一元二次方程的教案范例
教學(xué)目標(biāo)
(1)會(huì)用公式法解一元二次方程;
(2)經(jīng)歷求根公式的發(fā)現(xiàn)和探究過程，提高學(xué)生觀察能力、分析能力以及邏輯思維能力;
(3)滲透化歸思想,領(lǐng)悟配方法，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.
教學(xué)重點(diǎn)
知識層面:公式的推導(dǎo)和用公式法解一元二次方程;
能力層面:以求根公式的發(fā)現(xiàn)和探究為載體,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想方法.
教學(xué)難點(diǎn):求根公式的推導(dǎo).
總體設(shè)計(jì)思路:
以舊知識為起點(diǎn),問題為主線,以教師指導(dǎo)下學(xué)生自主探究為基本方式,突出數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系與探究知識的方法,發(fā)展學(xué)生的理性思維.
教學(xué)過程
整體教學(xué)流程：形成表象,提出問題
分析問題,探究本質(zhì)
得出結(jié)論,解決問題
拓展應(yīng)用,升華提高
歸納小結(jié),布置作業(yè).
形成表象,提出問題
在上一節(jié)已學(xué)的用配方法解一元二次方程的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)情景.
解下列一元二次方程:(學(xué)生選兩題做)
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;
(3)4x2-16x+17=0 ; (4)3x2+4x+7=0.
然后讓學(xué)生仔細(xì)觀察四題的解答過程,由此發(fā)現(xiàn)有什么相同之處,有什么不同之處?
接著再改變上面每題的其中的一個(gè)系數(shù),得到新的四個(gè)方程:(學(xué)生不做,思考其解題過程)
(1)3x2+4x+2=0; (2)3x2-2x+1=0;
(3)4x2-16x-3=0 ; (4)3x2+x+7=0.
思考:新的四題與原題的解題過程會(huì)發(fā)生什么變化?
設(shè)計(jì)意圖:1.復(fù)習(xí)鞏固舊知識,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下更好的基礎(chǔ);
2.讓學(xué)生充分感受到用配方法解題既存在著共性,也存在著不同的現(xiàn)象,由此激發(fā)學(xué)生的求知欲望.
分析問題,探究本質(zhì)
由學(xué)生的觀察討論得到:用配方法解不同一元二次方程的過程中,相同之處是配方的過程----程序化的操作,不同之處是方程的根的情況及其方程的根.
進(jìn)而提出下面的問題:
既然過程是相同的,為什么會(huì)出現(xiàn)根的不同?方程的根與什么有關(guān)?有怎樣的關(guān)系?如何進(jìn)一步探究?
讓學(xué)生討論得出:從一元二次方程的一般形式去探究根與系數(shù)的關(guān)系.
ax2+bx+c=0(a≠0) 注:根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)程度的不同,可
ax2+bx=-c 以采用學(xué)生獨(dú)立嘗試配方, 合x2+
x=-
作嘗試配方或教師引導(dǎo)下進(jìn)行
x2+
x+
=-
+
配方等各種教學(xué)形式.
(x+
)2=
然后再議開方過程(讓學(xué)生結(jié)合前面四題方程來加以討論),使學(xué)生充分認(rèn)識到“b2-4ac”的重要性.
當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，
(x+
)2=
注:這樣變形可以避免對a正、負(fù)的討論,
x+
=
便于學(xué)生的理解.
x=-
即x=
x1=
, x2=
當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，
方程無實(shí)數(shù)根.
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生通過經(jīng)歷知識形成的全過程，從而提高自身的觀察能力、分析問題和解決問題的能力，發(fā)展了理性思維.
得出結(jié)論,解決問題
由上面的探究過程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a,b,c確定. 當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，
x=
;
當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.
這個(gè)式子對解題有什么幫助?通過討論加深對式子的理解,同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美.
進(jìn)而闡述這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.
運(yùn)用公式法解一元二次方程.(設(shè)計(jì)兩個(gè)環(huán)節(jié):共同練習(xí)和獨(dú)立完成)
[共同練習(xí)]
(1)2x2-x-1=0; (2)4x2-3x+2=0 ;
(3)x2+15x=-3x; (4)x2-
x+
=0.
此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步闡述求根公式,歸納總結(jié)用公式法解一元二次方程的一般步驟.
[獨(dú)立完成]
用公式法解一元二次方程:
(1)x2+x-6=0; (2)x2-
x-
=0; (3)3x2-6x-2=0;
(4)4x2-6x=0; (5)x2+4x+8=4x+11; (6)x(2x-4)=5-8x.
此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖:能夠熟練運(yùn)用公式法解一元二次方程,讓每位學(xué)生都有所收獲.
拓展運(yùn)用，升華提高
分兩個(gè)環(huán)節(jié)：用一用和想一想(此環(huán)節(jié)基于學(xué)生課堂掌握的情況而定,可作為課后思考題).
[用一用]
解決本章引言中的問題:
要設(shè)計(jì)一座2m高的人體雕像,使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以小)的高度比,等于下部與全部的高度比,雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高?
雕像上部的高度AC,下部的高度BC應(yīng)有如下關(guān)系:
即BC2=2AC.
設(shè)雕像下部高xm,于是得方程
x2=2(2-x)
整理得:x2+2x-4=0.
解這個(gè)方程,得
x=
,
x1=-1+
,x2=-1-
.
精確到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236.
考慮實(shí)際意義, x≈1.236.所以雕像下部高度應(yīng)設(shè)計(jì)約為1.236m.
在前面的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提問: (結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,可以放在課后思考.)
(1)如果雕像的高度設(shè)計(jì)為3m,那雕像的下部應(yīng)是多少?4m呢?
(2)進(jìn)而把問題一般化,這個(gè)高度比是多少?
之后簡單介紹黃金分割數(shù),使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奧妙.
此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖:①運(yùn)用所學(xué)的知識解決實(shí)際問題;②能力層面上的拓展----化歸思想.
[想一想]
清清和楚楚剛學(xué)了用公式法解一元二次方程,看到一個(gè)關(guān)于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 清清說:“此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”,而楚楚反駁說:“不一定，根的情況跟m的值有關(guān)”.那你們認(rèn)為呢?并說明理由.
此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖:基于學(xué)生基礎(chǔ)較好,因此對求根公式作進(jìn)一步深化,并綜合運(yùn)用了配方法,使不同層次的學(xué)生都有不同提高.
歸納小結(jié),布置作業(yè)
結(jié)合上面用一用,讓學(xué)生嘗試對本節(jié)課的知識進(jìn)行梳理,對方法進(jìn)行提煉,從而使學(xué)生的知識和方法更具系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化,同時(shí)也是情感的升華過程.
作業(yè): (結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,可以分層布置.)
�、遄鳂I(yè)本;
�、嫱貜V探索:P46第12題
㈢閱讀思考P46-----黃金分割數(shù),有興趣的同學(xué)可以上網(wǎng)查閱相關(guān)資料,或進(jìn)一步探究根與系數(shù)的其他關(guān)系.
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