擇題(本大題共有8小題,每小題3分,共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.)
1.有理數(shù)﹣1,﹣2,0,3中,最小的數(shù)是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.0 D.3
【分析】先求出|﹣1|=1,|﹣2|=2,根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值越大,這個(gè)數(shù)就越小得到﹣2<﹣1,而0大于任何負(fù)數(shù),小于任何正數(shù),則有理數(shù)﹣1,﹣2,0,3的大小關(guān)系為﹣2<﹣1<0<3.
【解答】解:∵|﹣1|=1,|﹣2|=2,
∴﹣2<﹣1,
∴有理數(shù)﹣1,﹣2,0,3的大小關(guān)系為﹣2<﹣1<0<3.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的大小比較:0大于任何負(fù)數(shù),小于任何正數(shù);負(fù)數(shù)的絕對(duì)值越大,這個(gè)數(shù)就越小.
2.據(jù)市統(tǒng)計(jì)局調(diào)查數(shù)據(jù)顯示,我市目前常住人口約為4470000人,數(shù)據(jù)“4470000”用科學(xué)記數(shù)法可表示為( )
A.4.47×106 B.4.47×107 C.0.447×107 D.447×104
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).
【解答】解:數(shù)據(jù)“4470000”用科學(xué)記數(shù)法可表示為4.47×106.
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.
3.如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖,把展開(kāi)圖折疊成正方體后,“美”字一面相對(duì)面是的字是( )
A.麗 B.連 C.云 D.港
【分析】正方體的平面展開(kāi)圖中,相對(duì)面的特點(diǎn)是必須相隔一個(gè)正方形,據(jù)此作答.
【解答】解:正方體的表面展開(kāi)圖,相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形,
“美”與“港”是相對(duì)面,
“麗”與“連”是相對(duì)面,
“的”與“云”是相對(duì)面.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字,注意正方體的空間圖形,從相對(duì)面入手,分析及解答問(wèn)題.
4.計(jì)算:5x﹣3x=( )
A.2x B.2x2 C.﹣2x D.﹣2
【分析】原式合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到結(jié)果.
【解答】解:原式=(5﹣3)x=2x,
故選A
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了合并同類(lèi)項(xiàng),熟練掌握合并同類(lèi)項(xiàng)法則是解本題的關(guān)鍵.
5.若分式 的值為0,則( )
A.x=﹣2 B.x=0 C.x=1 D.x=1或﹣2
【分析】根據(jù)分式的值為0的條件列出關(guān)于x的不等式組,求出x的值即可.
【解答】解:∵分式 的值為0,
∴ ,解得x=1.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的值為0的條件,即分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零,根據(jù)此條件列出關(guān)于x的不等式組是解答此題的關(guān)鍵.
6.姜老師給出一個(gè)函數(shù)表達(dá)式,甲、乙、丙三位同學(xué)分別正確指出了這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì).甲:函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一象限;乙:函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第三象限;丙:在每一個(gè)象限內(nèi),y值隨x值的增大而減小.根據(jù)他們的描述,姜老師給出的這個(gè)函數(shù)表達(dá)式可能是( )
A.y=3x B. C. D.y=x2
【分析】可以分別寫(xiě)出選項(xiàng)中各個(gè)函數(shù)圖象的特點(diǎn),與題目描述相符的即為正確的,不符的就是錯(cuò)誤的,本題得以解決.
【解答】解:y=3x的圖象經(jīng)過(guò)一三象限過(guò)原點(diǎn)的直線,y隨x的增大而增大,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
的圖象在一、三象限,在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小,故選項(xiàng)B正確;
的圖象在二、四象限,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
y=x2的圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)開(kāi)口向上的拋物線,在一、二象限,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、正比例函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是明確它們各自圖象的特點(diǎn)和性質(zhì).
7.如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形,面積分別為S1、S2、S3;如圖2,分別以直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,三邊長(zhǎng)為半徑向外作圓心角相等的扇形,面積分別為S4、S5、S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,則S3+S4=( )
A.86 B.64 C.54 D.48
【分析】分別用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3,然后根據(jù)AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的關(guān)系.同理,得出S4、S5、S6的關(guān)系.
【解答】解:如圖1,S1= AC2,S2= BC2,S3= AB2.
∵AB2=AC2+BC2,
∴S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3,
如圖2,S4=S5+S6,
∴S3+S4=16+45+11+14=86.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì).勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.
8.如圖,在網(wǎng)格中(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位)選取9個(gè)格點(diǎn)(格線的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)).如果以A為圓心,r為半徑畫(huà)圓,選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi),則r的取值范圍為( )
A.2
【分析】如圖求出AD、AB、AE、AF即可解決問(wèn)題.
【解答】解:如圖,∵AD=2 ,AE=AF= ,AB=3 ,
∴AB>AE>AD,
∴
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)由圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形,理解題意,屬于中考?碱}型.
二、填空題(本大題共有8小題,每小題3分,共24分.不需要寫(xiě)出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.)
9.化簡(jiǎn): ═ 2 .
【分析】直接利用立方根的定義即可求解.
【解答】解:∵23=8
∴ =2.
故填2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查立方根的概念,如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,那么x是a的立方根.
10.分解因式:x2﹣36= (x+6)(x﹣6) .
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=(x+6)(x﹣6),
故答案為:(x+6)(x﹣6)
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法,熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.
11.在新年晚會(huì)的投飛鏢游戲環(huán)節(jié)中,7名同學(xué)的投擲成績(jī)(單位:環(huán))分別是:7,9,9,4,9,8,8,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 9 .
【分析】直接利用眾數(shù)的定義得出答案.
【解答】解:∵7,9,9,4,9,8,8,中9出現(xiàn)的次數(shù)最多,
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是:9.
故答案為:9.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了眾數(shù)的定義,正確把握定義是解題關(guān)鍵.
12.如圖,直線AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=54°,則∠2= 72° .
【分析】由AB∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)找出∠ABC=∠1,由BC平分∠ABD,根據(jù)角平分線的定義即可得出∠CBD=∠ABC,再結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°以及對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵AB∥CD,∠1=54°,
∴∠ABC=∠1=54°,
又∵BC平分∠ABD,
∴∠CBD=∠ABC=54°.
∵∠CBD+∠BDC=∠DCB=180°,∠1=∠DCB,∠2=∠BDC,
∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°.
故答案為:72°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理,解題的關(guān)鍵是找出各角的關(guān)系.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時(shí),根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等(或互補(bǔ))的角是關(guān)鍵.
13.已知關(guān)于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一個(gè)根是0,則a= .
【分析】方程的解就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,把x=0代入方程,即可得到一個(gè)關(guān)于a的方程,即可求得a的值.
【解答】解:根據(jù)題意得:0+0+2a﹣1=0
解得a= .
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根一定滿足該方程的解析式.
14.如圖,正十二邊形A1A2…A12,連接A3A7,A7A10,則∠A3A7A10= 75° .
【分析】如圖,作輔助線,首先證得 = ⊙O的周長(zhǎng),進(jìn)而求得∠A3OA10= =150°,運(yùn)用圓周角定理問(wèn)題即可解決.
【解答】解:設(shè)該正十二邊形的圓心為O,如圖,連接A10O和A3O,
由題意知, = ⊙O的周長(zhǎng),
∴∠A3OA10= =150°,
∴∠A3A7A10=75°,
故答案為:75°.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形及其外接圓的性質(zhì)及圓周角定理,作出恰當(dāng)?shù)妮o助線,靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析是解答此題的.關(guān)鍵.
15.如圖1,將正方形紙片ABCD對(duì)折,使AB與CD重合,折痕為EF.如圖2,展開(kāi)后再折疊一次,使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,折痕為GH,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,EM交AB于N.若AD=2,則MN= .
【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,DH=x,表示出CH,再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)表示出DE、EH,然后利用勾股定理列出方程求出x,再根據(jù)相似三角形的判定性質(zhì),可得NE的長(zhǎng),根據(jù)線段的和差,可得答案.
【解答】解:設(shè)DH=x,CH=2﹣x,
由翻折的性質(zhì),DE=1,
EH=CH=2﹣x,
在Rt△DEH中,DE2+DH2=EH2,
即12+x2=(2﹣x)2,
解得x= ,EH=2﹣x= .
∵∠MEH=∠C=90°,
∴∠AEN+∠DEH=90°,
∵∠ANE+∠AEN=90°,
∴∠ANE=∠DEH,
又∠A=∠D,
∴△ANE∽△DEH,
= ,即 = ,
解得EN= ,
MN=ME﹣BC=2﹣ = ,
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,銳角三角函數(shù),設(shè)出DH的長(zhǎng),然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
16.如圖,⊙P的半徑為5,A、B是圓上任意兩點(diǎn),且AB=6,以AB為邊作正方形ABCD(點(diǎn)D、P在直線AB兩側(cè)).若AB邊繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周,則CD邊掃過(guò)的面積為 9π .
【分析】連接PA、PD,過(guò)點(diǎn)P作PE垂直AB于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F,根據(jù)垂徑定理可得出AE=BE= AB,利用勾股定理即可求出PE的長(zhǎng)度,再根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得出EF=BC=AB,DF=AE,再通過(guò)勾股定理即可求出線段PD的長(zhǎng)度,根據(jù)邊與邊的關(guān)系可找出PF的長(zhǎng)度,分析AB旋轉(zhuǎn)的過(guò)程可知CD邊掃過(guò)的區(qū)域?yàn)橐訮F為內(nèi)圓半徑、以PD為外圓半徑的圓環(huán),根據(jù)圓環(huán)的面積公式即可得出結(jié)論.
【解答】解:連接PA、PD,過(guò)點(diǎn)P作PE垂直AB于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F,如圖所示.
∵AB是⊙P上一弦,且PE⊥AB,
∴AE=BE= AB=3.
在Rt△AEP中,AE=3,PA=5,∠AEP=90°,
∴PE= =4.
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB∥CD,AB=BC=6,
又∵PE⊥AB,
∴PF⊥CD,
∴EF=BC=6,DF=AE=3,PF=PE+EF=4+6=10.
在Rt△PFD中,PF=10,DF=3,∠PFE=90°,
∴PD= = .
∵若AB邊繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周,則CD邊掃過(guò)的圖形為以PF為內(nèi)圓半徑、以PD為外圓半徑的圓環(huán).
∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π.
故答案為:9π.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及圓環(huán)的面積公式,解題的關(guān)鍵是分析出CD邊掃過(guò)的區(qū)域的形狀.本題屬于中檔題,難度不大,但稍顯繁瑣,解決該題型題目時(shí),結(jié)合AB邊的旋轉(zhuǎn),找出CD邊旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域的形狀是關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共11小題,共102分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17.計(jì)算:(﹣1)2016﹣(2﹣ )0+ .
【分析】原式利用乘方的意義,零指數(shù)冪法則,以及算術(shù)平方根定義計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答】解:原式=1﹣1+5
=5.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
18.解方程: .
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:2+2x﹣x=0,
解得:x=﹣2,
經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣2是分式方程的解.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程,利用了轉(zhuǎn)化的思想,解分式方程時(shí)注意要檢驗(yàn).
19.解不等式 ,并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái).
【分析】先去分母、再去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1即可求出此不等式的解集,再在數(shù)軸上表示出其解集即可.
【解答】解:去分母,得:1+x<3x﹣3,
移項(xiàng),得:x﹣3x<﹣3﹣1,
合并同類(lèi)項(xiàng),得:﹣2x<﹣4,
系數(shù)化為1,得:x>2,
將解集表示在數(shù)軸上如圖:
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式,在數(shù)軸上表示不等式的解集的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是能正確求出不等式的解集.
20.某自行車(chē)公司調(diào)查陽(yáng)光中學(xué)學(xué)生對(duì)其產(chǎn)品的了解情況,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷,結(jié)果分“非常了解”、“比較了解”、“一般了解”、“不了解”四種類(lèi)型,分別記為A、B、C、D.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)本次問(wèn)卷共隨機(jī)調(diào)查了 50 名學(xué)生,扇形統(tǒng)計(jì)圖中m= 32 .
(2)請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)若該校有1000名學(xué)生,估計(jì)選擇“非常了解”、“比較了解”共約有多少人?
【分析】(1)由A的數(shù)據(jù)即可得出調(diào)查的人數(shù),得出m= ×100%=32%;
(2)求出C的人數(shù)即可;
(3)由1000×(16%+40%),計(jì)算即可.
【解答】解:(1)8÷16%=50(人),m= ×100%=32%
故答案為:50,32;
(2)50×40%=20(人),
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示:
(3)1000×(16%+40%)=560(人);
答:估計(jì)選擇“非常了解”、“比較了解”共約有560人.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用,讀懂統(tǒng)計(jì)圖,從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù);扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小.也考查了用樣本估計(jì)總體的思想.
21.甲、乙兩校分別有一男一女共4名教師報(bào)名到農(nóng)村中學(xué)支教.
(1)若從甲、乙兩校報(bào)名的教師中分別隨機(jī)選1名,則所選的2名教師性別相同的概率是 .
(2)若從報(bào)名的4名教師中隨機(jī)選2名,用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出這2名教師來(lái)自同一所學(xué)校的概率.
【分析】(1)根據(jù)甲、乙兩校分別有一男一女,列出樹(shù)狀圖,得出所有情況,再根據(jù)概率公式即可得出答案;
(2)根據(jù)題意先畫(huà)出樹(shù)狀圖,得出所有情況數(shù),再根據(jù)概率公式即可得出答案.
【解答】解:(1)根據(jù)題意畫(huà)圖如下:
共有4種情況,其中所選的2名教師性別相同的有2種,
則所選的2名教師性別相同的概率是 = ;
故答案為: ;
(2)將甲、乙兩校報(bào)名的教師分別記為甲1、甲2、乙1、乙2(注:1表示男教師,2表示女教師),樹(shù)狀圖如圖所示:
所以P(兩名教師來(lái)自同一所學(xué)校)= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法和樹(shù)狀圖法,注意結(jié)合題意中“寫(xiě)出所有可能的結(jié)果”的要求,使用列舉法,注意按一定的順序列舉,做到不重不漏.
22.四邊形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E、F.
(1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)若AC與BD相交于點(diǎn)O,求證:AO=CO.
【分析】(1)根據(jù)已知條件得到BF=DE,由垂直的定義得到∠AED=∠CFB=90°,根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)如圖,連接AC交BD于O,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠CBF,由平行線的判定得到AD∥BC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】證明:(1)∵BE=DF,
∴BE﹣EF=DF﹣EF,
即BF=DE,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°,
在Rt△ADE與Rt△CBF中, ,
∴Rt△ADE≌Rt△CBF;
(2)如圖,連接AC交BD于O,
∵Rt△ADE≌Rt△CBF,
∴∠ADE=∠CBF,
∴AD∥BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AO=CO.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
23.某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩(shī):我問(wèn)開(kāi)店李三公,眾客都來(lái)到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.詩(shī)中后兩句的意思是:如果每一間客房住7人,那么有7人無(wú)房可住;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.
(1)求該店有客房多少間?房客多少人?
(2)假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后,房間數(shù)大大增加.每間客房收費(fèi)20錢(qián),且每間客房最多入住4人,一次性定客房18間以上(含18間),房費(fèi)按8折優(yōu)惠.若詩(shī)中“眾客”再次一起入住,他們?nèi)绾斡喎扛纤?
【分析】(1)設(shè)該店有客房x間,房客y人;根據(jù)題意得出方程組,解方程組即可;
(2)根據(jù)題意計(jì)算:若每間客房住4人,則63名客人至少需客房16間,求出所需付費(fèi);若一次性定客房18間,求出所需付費(fèi),進(jìn)行比較,即可得出結(jié)論.
【解答】解:(1)設(shè)該店有客房x間,房客y人;
根據(jù)題意得: ,
解得: .
答:該店有客房8間,房客63人;
(2)若每間客房住4人,則63名客人至少需客房16間,需付費(fèi)20×16=320錢(qián);
若一次性定客房18間,則需付費(fèi)20×18×0.8=288千<320錢(qián);
答:詩(shī)中“眾客”再次一起入住,他們應(yīng)選擇一次性訂房18間更合算.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用;根據(jù)題意得出方程組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
24.環(huán)保局對(duì)某企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測(cè),結(jié)果顯示:所排污水中硫化物的濃度超標(biāo),即硫化物的濃度超過(guò)最高允許的1.0mg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改,在15天以內(nèi)(含15天)排污達(dá)標(biāo).整改過(guò)程中,所排污水中硫化物的濃度y(mg/L)與時(shí)間x(天)的變化規(guī)律如圖所示,其中線段AB表示前3天的變化規(guī)律,從第3天起,所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系.
(1)求整改過(guò)程中硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度,能否在15天以內(nèi)不超過(guò)最高允許的1.0mg/L?為什么?
【分析】(1)分情況討論:①當(dāng)0≤x≤3時(shí),設(shè)線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b;把A(0,0),B(3,4)代入得出方程組,解方程組即可;②當(dāng)x>3時(shí),設(shè)y= ,把(3,4)代入求出m的值即可;
(2)令y= =1,得出x=12<15,即可得出結(jié)論.
【解答】解:(1)分情況討論:
、佼(dāng)0≤x≤3時(shí),
設(shè)線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b;
把A(0,0),B(3,4)代入得 ,
解得: ,
∴y=﹣2x+10;
②當(dāng)x>3時(shí),設(shè)y= ,
把(3,4)代入得:m=3×4=12,
∴y= ;
綜上所述:當(dāng)0≤x≤3時(shí),y=﹣2x+10;當(dāng)x>3時(shí),y= ;
(2)能;理由如下:
令y= =1,則x=12<15,
故能在15天以內(nèi)不超過(guò)最高允許的1.0mg/L.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了揚(yáng)州市的應(yīng)用、反比例函數(shù)的應(yīng)用;根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
25.如圖,在△ABC中,∠C=150°,AC=4,tanB= .
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)利用此圖形求tan15°的值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù): =1.4, =1.7, =2.2)
【分析】(1)過(guò)A作AD⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,由含30°的直角三角形性質(zhì)得AD= AC=2,由三角函數(shù)求出CD=2 ,在Rt△ABD中,由三角函數(shù)求出BD=16,即可得出結(jié)果;
(2)在BC邊上取一點(diǎn)M,使得CM=AC,連接AM,求出∠AMC=∠MAC=15°,tan15°=tan∠AMD= 即可得出結(jié)果.
【解答】解:(1)過(guò)A作AD⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,如圖1所示:
在Rt△ADC中,AC=4,
∵∠C=150°,
∴∠ACD=30°,
∴AD= AC=2,
CD=ACcos30°=4× =2 ,
在Rt△ABD中,tanB= = = ,
∴BD=16,
∴BC=BD﹣CD=16﹣2 ;
(2)在BC邊上取一點(diǎn)M,使得CM=AC,連接AM,如圖2所示:
∵∠ACB=150°,
∴∠AMC=∠MAC=15°,
tan15°=tan∠AMD= = = ≈ ≈0.27≈0.3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)、含30°的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí);熟練掌握三角函數(shù)運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
26.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(﹣1,1),B(2,2).過(guò)點(diǎn)B作BC∥x軸,交拋物線于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D.
(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若拋物線上存在點(diǎn)M,使得△BCM的面積為 ,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)連接OA、OB、OC、AC,在坐標(biāo)平面內(nèi),求使得△AOC與△OBN相似(邊OA與邊OB對(duì)應(yīng))的點(diǎn)N的坐標(biāo).
【分析】(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣ x,由于BC∥x軸,設(shè)C(x0,2).于是得到方程 x02﹣ x0=2,即可得到結(jié)論;
(2)設(shè)△BCM邊BC上的高為h,根據(jù)已知條件得到h=2,點(diǎn)M即為拋物線上到BC的距離為2的點(diǎn),于是得到M的縱坐標(biāo)為0或4,令y= x2﹣ x=0,或令y= x2﹣ x=4,解方程即可得到結(jié)論;
(3)解直角三角形得到OB=2 ,OA= ,OC= ,∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD= ①如圖1,當(dāng)△AOC∽△BON時(shí),求得ON=2OC=5,過(guò)N作NE⊥x軸于E,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到OE=4,NE=3,于是得到結(jié)果;②如圖2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BN=2OC=5,過(guò)B作BG⊥x軸于G,過(guò)N作x軸的平行線交BG的延長(zhǎng)線于F解直角三角形得到BF=4,NF=3于是得到結(jié)論.
【解答】解:(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx得: ,解得 ,
故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣ x,
∵BC∥x軸,
設(shè)C(x0,2).
∴ x02﹣ x0=2,解得:x0=﹣ 或x0=2,
∵x0<0,
∴C(﹣ ,2);
(2)設(shè)△BCM邊BC上的高為h,
∵BC= ,
∴S△BCM= h= ,
∴h=2,點(diǎn)M即為拋物線上到BC的距離為2的點(diǎn),
∴M的縱坐標(biāo)為0或4,令y= x2﹣ x=0,
解得:x1=0,x2= ,
∴M1(0,0),M2( ,0),令y= x2﹣ x=4,
解得:x3= ,x4=
,∴M3( ,0),M4( ,4),
綜上所述:M點(diǎn)的坐標(biāo)為:(0,0),( ,0),( ,0),( ,4);
(3)∵A(﹣1,1),B(2,2),C(﹣ ,2),D(0,2),
∴OB=2 ,OA= ,OC= ,
∴∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD= ,
①如圖1,當(dāng)△AOC∽△BON時(shí), ,∠AOC=∠BON,
∴ON=2OC=5,
過(guò)N作NE⊥x軸于E,
∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE,
在Rt△NOE中,tan∠NOE=tan∠COD= ,
∴OE=4,NE=3,
∴N(4,3)同理可得N(3,4);
、谌鐖D2,當(dāng)△AOC∽△OBN時(shí), ,∠AOC=∠OBN,
∴BN=2OC=5,
過(guò)B作BG⊥x軸于G,過(guò)N作x軸的平行線交BG的延長(zhǎng)線于F,
∴NF⊥BF,
∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF,
∴tan∠NBF=tan∠COD= ,
∴BF=4,NF=3,
∴N(﹣1,﹣2),同理N(﹣2,﹣1),
綜上所述:使得△AOC與△OBN相似(邊OA與邊OB對(duì)應(yīng))的點(diǎn)N的坐標(biāo)是(4,3),(3,4),(﹣1,﹣2),(﹣2,﹣1).
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用,難度較大,解答本題需要同學(xué)們熟練掌握二次函數(shù)和相似三角形的相關(guān)性質(zhì).
27.我們知道:光反射時(shí),反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi),反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè),反射角等于入射角.如右圖,AO為入射光線,入射點(diǎn)為O,ON為法線(過(guò)入射點(diǎn)O且垂直于鏡面的直線),OB為反射光線,此時(shí)反射角∠BON等于入射角∠AON.
問(wèn)題思考:
(1)如圖1,一束光線從點(diǎn)A處入射到平面鏡上,反射后恰好過(guò)點(diǎn)B,請(qǐng)?jiān)趫D中確定平面鏡上的入射點(diǎn)P,保留作圖痕跡,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)如圖2,兩平面鏡OM、ON相交于點(diǎn)O,且OM⊥ON,一束光線從點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)過(guò)平面鏡反射后,恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.小昕說(shuō),光線可以只經(jīng)過(guò)平面鏡OM反射后過(guò)點(diǎn)B,也可以只經(jīng)過(guò)平面鏡ON反射后過(guò)點(diǎn)B.除了小昕的兩種做法外,你還有其它做法嗎?如果有,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出光線的行進(jìn)路線,保留作圖痕跡,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
問(wèn)題拓展:
(3)如圖3,兩平面鏡OM、ON相交于點(diǎn)O,且∠MON=30°,一束光線從點(diǎn)S出發(fā),且平行于平面鏡OM,第一次在點(diǎn)A處反射,經(jīng)過(guò)若干次反射后又回到了點(diǎn)S,如果SA和AO的長(zhǎng)均為1m,求這束光線經(jīng)過(guò)的路程;
(4)如圖4,兩平面鏡OM、ON相交于點(diǎn)O,且∠MON=15°,一束光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)過(guò)若干次反射后,最后反射出去時(shí),光線平行于平面鏡OM.設(shè)光線出發(fā)時(shí)與射線PM的夾角為θ(0°<θ<180°),請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的所有θ的度數(shù)(注:OM、ON足夠長(zhǎng))
【分析】(1)如圖1,作A關(guān)于平面鏡ML的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,連接A′B交ML于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求,只要證明∠3=∠4即可.
(2)如圖2,作A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,作B關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,連接A′B′分別交OM、ON于點(diǎn)P、Q.
(3)如圖3,光線的行進(jìn)路線為S→A→B→C→B→A→S,則光線的行進(jìn)路線為A→P→Q→B,求出SA+AB+BC+CB+BA+AS即可.
(4)θ=30°,60°,90°,120°,150°,分別作出圖形即可解決問(wèn)題.
【解答】解:(1)如圖1,作A關(guān)于平面鏡ML的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,連接A′B交ML于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.
證明:如圖作PN⊥ML,
∵A與A′關(guān)于ML對(duì)稱(chēng),
∴∠1=∠2,
∵∠2+∠3=90°,∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠1+∠4=90°,
∴∠3=∠4,
∴AP是入射光線,PB是反射光線,P即為入射點(diǎn).
(2)如圖2,作A關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,作B關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,連接A′B′分別交OM、ON于點(diǎn)P、Q.
則光線的行進(jìn)路線為A→P→Q→B.
(3)如圖3,光線的行進(jìn)路線為S→A→B→C→B→A→S.
∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°,
∴OB=BA,
∵BC⊥ON,
∴CA= OA= ,
∴AB= ,BC= ,
∴這束光線經(jīng)過(guò)的路程為:SA+AB+BC+CB+BA+AS=(1+ + )×2=2+ .
(4)θ=30°,60°,90°,120°,150°.理由如圖所示,
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)、翻折變換等知識(shí),解題的關(guān)鍵是充分利用反射角等于入射角解決問(wèn)題,第四個(gè)問(wèn)題容易漏解,考慮問(wèn)題要全面,屬于中考?jí)狠S題.
江蘇省連云港市2018年中考數(shù)學(xué)模擬試題答案
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