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幾何證明選講蘇教版
幾何證明選講蘇教版
新課標(biāo)高考試題應(yīng)對(duì)策略之一
———2015年幾何證明選講題解體攻略
趙棟先
2015年，河南省的新課標(biāo)卷給人以耳目一新的感覺(jué)，尤其是他的幾何證明選講問(wèn)題，命題人確實(shí)下了很大功夫，該題分兩問(wèn)，第一問(wèn)考查四點(diǎn)共圓問(wèn)題，難度不是很大，但是應(yīng)用了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的知識(shí)，應(yīng)用了相似三角形的證明，第二問(wèn)是考察四邊形的外接圓半徑問(wèn)題，難度還是有的，很多同學(xué)理解不透外接圓的本質(zhì)，所以無(wú)從下手解決。
請(qǐng)先看題：
(22)(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-1：幾何證明選講如圖， ， 分別為 的邊 ， 上的點(diǎn)，且不與 的頂點(diǎn)重合。已知 的長(zhǎng)為m，的長(zhǎng)為n，AD, 的長(zhǎng)是關(guān)于 的方程 的兩個(gè)根。
(Ⅰ)證明： ， ， ， 四點(diǎn)共圓;
(Ⅱ)若 ，且 ，求 ， ， ， 所在圓的半徑。
第一問(wèn)解法：
證明策略一： 把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．
因?yàn)?， 的長(zhǎng)是關(guān)于 的方程 的兩個(gè)根.
所以 ，
因?yàn)?的長(zhǎng)為 ， 的長(zhǎng)為 ，所以 .
連接 ，根據(jù)題意，在 和 中，
因?yàn)椋?/p>
即 ，又 ,
從而 .
因此，
所以 ， ， ， 四點(diǎn)共圓.
證明策略二：把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線(xiàn)段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線(xiàn)段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長(zhǎng)相交的兩線(xiàn)段，若能證明自交點(diǎn)至一線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)所成的兩線(xiàn)段之積等于自交點(diǎn)至另一線(xiàn)段兩端點(diǎn)所成的兩線(xiàn)段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．(根據(jù)托勒密定理的逆定理)
事實(shí)上，以上定理就是割線(xiàn)定理的逆定理，即托勒密定理的逆定理，先讓我們證明他的正確性。
E
D
B
C
A
已知：在四邊形BCDE中，延長(zhǎng)BE邊和CD邊交于A點(diǎn)，
若AExAB=ADxAC ,求證：B,C,D,E四點(diǎn)共圓。
證明：∵AD·AB=AE·AC，
∴ =
又∵∠A=∠A
∴△AED∽△ABC
∴∠AED=∠B
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理知，B,C,D,E四點(diǎn)共圓。
這個(gè)結(jié)論，即為托勒密定理的逆定理，我們可以利用它證明第一問(wèn)：
因?yàn)?， 的長(zhǎng)是關(guān)于 的方程 的兩個(gè)根.
所以 ，
因?yàn)?的長(zhǎng)為 ， 的長(zhǎng)為 ，所以
所以 =AE·AC
根據(jù)托勒密定理的逆定理，B,C,D,E四點(diǎn)共圓。
對(duì)于第一問(wèn)來(lái)說(shuō)，我們只要平時(shí)多積累方法，總是可以解決的，但是對(duì)于托勒密定理的逆定理，大綱中沒(méi)有要求掌握，我們可以根據(jù)自己的基礎(chǔ)，有選擇的去掌握。
下面我們來(lái)解決第二問(wèn)：
第二問(wèn)是在第一問(wèn)四點(diǎn)共圓的基礎(chǔ)上，求這四個(gè)點(diǎn)所在圓的半徑。
解決策略一：我們可以根據(jù)圓內(nèi)接四邊形圓心的性質(zhì)，把圓心做出來(lái)，圓心到任一頂點(diǎn)的連線(xiàn)長(zhǎng)度即為半徑這個(gè)思路來(lái)解題。
知識(shí)聯(lián)系：那么，圓內(nèi)接四邊形的圓心究竟有什么性質(zhì)呢?讓我們先來(lái)考慮一下三角形的外接圓圓心的性質(zhì)，我們知道，三角形外接圓圓心是各條邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，
那么圓內(nèi)接四邊形的圓心是否也有相同的性質(zhì)呢?答案是一定的。原因很簡(jiǎn)單：圓內(nèi)接四邊形的圓心到四邊形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是什么呢?很明顯，這樣的集合是線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，那么到四邊形四條邊的定點(diǎn)相等的點(diǎn)的集合一定是四條邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)了，這個(gè)問(wèn)題一旦解決，第一問(wèn)的圓心問(wèn)題就簡(jiǎn)單了。我們看半徑的求解方法。
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