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初三數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的分析
5 第29講 數(shù)據(jù)的分析
考標(biāo)要求考查角度
1.會(huì)求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差，能理解它們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中反映的意義，而且會(huì)運(yùn)用樣本估計(jì)總體的思想方法解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．
2．了解樣本方差、總體方差的意義．會(huì)根據(jù)同類(lèi)問(wèn)題的兩組樣本數(shù)據(jù)的方差比較兩組樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況. 本講中考主要考查算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差和方差的計(jì)算，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題來(lái)描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度．題型以選擇題、填空題為主，還常與統(tǒng)計(jì)圖、概率等知識(shí)進(jìn)行綜合考查.
知識(shí)梳理
一、平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)
1．平均數(shù)
(1)平均數(shù)：對(duì)于n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，我們把1n(x1＋x2＋…＋xn)叫做這組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)__________，記為x.
(2)加權(quán)平均數(shù)：如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，x3出現(xiàn)f3次，…，x出現(xiàn)f次(其中f1＋f2＋…＋f＝n)，那么x＝1n(x1f1＋x2f2＋…＋xf)叫做x1，x2，…，x這個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)，其中f1，f2，…，f分別叫做x1，x2，…，x的權(quán)，f1＋f2＋f3＋…＋f＝n.
2．眾數(shù)
在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)_______ ___的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有時(shí)有幾個(gè))．
3．中位數(shù)
將一組數(shù)據(jù)按__________依次排列，把處在__________的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
二、數(shù)據(jù)的波動(dòng)
1．極差
一組數(shù)據(jù)中__________與__________的差，叫做這組數(shù)據(jù)的極差．
2．方差
在一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x的差的__________的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差，即s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．
3．極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大�。环讲�(或標(biāo)準(zhǔn)差)越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大．
自主測(cè)試
1．(20xx上海)數(shù)據(jù)5,7,5,8,6,13,5的中位數(shù)是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．“恒盛”超市購(gòu)進(jìn)一批大米，大米的標(biāo)準(zhǔn)包裝為每袋30 g，售貨員任選6袋進(jìn)行了稱(chēng)重檢驗(yàn)，超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)重量的記作“＋”，不足標(biāo)準(zhǔn)重量的記作“－”，他記錄的結(jié)果是＋0.5，－0.5，0，－0.5，－0.5，＋1，那么這6袋大米重量的平均數(shù)和極差分別是( )
A．0,1.5 B．29.5,1 C．30,1.5 D．30.5,0
3．甲、乙兩學(xué)生在軍訓(xùn)打靶訓(xùn)練中，打靶的總次數(shù)相同，且所中環(huán)數(shù)的平均數(shù)也相同，但甲的成績(jī)比乙的成績(jī)穩(wěn)定，那么兩者的方差的大小關(guān)系是( )
A．s2甲＜s2乙 B．s2甲＞s2乙C．s2甲＝s2乙 D．不能確定
4．(20xx浙江寧波)我市某一周每天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)如下：27,28,29 ,29,30,29,28(單位：℃)，則這組數(shù)據(jù)的極差與眾數(shù)分別為( )
A．2,28 B．3,29 C．2,27 D．3,28
考點(diǎn)一、平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)
【例1】 (1)某校藝術(shù)節(jié)演出中，5位評(píng)委給某個(gè)節(jié)目打分如下：9分， 9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，則該節(jié)目的平均得 分是__________分．
(2)某文具商店共有單價(jià)分別為10元、15元和20元的3種文具盒出售，該商店統(tǒng)計(jì)了20xx年3月份這三種文具盒的銷(xiāo)售情況，并繪制統(tǒng)計(jì)圖如下：
文具店20xx年3月份3種文具盒銷(xiāo)售情況扇形統(tǒng)計(jì)圖
3種文具盒銷(xiāo)售情況條形統(tǒng)計(jì)圖
�、僬�(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；
�、谛×琳J(rèn)為該商店3月份這三種文具盒總的平均銷(xiāo)售價(jià)格為13(10＋15＋20)＝15元，你認(rèn)為小亮的計(jì)算方法正確嗎？如果不正確，請(qǐng)計(jì)算總的平均銷(xiāo)售價(jià)格．
分析：(1)直接利用算術(shù)平均數(shù)的求法求；
(2)該商店3月份這三種文具盒總的平均銷(xiāo)售價(jià)格是求加權(quán)平均數(shù)．
解：(1)9 (2)①
3種文具盒銷(xiāo)售情況條形統(tǒng)計(jì)圖
�、诓徽_，平均銷(xiāo)售價(jià)格為(10×150＋15×360＋20×90)÷(150＋360＋90)＝8 700÷60 0＝14.5(元)．
方法總結(jié) 平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)是以不同角度反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的，而中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)排列處于中間位置的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，平均數(shù)則是所有數(shù)的和與個(gè)數(shù)的商，求解時(shí)一定要明確其求法．
觸類(lèi)旁通1我市某一周的最高氣溫統(tǒng)計(jì)如下表：
最高氣溫/℃25262728
天數(shù)1123
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)分別是( )
A．27,2 8 B．27.5,28C．28,27 D．26.5,27
考點(diǎn)二、極差與方差
【例2】 (1)(20xx湖南株洲)在體育達(dá)標(biāo)測(cè)試中，某校初三5班第一小組六名同學(xué)一分鐘跳繩成績(jī)?nèi)缦拢?3,138,98,152,138,183，則這組數(shù)據(jù)的極差是( )
A．138 B．183 C．90 D．93
(2)(20xx湖南懷化)為了比較甲、乙兩種水稻秧苗是否出苗整齊，每種秧苗各取10株分別量出每株長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)兩組秧苗的平均長(zhǎng)度一樣，甲、乙方差分別是3.9,15.8，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．甲秧苗出苗更整齊 B．乙秧苗出苗更整齊
C．甲、乙出苗一樣整齊 D．無(wú)法確定
解析：(1)根據(jù)極差的概念求；(2)比較甲、乙方差的大小，方差越小，出苗越整齊．
答案：(1)C (2)A
方法總結(jié) 極差和方差都是表示該組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的數(shù)據(jù)，從統(tǒng)計(jì)的角度看，在平均成績(jī)相同的情況下看成績(jī)的穩(wěn)定性就是比較方差的大小．
觸類(lèi)旁通2 一次學(xué)科測(cè)驗(yàn)，學(xué)生得分均為整數(shù)，滿(mǎn)分為10分，成績(jī)達(dá)到6分以上(包括6分)為合格，成績(jī)達(dá)到9分為優(yōu)秀．這次測(cè)驗(yàn)中甲、乙兩組學(xué)生成績(jī)分布的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖．
(1)請(qǐng)補(bǔ)充完成下面的成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析表：
平均分方差中位數(shù)合格率優(yōu)秀率
甲組6.92.491.7%16.7%
乙組1.383.3%8.3%
(2)甲組學(xué)生說(shuō)他們的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組，所以他們的成績(jī)好于乙組．但乙組學(xué)生不同意甲組學(xué)生的說(shuō)法，認(rèn)為他們組的成績(jī)要好于甲組，請(qǐng)你給出三條支持乙組學(xué)生觀點(diǎn)的理由．
1．(20xx湖南湘潭)已知一組數(shù)據(jù)3，a,4,5的眾數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(20xx湖南婁底)一組 數(shù)據(jù)為：2,2,3,4,5,5,5,6，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2 B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3
C．這組數(shù)據(jù)的極差是4 D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5
3．(20xx湖南常德)已知甲、乙兩種棉花的纖維長(zhǎng)度的平均數(shù)相等，若甲種棉花的纖維長(zhǎng)度的方差s2甲＝1.327 5，乙種棉花的纖維長(zhǎng)度的方差s2乙＝1.877 5，則甲、乙兩種棉花質(zhì)量較好的是__________．
4．(20xx湖南張家界)一組數(shù)據(jù)是4，x,5,10,11共有五個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是__________．
1．北京市今年6月某日部分區(qū)縣的最高氣溫如下表：
區(qū)縣大興通州平谷順義懷柔門(mén)頭溝延慶昌平密云房山
最高氣溫/℃32323032303229323032
則這10個(gè)區(qū)縣該日最高氣溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A．32,32 B．32,30 C．30,32 D．32,31
2．16位參加百米半決賽同學(xué)的成績(jī)各不相同，按成績(jī)?nèi)∏?位進(jìn)入決賽．如果小劉知道了自己的成績(jī)后，要判斷能否進(jìn)入決賽，其他15位同學(xué)成績(jī)的下列數(shù)據(jù)中，能使他得出結(jié)論的是( )
A．平均數(shù) B．極差 C．中位數(shù) D．方差
3．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員12場(chǎng)比賽得分情況如圖所示：
對(duì)這兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)進(jìn)行比較，下列四個(gè)結(jié)論中，不正確的是( )
A．甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差
B．甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)
C．甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均數(shù)
D．甲運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)比乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)穩(wěn)定
4．某居民小區(qū)開(kāi)展節(jié)約用電活動(dòng)，對(duì)該小區(qū)100戶(hù)家庭的節(jié)電量情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，4月份與3月份相比，節(jié)電情況如下表：
節(jié)電量/千瓦時(shí)20304050
戶(hù)數(shù)10403020
則4月份這100戶(hù)節(jié)電量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別是( )
A．35,35,30 B．25,30,20 C．36,35,30 D．36,30,30
5．一個(gè)樣本為1,3,2,2，a，b，C．已知這個(gè)樣本的眾數(shù)為3，平均數(shù)為2，那么這個(gè)樣本的方差為_(kāi)_________．
6．為了考察甲、乙兩種小麥的長(zhǎng)勢(shì)，分別從中抽出20株測(cè)得其高度，并求得它們的方差分別為s2甲＝3.6，s2乙＝15.8，則_ ____ _種小麥的長(zhǎng)勢(shì)比較整齊．
7．某初中學(xué)校欲向高一級(jí)學(xué)校推薦一名學(xué)生，根據(jù)規(guī)定的推薦程序：首先由本年級(jí)200名學(xué)生民主投票，每人只能推薦一人(不設(shè)棄權(quán)票)，選出了票數(shù)最多的甲、乙、丙三人，投票結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖(1)所示：
(1) (2)
其次，對(duì)三名候選人進(jìn)行了筆試和面試兩項(xiàng)測(cè)試，各項(xiàng)成績(jī)?nèi)缦卤硭荆?/p>
測(cè)試項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)/分
甲乙丙
筆試929095
面試859580
圖(2)是某同學(xué)根據(jù)上表繪制的一個(gè)不完整的條形圖．
請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：
(1)補(bǔ)全圖；
(2)請(qǐng)計(jì)算每名候選人的得票數(shù)；
(3)若每名候選人得一票記1分，投票、筆試、面試三項(xiàng)得分按照2∶5∶3的比確定，計(jì)算三名候選人的平均成績(jī)，成績(jī)高的將被錄取，應(yīng)該錄取誰(shuí)？
參考答案
【知識(shí)梳理】
一、1.(1)平均數(shù) 2.最多 3．大小 最中間
二、1.最大值 最小值 2.平方
導(dǎo)學(xué)必備知識(shí)
自主測(cè)試
1．B 因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)從小到大排列為5,5,5,6,7,8,13，第四個(gè)數(shù)6為中位數(shù)．
2．C
3．A 根據(jù)方差的意義知，射擊成績(jī)比較穩(wěn)定，則方差較小．
∵甲的成績(jī)比乙的成績(jī)穩(wěn)定，∴有s2甲＜s2乙．故選A.
4．B 因?yàn)檫@組數(shù)中，最大的數(shù)是30，最小的數(shù)是27，
所以極差為30－27＝3.
29出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
所以眾數(shù)是29.
探究考點(diǎn)方法
觸類(lèi)旁通1.A 由統(tǒng)計(jì)表可知，溫度為25 ℃有1天，溫度為26 ℃有1天，溫度為27 ℃有2天，溫度為28 ℃有3天．
觸類(lèi)旁通2.分析：評(píng)價(jià)成績(jī)的好壞，不能只看某一方面，應(yīng)多方面考慮．
解：(1)甲組：中位數(shù)7；乙組：平均分7，中位數(shù)7；
(2) (答案不唯一)①乙組學(xué)生的平均分高于甲組學(xué)生的平均分；②乙組學(xué)生的方差低于甲組學(xué)生的方差；③乙組學(xué)生成績(jī)不低于7分的人數(shù)比甲組多．
品鑒經(jīng)典考題
1．B ∵眾數(shù)為4，∴a＝4，∴x＝3＋4×2＋54＝4.
2．C 這組數(shù)據(jù)中，5出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是5，故A不正確；2×2＋3＋4＋5×3＋68＝4，故B不正確；6－2＝4，這組數(shù)據(jù)的極差是4，C正確；數(shù)據(jù)按從大到小排列后，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)是4和5，所以中位數(shù)為4＋52＝4.5，故D不正確．
3．甲
4．5 4＋x＋5＋10＋115＝7，解得x＝5，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5.
研習(xí)預(yù)測(cè)試題
1．A 2 3.D 4
5.87 ∵這個(gè)樣本的眾數(shù)為3，
∴a，b，c中至少有兩個(gè)為3，設(shè)a＝b＝3，
∴1＋3×3＋2×2＋c7＝2，∴c＝0.
∴s2＝17×[(1－2)2＋(3－2)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(3－2)2＋(0－2)2]＝87.
6．甲
7．解：(1)
(2)甲的票數(shù)：200×34%＝68(票)，乙的票數(shù)：200×30%＝60(票)，丙的票數(shù)：200×28%＝56(票)．
(3)甲的平均成績(jī)：x1＝68×2＋92×5＋85×32＋5＋3＝85.1，
乙的平均成績(jī)：x2＝60×2＋90×5＋95×32＋5＋3＝85.5，
丙的平均成績(jī)：x3＝56×2＋95×5＋80×32＋5＋3＝82.7.
∵乙的平均成績(jī)最高，∴應(yīng)該錄取乙．
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