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關(guān)于兩個(gè)重要極限分析
兩個(gè)重要極限是很重要的知識(shí)點(diǎn)，關(guān)于這個(gè)的知識(shí)點(diǎn)要怎么證明呢?證明的過(guò)程是怎樣的呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的兩個(gè)重要極限的證明內(nèi)容，希望大家喜歡。
兩個(gè)重要極限教案
教學(xué)目的：1 使學(xué)生掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則;并會(huì)利用它們求極限;
2使學(xué)生掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法;
教學(xué)重點(diǎn)：利用兩個(gè)重要極限求極限
教學(xué)過(guò)程：
一、講授新課：
準(zhǔn)則I：如果數(shù)列 滿足下列條件：
(i)對(duì) ;
(ii) 那么，數(shù)列 的極限存在，且 。
證明：因?yàn)?，所以對(duì) ，當(dāng) 時(shí)，有 ，即
，對(duì) ，當(dāng) 時(shí)，有 ，即 ，又因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)，有 ，
即有： ，即 ，所以 。
準(zhǔn)則I′如果函數(shù) 滿足下列條件：
(i)當(dāng) 時(shí)，有 。
(ii)當(dāng) 時(shí)，有 。
那么當(dāng) 時(shí)， 的`極限存在，且等于 。
第一個(gè)重要極限：
作為準(zhǔn)則I′的應(yīng)用，下面將證明第一個(gè)重要極限： 。
證明：作單位圓，如下圖：
設(shè) 為圓心角 ，并設(shè) 見(jiàn)圖不難發(fā)現(xiàn)： ，即： ，即 ，
(因?yàn)?，所以上不等式不改變方向)
當(dāng) 改變符號(hào)時(shí)， 及1的值均不變，故對(duì)滿足 的一切
兩個(gè)重要極限的介紹
第一個(gè)重要極限
如果數(shù)列 滿足： ，就稱之為單調(diào)增加數(shù)列;若滿足： ，就稱之為單調(diào)減少數(shù)列;同理亦有嚴(yán)格單增或單減，以上通稱為單減數(shù)列和嚴(yán)格單減數(shù)列。
如果 ，使得： ，就稱數(shù)列 為有上界;若 ，使得： ，就稱 有下界。
準(zhǔn)則Ⅱ′：?jiǎn)握{(diào)上升，且有上界的數(shù)列必有極限。
準(zhǔn)則Ⅱ″: 單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。
注1：由前已知，有界數(shù)列未必有極限，若加單調(diào)性，就有極限。
2：準(zhǔn)則Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推廣到函數(shù)情形中去，在此不一一陳述了。
第二個(gè)重要極限：
作為準(zhǔn)則Ⅱ的'一個(gè)應(yīng)用，下面來(lái)證明極限 是不存在的。
先考慮 取正整數(shù)時(shí)的情形： 對(duì)于 ，有不等式： ，即： ，
即： (i)現(xiàn)令 ，顯然 ，因?yàn)?將其代入，所以 ，所以 為單調(diào)數(shù)列。
(ii)又令 ， 所以 ，
即對(duì) ， 又對(duì) 所以{ }是有界的。
由準(zhǔn)則Ⅱ或Ⅱ′知 存在，并使用 來(lái)表示，即
注 1：關(guān)于此極限存在性的證明，書(shū)上有不同的方法，希望同學(xué)自己看!
2：我們可證明： ，具體在此不證明了，書(shū)上也有，由證明過(guò)程知： 。
3：指數(shù)函數(shù) 及自然對(duì)數(shù) 中的底就是這個(gè)常數(shù) 。
挑戰(zhàn)極限的勵(lì)志名言
1. 命運(yùn)給予我們的不是失望之酒，而是機(jī)遇之杯。因此，讓我們毫不畏懼、充滿歡愉地把握命運(yùn)。——尼克松
2. 習(xí)慣形成性格，性格決定命運(yùn)。——約?凱恩斯
3. 凡是追逐不靠自身而依賴外界才能獲得的幸福的人，命運(yùn)總是和他作對(duì)。——莫羅阿
4. 沒(méi)有準(zhǔn)備向命運(yùn)抗?fàn)�，命運(yùn)便會(huì)顯示其威力。——馬基雅弗利
5. 每個(gè)人都是自己命運(yùn)的建筑師。——克勞狄烏斯
6. 生命的樂(lè)趣是要自己尋找的'，誰(shuí)也沒(méi)有義務(wù)要為你做什么，要討好你什么。愛(ài)情很美好，但是，生活永遠(yuǎn)比愛(ài)情要長(zhǎng)，而生活，是需要智慧。樂(lè)觀，陽(yáng)光，凡事往好處想。
7. 人生短短數(shù)十載，最要緊是證明自己，不是討好他人。
8. 浪漫是一種自我修養(yǎng)，是生活的格調(diào)。不管什么年齡，總要保持一種浪漫情懷。
9. 幸福不是因?yàn)榈玫降亩�，而是�?jì)較的少。苦苦追求沒(méi)有得到的，不懂得珍惜擁有的，結(jié)果只是徒勞傷命。
10. 有得有失，才是人生，切忌忿忿不平。做人最忌無(wú)休止地自怨自艾，招人討嫌。愛(ài)自己，就如同朝陽(yáng)升起。
11. 失去的東西，其實(shí)從來(lái)未曾真正地屬于你，也不必惋惜。瀟灑一點(diǎn)。生活中無(wú)論有什么閃失，從錯(cuò)處學(xué)習(xí)改過(guò)，精益求精，直至不犯同一錯(cuò)誤，從不把過(guò)失推諉到他人肩膀上去。讓自己更平和一點(diǎn)，更豁達(dá)一點(diǎn)，對(duì)于身邊的過(guò)錯(cuò)，讓自己更寬容一點(diǎn)。人人都有他的難處，何必強(qiáng)求于人。
12. 壞事總是不斷發(fā)生，可還是有很多辦法來(lái)解決困難。
13. 永遠(yuǎn)不要忘記進(jìn)修學(xué)問(wèn)，拓闊胸襟。人生的煩惱會(huì)追隨你，只不過(guò)學(xué)識(shí)涵養(yǎng)可以使一個(gè)人更加理智冷靜地分析處理這些難題而已。
14. 當(dāng)命運(yùn)遞給我一個(gè)酸的檸檬時(shí)，讓我們?cè)O(shè)法把它制造成甜的檸檬汁。——雨果
15. 對(duì)于凌駕命運(yùn)之上的人來(lái)說(shuō)，信心是命運(yùn)的主宰。——海倫·凱勒
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