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2017年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(文)期中試題
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第Ⅰ卷 ( 共60分)
一、選擇題(本大題有12小題，每小題5分，共60分，請(qǐng)從A，B，C ，D四個(gè)選項(xiàng)中，選出一個(gè)符合題意的正確選項(xiàng)，填入答題卷，不選，多選，錯(cuò)選均得零分.)
1.拋物線 的焦點(diǎn)坐 標(biāo)是( )
A. B. C. D.
2.命題“若 ，則 都為零”的否命題是( )
A.若 ，則 都不為零 B.若 ，則 不都為零
C.若 都不為零，則 D.若 不都為零，則
3.曲線 在 處的切線的傾斜角為( )
A. B. C. D.
4.已知 的圖象如右所示，則 的一個(gè)可能圖象是( )
A. B. C. D.
5.橢圓 的一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線 的準(zhǔn)線上，則橢圓的離心率( )
A. B. C .4 D.
6.函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B. C. D.
7.一動(dòng)圓 與圓 外切，而與圓 內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心 的軌跡是( )
A.橢圓 B.雙曲線 C.橢圓或雙曲線一支 D.拋物線
8. 已知函數(shù) 在R上可導(dǎo)，且 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
9.曲線 與曲線 的( )
A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等 C.離心率相等 D.焦距相等
10.設(shè)雙曲線 的一條漸近線與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為( ).
A. B. 5 C. D.
11.已知命題 ：函數(shù) 在R為增函數(shù)， :函數(shù) 在 為減函數(shù).則命題 ; ; ; 中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.有一凸透鏡其剖面圖(如圖)是由橢圓 和雙曲線 的實(shí)線部分組成，已知兩曲線有共同焦點(diǎn)M、N;A、B分別在左右兩部分實(shí)線上運(yùn)動(dòng)，則 周長(zhǎng)的最小值為: ( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題有4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卷上)
13.雙曲線 的漸近線方程為_(kāi)__________.
14.若函數(shù) 在 處有極小值，則實(shí)數(shù) 等于_________.
15.已知命題 :“ ”, 命題 ：“ ”,
若命題“ ”為假命題，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
16. 綜合應(yīng)用拋物線和雙曲 線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡.這種 望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡筒可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚，例如，某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖(中心截口示意圖)所示，其中，一個(gè)反射鏡 弧所在的曲 線為拋物線，另一個(gè)反射鏡 弧所在的曲線為雙曲線的一個(gè)分支，已知 、 是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中 同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)， 也是雙曲線的左頂點(diǎn).若在如圖所示的坐標(biāo)系下， 弧所在的曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，試根據(jù)圖示尺寸(單位：cm)，寫(xiě)出反射鏡 弧所在的拋物線方程為_(kāi)________.
三、解答題(本大題有6小題，共70分，請(qǐng)將解答過(guò)程寫(xiě)在答題卷上
17.(本小題滿分10分)已知命題 ：實(shí)數(shù) 滿足 ，
�。簩�(shí)數(shù) 滿足
(1)若 為真命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
(2)若 是 的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
18.(本小題滿分12分)已知 ，
(1)寫(xiě)出 的定義域. (2)求 的單調(diào)區(qū)間.
19. (本小題滿分12分) 設(shè)命題 ， . 命題 ， . 如果命題“ ∨ ”為真命題，“ ∧ ”為假命題，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
20. (本小題滿分12分)已知橢圓 的左，右焦點(diǎn) 、 .若以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作一雙曲線恰為等軸雙曲線.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)L為過(guò)橢圓右焦點(diǎn) 的直線，交橢圓于 、 兩點(diǎn)，當(dāng) 周長(zhǎng)為 時(shí);
求 面積的最大值.
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(1)求函數(shù) 的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn);
(2)若 恰好有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 取值范圍.
22. (本題滿分12分) 已知:拋物線m 焦點(diǎn)為 ，以 為圓心的圓 過(guò)原點(diǎn) ，過(guò) 引斜率為 的直線與拋物線 和圓 從上至下順次交于A、B、C、D.若 .
(1) 求拋物線方程.
(2)當(dāng)為 何值時(shí), 、 、 的面積成等差數(shù)列;
(3)設(shè)M為拋物線上任一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為H.在圓 上是否存在點(diǎn)N，使 的最大值，若存在，求出 的最大值;若不存在，說(shuō)明理由.
數(shù)學(xué)(文)參考答案
一、選擇題 DBCDB CCDCA BA
12.
當(dāng)且僅當(dāng)M、A、B共線時(shí)， 周長(zhǎng)的最小
二、填空題(每小題5分，共20分)
13. 14.1 15. 16.
16.解：由題意知：連接 的直線為 軸，線段 的中點(diǎn)為原點(diǎn).
對(duì)于拋物線，有 ,所以， .
因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是 .
所以，所 求拋物線的方程為 .
三、解答題
17.解：(1)
或
或 (5分)
(2) 是 的充分不必 要條件 是 的充分不必要條件
化簡(jiǎn) ， 設(shè)
則 且 (10分)
18. 解: (1) 的定義域?yàn)?. (3分)
(2) ，得 ，(5分)
�、佼�(dāng) 時(shí)，在 上 ;在 上
的遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為 (9分)
�、诋�(dāng) 時(shí)，在 上 ;在 上
的遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為 (12分)
19.解:設(shè) ，得 ，
2
有最大值 ;最小值 (6分)
則命題 成立得 ;命題 成立得
由命題“ ∨ ”為真命題，“ ∧ ”為假命題。則 一真一假
若 真 假，則 ;若 真 假，則
所以，實(shí)數(shù) 的取值范圍為 (12分)
20.(1)由題意雙曲線為 為等軸雙曲線
則 ，得橢圓的離心率為 (4分)
(2) 周長(zhǎng)為 8,可得：橢圓為： , (6分)
設(shè)PQ為 代入橢圓得 (8分)
(10分)
令 ;則 .(顯然當(dāng) 即 時(shí)最大)(12分)
法二:由對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)PQ的傾斜角為 . ,
周長(zhǎng)為 8,可得：橢圓為： ,
設(shè)PQ為 其中 代入橢圓得
又焦點(diǎn)弦
，顯然 時(shí)取最大.
法三: 周長(zhǎng)為 8,可得：橢圓為： ,
由對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)PQ的傾斜角為 . ,
又 (其中 )
21.解:(1) 得 ;
在 和 上為增函數(shù);在 上為減函數(shù)
(也可由 的圖像得單調(diào)性)
函數(shù) 的極大值點(diǎn)為 ，極小值點(diǎn)為 (6分)
(2)若 恰好有三個(gè)零點(diǎn)，則 又 得 (12分)
22.解:(1)由題 意 , ;直線AD為
;
聯(lián)立 得
由違達(dá)定理得 ∴
∴拋物線方程 ……5分
(2) 由 、 、 的面積成等差數(shù)列
得 (即弦長(zhǎng) )
∴ ∴ ……9分
(或 )
(3)由定義
∴存在 點(diǎn)N，使 的取得最大值為4 ……12分
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