高二數(shù)學(xué)排列組合的知識(shí)點(diǎn)
1。排列及計(jì)算公式
從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)p（n，m）表示。
p（n，m）=n（n—1）（n—2）（n—m+1）=n！/（n—m）�。ㄒ�(guī)定0！=1）。
2。組合及計(jì)算公式
從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào)c（n，m）表示。
c（n，m）=p（n，m）/m！=n！/（（—m）！*m�。籧（n，m）=c（n，n—m）；
3。其他排列與組合公式
從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=p（n，r）/r=n！/r（n—r）！。
n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1，n2，。。。nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為n！/（n1！*n2！*。。。*nk�。�。
k類元素，每類的個(gè)數(shù)無限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c（m+k—1，m）。
排列（Pnm（n為下標(biāo)，m為上標(biāo)））
Pnm=n（n—1）。。。。（n—m+1）；Pnm=n！/（n—m）！（注：！是階乘符號(hào)）；Pnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)）=n��；0！=1；Pn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n
組合（Cnm（n為下標(biāo)，m為上標(biāo)））
Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m�。╪—m）！；Cnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)）=1；Cn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n；Cnm=Cnn—m
2008—07—0813：30
公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N—元素的總個(gè)數(shù)R參與選擇的元素個(gè)數(shù)！—階乘，如9！=9*8*7*6*5*4*3*2*1
從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n*（n—1）*（n—2）。。（n—r+1）；
因?yàn)閺膎到（n—r+1）個(gè)數(shù)為n—（n—r+1）=r
舉例：
Q1：有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？
A1：123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于排列P計(jì)算范疇。
上問題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988，997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9—1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9—1—1種可能，最終共有9*8*7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式=P（3，9）=9*8*7，（從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）
Q2：有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，如果三個(gè)一組，代表三國(guó)聯(lián)盟，可以組合成多少個(gè)三國(guó)聯(lián)盟？
A2：213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于組合C計(jì)算范疇。
上問題中，將所有的包括排列數(shù)的.個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C（3，9）=9*8*7/3*2*1
排列、組合的概念和公式典型例題分析
例1設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組。
�。�1）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；
�。�2）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加。各有多少種不同方法？
解
（1）由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法。
�。�2）由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法。
點(diǎn)評(píng)
由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算。
例2排成一行
其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？
解依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排、、中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫樹圖的方式逐一排出：符合題意的不同排法共有9種。
點(diǎn)評(píng)
按照分類的思路，本題應(yīng)用了加法原理。為把握不同排法的規(guī)律，樹圖是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型。
例3判斷
下列問題是排列問題還是組合問題？并計(jì)算出結(jié)果。
（1）高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：
�、倜�?jī)扇嘶ネㄒ环庑�，共通了多少封信�?/p>
�、诿�?jī)扇嘶ノ樟艘淮问郑参樟硕嗌俅问郑?/p>
�。�2）高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：
①從中選一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，共有多少種不同的選法？
�、趶闹羞x2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法？
（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：
�、購闹腥稳蓚�(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？
�、趶闹腥稳蓚�(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？
（4）有8盆花：
�、購闹羞x出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？
�、趶闹羞x出2盆放在教室有多少種不同的選法？
分析（1）
�、儆捎诿咳嘶ネㄒ环庑牛捉o乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；
�、谟捎诿�?jī)扇嘶ノ找淮问郑着c乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題。其他類似分析。
（1）①是排列問題，共用了封信；②是組合問題，共需握手（次）。
（2）①是排列問題，共有（種）不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法。
�。�3）①是排列問題，共有種不同的商；②是組合問題，共有種不同的積。
�。�4）①是排列問題，共有種不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法。
例4證明。
證明左式
右式。
等式成立。
點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過程得以簡(jiǎn)化。
例5化簡(jiǎn)。
解法一原式
解法二原式
點(diǎn)評(píng)解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過程得以簡(jiǎn)化。
例6解方程：（1）；（2）。
解（1）原方程
解得。
�。�2）原方程可變?yōu)?/p>
原方程可化為。
即，解得
第六章排列組合、二項(xiàng)式定理
一、考綱要求
1。掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡(jiǎn)單的問題。
2。理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問題。
3。掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問題。
二、知識(shí)結(jié)構(gòu)
三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示
�。ㄒ唬┘臃ㄔ沓朔ㄔ�
說明加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù)。
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