初二北師大版數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn)總結(jié)
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第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組
一、不等關(guān)系
※1、 一般地,用符號(或), (或)連接的式子叫做不等式.
2、要區(qū)別方程與不等式: 方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示的是不相等的關(guān)系.
※3、準(zhǔn)確翻譯不等式,正確理解非負(fù)數(shù)、不小于等數(shù)學(xué)術(shù)語.
非負(fù)數(shù) 大于等于0(=== 0和正數(shù) 不小于0
非正數(shù) 小于等于0(=== 0和負(fù)數(shù) 不大于0
二、不等式的基本性質(zhì)
※1、掌握不等式的基本性質(zhì),并會靈活運(yùn)用:
(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號的方向不變,即:
如果ab,那么a+cb+c, a-cb-c.
(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號的方向不變,即
如果ab,并且c0,那么acbc, .
(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號的方向改變,即:
如果ab,并且c0,那么ac
※2、比較大小:(a、b分別表示兩個(gè)實(shí)數(shù)或整式)
一般地:
如果ab,那么a-b是正數(shù);反過來,如果a-b是正數(shù),那么a
如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;
如果a
即:
a===0
a=b a-b=0
a a-b0
(由此可見,要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只要考察它們的差就可以了.
三、不等式的解集:
※1、能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解;一個(gè)不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.
※2、不等式的解可以有無數(shù)多個(gè),一般是在某個(gè)范圍內(nèi)的所有數(shù),與方程的解不同.
3、不等式的解集在數(shù)軸上的表示:
用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí),要確定邊界和方向:
①邊界:有等號的是實(shí)心圓圈,無等號的是空心圓圈;
�、诜较�:大向右,小向左
四、一元一次不等式:
※1、 只含有一個(gè)未知數(shù),且含未知數(shù)的式子是整式,未知數(shù)的次數(shù)是1. 像這樣的不等式叫做一元一次不等式.
※2、解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似,特別要注意,當(dāng)不等式兩邊都乘以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號要改變方向.
※3、解一元一次不等式的步驟:
�、偃シ帜�;
�、谌ダㄌ�;
�、垡祈�(xiàng);
�、芎喜⑼愴�(xiàng);
⑤系數(shù)化為1(不等號的改變問題)
※4、 一元一次不等式基本情形為axb(或ax
①當(dāng)a0時(shí),解為 ;
�、诋�(dāng)a=0時(shí),且b0,則x取一切實(shí)數(shù);
當(dāng)a=0時(shí),且b0,則無解;
�、郛�(dāng)a0時(shí), 解為 ;
5、不等式應(yīng)用的探索(利用不等式解決實(shí)際問題)
列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似,即:
①審: 認(rèn)真審題,找出題中的不等關(guān)系,要抓住題中的關(guān)鍵字眼,如大于、小于、不大于、不小于等含義;
�、谠O(shè): 設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù);
�、哿�: 根據(jù)題中的不等關(guān)系,列出不等式;
�、芙�: 解出所列的不等式的解集;
�、荽�: 寫出答案,并檢驗(yàn)答案是否符合題意.
五、一元一次不等式與一次函數(shù)
六、一元一次不等式組
※1、 定義: 由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.
※2、一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個(gè)不等式組無解.
幾個(gè)不等式解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定.
※3、解一元一次不等式組的步驟:
(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集;
(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分,即這個(gè)不等式組的解集.
兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實(shí)數(shù),且a
一元一次不等式 解集 圖示 敘述語言表達(dá)
xb 兩大取較大
xa 兩小取小
a
無解 在大小分離沒有解
(是空集)
第二章 分解因式
一、分解因式
※1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.
※2. 因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.
因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:
(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘,化為一個(gè)多項(xiàng)式;
(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘.
二、提公共因式法
※1、如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來,從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.
如:
※2、概念內(nèi)涵:
(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是積
(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式;
(1)注意項(xiàng)的符號與冪指數(shù)是否搞錯(cuò);
(2)公因式是否提干凈
(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號中這一項(xiàng)為+1,不漏掉.
三、運(yùn)用公式法
※1. 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.
因式分解要分解到底.如 就沒有分解到底.
※4、運(yùn)用公式法:
(1)平方差公式:
①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式;
②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號)都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方;
�、鄱�(xiàng)是異號.
(2)完全平方公式:
�、賾�(yīng)是三項(xiàng)式;
�、谄渲袃身�(xiàng)同號,且各為一整式的平方;
�、圻�有一項(xiàng)可正負(fù),且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍.
※5、因式分解的思路與解題步驟:
(1)先看各項(xiàng)有沒有公因式,若有,則先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來達(dá)到分解的目的;
(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;
(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.
四、分組分解法:
※1、分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.
如:
※2、概念內(nèi)涵:
分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.
※3、注意: 分組時(shí)要注意符號的變化.
五、十字相乘法:
※1、對于二次三項(xiàng)式 ,將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積, , , 且滿足 ,往往寫成 的形式,將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解.
如:
※2、二次三項(xiàng)式 的分解:
※3、規(guī)律內(nèi)涵:
(1)理解:把 分解因式時(shí),如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù),那么把它分解成兩個(gè)同號因數(shù),它們的符號與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號相同.
(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個(gè)異號因數(shù),其中絕對值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號相同,對于分解的兩個(gè)因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p.
(1)十字相乘法在對系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò);
(2)分解的結(jié)果與原式不等,這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確.
第三章 分式
一、分式
※1、兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí),出現(xiàn)了分?jǐn)?shù);類似地,當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí),就出現(xiàn)了分式.
整式A除以整式B,可以表示成 的形式.如果除式B中含有字母,那么稱 為分式,對于任意一個(gè)分式,分母都不能為零.
※2、整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有:
※3、進(jìn)行分?jǐn)?shù)的化簡與運(yùn)算時(shí),常要進(jìn)行約分和通分,其主要依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì):
分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變.
※4、一個(gè)分式的分子、分母有公因式時(shí),可以運(yùn)用分式的基本性質(zhì),把這個(gè)分式的分子、分母同時(shí)除以它的們的公因式,也就是把分子、分母的公因式約去,這叫做約分.
二、分式的乘除法
※1、分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.
※2、分式乘方,把分子、分母分別乘方.
逆向運(yùn)用 ,當(dāng)n為整數(shù)時(shí),仍然有 成立.
※3、分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.
三、分式的加減法
※1、分式與分?jǐn)?shù)類似,也可以通分.根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
※2、分式的加減法:
分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法一樣,分為同分母的分式相加減與異分母的分式相加減.
(1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減;
上述法則用式子表示是:
(2)異號分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?然后再加減;
上述法則用式子表示是:
※3、概念內(nèi)涵:
通分的關(guān)鍵是確定最簡分母,其方法如下:最簡公分母的系數(shù),取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);最簡公分母的字母,取各分母所有字母的最高次冪的積,如果分母是多項(xiàng)式,則首先對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.
四、分式方程
※1、解分式方程的一般步驟:
�、僭诜匠痰膬蛇叾汲俗詈喒帜�,約去分母,化成整式方程;
�、诮膺@個(gè)整式方程;
�、郯颜椒匠痰母胱詈喒帜�,看結(jié)果是不是零,使最簡公母為零的根是原方程的增根,必須舍去.
※2、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟:
�、賹徢孱}意;
�、谠O(shè)未知數(shù);
③根據(jù)題意找相等關(guān)系,列出(分式)方程;
�、芙夥匠�,并驗(yàn)根;
�、輰懗龃鸢�.
第四章 相似圖形
一、線段的比
※1、如果選用同一個(gè)長度單位量得兩條線段AB, CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AB:CD=m:n ,或?qū)懗?.
※2、 四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即 ,那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.
※3、注意點(diǎn):
�、賏:b=k,說明a是b的k倍;
�、谟捎诰�段 a、b的長度都是正數(shù),所以k是正數(shù);
③比與所選線段的長度單位無關(guān),求出時(shí)兩條線段的長度單位要一致;
�、艹薬=b之外,a:bb:a, 與 互為倒數(shù);
⑤比例的基本性質(zhì):若 , 則ad=bc; 若ad=bc, 則
二、黃金分割
※1、如圖1,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果 ,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.
※2、黃金分割點(diǎn)是最優(yōu)美、最令人賞心悅目的點(diǎn).
四、相似多邊形
1、一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.
※2、對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.
五、相似三角形
※1、在相似多邊形中,最為簡簡單的就是相似三角形.
※2. 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.
※3、全等三角形是相似三角的特例,這時(shí)相似比等于1. 注意:證兩個(gè)相似三角形,與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上.
※4、相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
※5、相似三角形周長的比等于相似比.
※6、相似三角形面積的比等于相似比的平方.
六、探索三角形相似的條件
※1、相似三角形的判定方法:
一般三角形 直角三角形
基本定理:平行于三角形的`一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.
�、賰山菍�(yīng)相等;
�、趦蛇厡�(yīng)成比例,且夾角相等;
�、廴厡�(yīng)成比例. ①一個(gè)銳角對應(yīng)相等;
②兩條邊對應(yīng)成比例:
a. 兩直角邊對應(yīng)成比例;
b. 斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例.
※2、平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.
※3、平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
七、相似的多邊形的性質(zhì)
※相似多邊形的周長等于相似比;面積比等于相似比的平方.
八、圖形的放大與縮小
※1. 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形; 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心; 這時(shí)的相似比又稱為位似比.
※2. 位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.
◎3. 位似變換:
�、僮儞Q后的圖形,不僅與原圖相似,而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),并且對應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心.
�、谝粋�(gè)圖形經(jīng)過位似變換后得到另一個(gè)圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形.
�、劾梦凰频姆椒�,可以把一個(gè)圖形放大或縮小.
第五章 數(shù)據(jù)的收集與處理
一、 每周干家務(wù)活的時(shí)間
※1、所要考察的對象的全體叫做總體;
把組成總體的每一個(gè)考察對象叫做個(gè)體;
從總體中取出的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本.
※2、為一特定目的而對所有考察對象作的全面調(diào)查叫做普查;
為一特定目的而對部分考察對象作的調(diào)查叫做抽樣調(diào)查.
二、數(shù)據(jù)的收集
※1、抽樣調(diào)查的特點(diǎn): 調(diào)查的范圍小、節(jié)省時(shí)間和人力物力優(yōu)點(diǎn).但不如普查得到的調(diào)查結(jié)果精確,它得到的只是估計(jì)值.
而估計(jì)值是否接近實(shí)際情況還取決于樣本選得是否有代表性.
第六章 證明(一)
二、 定義與命題
※1、 一般地,能明確指出概念含義或特征的句子,稱為定義.
定義必須是嚴(yán)密的.一般避免使用含糊不清的術(shù)語,例如一些、大概、差不多等不能在定義中出現(xiàn).
※2、可以判斷它是正確的或是錯(cuò)誤的句子叫做命題.
正確的命題稱為真命題,錯(cuò)誤的命題稱為假命題.
※3、 數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的,并且把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù),這樣的真命題叫做公理.
※4、有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā),用邏輯推理的方法判斷它們是正確的,并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù),這樣的真命題叫做定理.
5、根據(jù)題設(shè)、定義以及公理、定理等,經(jīng)過邏輯推理,來判斷一個(gè)命題是否正確,這樣的推理過程叫做證明.
三. 為什么它們平行
※1、平行判定公理: 同位角相等,兩直線平行.(并由此得到平行的判定定理)
※2、平行判定定理: 同旁內(nèi)互補(bǔ),兩直線平行.
※3、平行判定定理: 同錯(cuò)角相等,兩直線平行.
四、如果兩條直線平行
※1. 兩條直線平行的性質(zhì)公理: 兩直線平行,同位角相等;
※2. 兩條直線平行的性質(zhì)定理: 兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;
※3. 兩條直線平行的性質(zhì)定理: 兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).
五、三角形和定理的證明
※1. 三角形內(nèi)角和定理: 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180
2. 一個(gè)三角形中至多只有一個(gè)直角
3. 一個(gè)三角形中至多只有一個(gè)鈍角
4. 一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角
六、關(guān)注三角形的外角
※1. 三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論:
推論1: 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;
推論2: 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
(注：※表示重點(diǎn)部分;表示了解部分;◎表示僅供參閱部分;)
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