關(guān)于六年級奧數(shù)數(shù)論綜合講座
【分析與解】555555=5×111×1001
數(shù)論綜合
進位制的概念、四則運算法則及整數(shù)在不同進位制之間的轉(zhuǎn)化，利用恰當?shù)倪M位制解數(shù)論問題．取整符號[]與取小數(shù)部分符號{}的定義與基本性質(zhì)，包含這兩種符號的算式與方程的求解．兩次與分式不定方程，不便直接轉(zhuǎn)化為不定方程的數(shù)論問題．各種數(shù)論證明題．
典型問題
【分析與解】 注意到尾數(shù)，在足夠大的進位制中有乘積的個位數(shù)字為4×5=20，但是現(xiàn)在為4，說明進走20－4=16，所以進位制為16的約數(shù)：16、8、4、2．
2．求方程19[x]－96{x}=0的解的個數(shù)．
【分析與解】 有{x}為一個數(shù)的小數(shù)部分，顯然小于1，則96{x}小于96，而19[x]=96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于 ，又[x]為整數(shù)，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，對應(yīng)有6組解．
4．將 表示成兩個自然數(shù)的倒數(shù)之和，請給出所有的答案．
【分析與解】 記標有1為第1號，序號順時針的依次增大．當超過一圈時，編號仍然依次增加，如1號也是2001號，4001號，……
4.對于兩個不同的整數(shù)，如果它們的積能被和整除，就稱為一對“好數(shù)”，例如70與30．那么在1，2，…，16這16個整數(shù)中，有“好數(shù)”多少對?
6．甲、乙兩人進行下面的游戲：兩人先約定一個自然數(shù)N，然后由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)字中的一個填入圖28-1的.某個方格中，每一方格只能填一個數(shù)字，但各方格所填的數(shù)字可以重復(fù)．當6個方格都填有數(shù)字后，就形成一個六位數(shù)．如果這個六位數(shù)能被N整除，那么乙獲勝；如果這個六位數(shù)不能被N整除，那么甲獲勝．設(shè)N小于15，問當N取哪幾個數(shù)時．乙能取勝?
8.已知 與 的最大公約數(shù)是12， 與 的最小公倍數(shù)是300， 與 的最小公倍數(shù)也是300．那么滿足上述條件的自然數(shù) ， ， 共有多少組?
10．圓周上放有N枚棋子，如圖28-2所示，B點的那枚棋子緊鄰A點的棋子．小洪首先拿走B點處的1枚棋子，然后沿順時針方向每隔1枚拿走2枚棋子，這樣連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次越過A．當將要第10次越過A處棋子取走其他棋子時，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20多枚棋子．若N是14的倍數(shù)，請精確算出圓周上現(xiàn)在還有多少枚棋子?
【分析與解】 設(shè)圓周上余 枚棋子，從第9次越過A處拿走2枚棋子到第10次將要越過A處棋子時，小洪拿了2 枚棋子，所以在第9次將要越過A處棋子時，圓周上有3 枚棋子． ．
12．是否存在一個六位數(shù)A，使得A，2A，3A，…，500000A中任意一個數(shù)的末尾6個數(shù)碼不全相同?
a987654
2．老師在黑板上依次寫了三個數(shù)21、7、8，現(xiàn)在進行如下的操作，每次將這三個數(shù)中的某些數(shù)加上2，其他數(shù)減去1，試問能否經(jīng)過若干次這樣的操作后，使得：
3．對于n個奇質(zhì)數(shù)，如果其中任意奇數(shù)個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)，那么稱這些數(shù)構(gòu)成“奇妙數(shù)組”，而n就是這個數(shù)組的“階數(shù)”．例如11，13，17就是“奇妙數(shù)組”，因為11，13，17和11+13+17=41都是質(zhì)數(shù)．
有7，13，11，23滿足(和依次為47，4l，43，31)．它們的乘積為7×13×11×23=23023．所以4階“奇妙數(shù)組”的4個數(shù)最小乘積為23023．
評注：四階的“奇妙數(shù)組”還有很多，如97，13，41，53．它們的三個數(shù)和依次為107，191，163，
151均是質(zhì)數(shù)．
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