最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)奧數(shù)競(jìng)賽題
1、最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)奧數(shù)競(jìng)賽題：從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數(shù)(至少選一個(gè)，不能不選)，使它們的和為4的倍數(shù)，一共有幾種方法?
2、一個(gè)回文數(shù)是指從首位數(shù)讀到末位數(shù)，與從末位數(shù)讀到首位數(shù)都相同的數(shù)(例如：11511，22222，10001)。請(qǐng)問可被11整除的五位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)與全部五位數(shù)的回文數(shù)的個(gè)數(shù)之比是多少?答案請(qǐng)用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示。
1.從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數(shù)(至少選一個(gè)，不能不選)，使它們的.和為4的倍數(shù)，一共有幾種方法?
解答：先從3,4,5,6,7,8中隨便選幾個(gè)(可以不選)。之后根據(jù)在3,4,5,6,7,8中選出數(shù)的和除以4的余數(shù)來決定選不選1,2，方法如下：若那個(gè)和除以4余1則1,2都選;余2則選2不選1;余3則選1不選2;余0則都不選。這樣總共有2的6次方共64種方法，但是其中有一種一個(gè)數(shù)都不選的方法，需要去掉，故滿足條件的選法有63種。
2.一個(gè)回文數(shù)是指從首位數(shù)讀到末位數(shù)，與從末位數(shù)讀到首位數(shù)都相同的數(shù)(例如：11511，22222，10001)。請(qǐng)問可被11整除的五位數(shù)的回文數(shù)個(gè)數(shù)與全部五位數(shù)的回文數(shù)的個(gè)數(shù)之比是多少?答案請(qǐng)用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示。
解答：五位回文數(shù)的一般形式為ABCDE，所以五位回文數(shù)共有9×10×10=900個(gè)。若五位回文數(shù)能被11整除，則2a+c與2b的差是11的倍數(shù)，即2a+c-2b=11，2a+c-2b=22，2b-(2a+c)=11或2b=2a+c。
若2a+c-2b=11，則c為奇數(shù)，當(dāng)c=1時(shí)，a-b=5，b=0，1，2，3，4;當(dāng)c=3時(shí)，a-b=4，b=0，1，2，3，4，5;當(dāng)c=5時(shí)，a-b=3，b=0，1，2，3，4，5，6;當(dāng)c=7時(shí)，a-b=2，b=0，1，2，3，4，5，6，7;當(dāng)c=9時(shí)，a-b=1，b=0，1，2，3，4，5，6，7，8。共35個(gè)數(shù)。
若2a+c-2b=22，則c為偶數(shù)，且不小于4，當(dāng)c=4時(shí)，a-b=9，b=0;當(dāng)c=6時(shí)，a-b=8，b=0，1;當(dāng)c=8時(shí)，a-b=7，b=0，1，2。共6個(gè)數(shù)。
若2b-(2a+c)=11，則c為奇數(shù)，當(dāng)c=1時(shí)，b-a=6，a=1，2，3;當(dāng)c=3時(shí)，b-a=7，a=1，2;當(dāng)c=5時(shí)，b-a=8，a=1;c=7或9時(shí)，a和b無法同時(shí)為1位數(shù)，所以共有6個(gè)數(shù)。
若2b=2a+c，則c為偶數(shù)，當(dāng)c=0時(shí)，a=b，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9;當(dāng)c=2時(shí)，b=a+1，a=1，2，3，4，5，6，7，8;當(dāng)c=4時(shí)，b=a+2，a=1，2，3，4，5，6，7;當(dāng)c=6時(shí)，b=a+3，a=1，2，3，4，5，6;當(dāng)c=8時(shí)，b=a+4，a=1，2，3，4，5。共35個(gè)數(shù)。
所以能被11整除的五位回文數(shù)有35+6+6+35=82個(gè)，與全部五位回文數(shù)的個(gè)數(shù)之比為41/450
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