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高中數(shù)學(xué)證明等比數(shù)列的常用方法
等比數(shù)列是一項(xiàng)公式，這項(xiàng)公式該怎么被證明呢?下面就是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的等比數(shù)列的證明內(nèi)容，希望大家喜歡。
數(shù)學(xué)等比數(shù)列的證明
數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 證明
(1)(Sn/n)是等比數(shù)列
(2) S(n+1)=4an
1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn
即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn
nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn
nS(n+1)=(2n+2)Sn
S(n+1)/(n+1)=2Sn/n
即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2
S1/1=A1=1
所以Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
2、由1有Sn/n是以2為公比1為首項(xiàng)的等比數(shù)列
所以Sn/n的通項(xiàng)公式是Sn/n=1*2^(n-1)
即Sn=n2^(n-1)
那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)
An=Sn-S(n-1)
=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)
=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)
=[2n-(n-1)]*2^(n-2)
=(n+1)2^(n-2)
=(n+1)*2^n/2^2
=(n+1)2^n/4
=S(n+1)/4
所以有S(n+1)=4An
a(n)-a(n-1)=2(n-1)
上n-1個(gè)式子相加得到：
an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)
右邊是等差數(shù)列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)
所以：
an-2=n^2-n
an=n^2-n+2
無(wú)窮遞減等比數(shù)列
a,aq,aq^2……aq^n
其中，n趨近于正無(wú)窮，q<1
注意：
(1)我們把|q|<1無(wú)窮等比數(shù)列稱(chēng)為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和的`極限才存在，當(dāng)|q|≥1無(wú)窮等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和的極限是不存在的。
(2)S是表示無(wú)窮等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和，這種無(wú)限個(gè)項(xiàng)的和與有限個(gè)項(xiàng)的和從意義上來(lái)說(shuō)是不一樣的，S是前n項(xiàng)和Sn當(dāng)n→∞的極限，即S=
S=a/(1-q)
算法
想了解無(wú)窮遞減等比數(shù)列求和的算法，需要先介紹一下等比數(shù)列求和公式
設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1,公比是q，數(shù)列前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)公比不為1時(shí)
Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)
將這個(gè)式子兩邊同時(shí)乘以公比q，得
qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n
兩式相減，得
(1-q)Sn=a1-a1q^n
所以，當(dāng)公比不為1時(shí)，等比數(shù)列的求和公式為Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)
對(duì)于一個(gè)無(wú)窮遞減數(shù)列，數(shù)列的公比小于1,當(dāng)上式得n趨向于正無(wú)窮大時(shí)，分子括號(hào)中的值趨近于1，取極限即得無(wú)窮遞減數(shù)列求和公式
S=a/(1-q)
高中數(shù)學(xué)必修5等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
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