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數(shù)列公式大全
數(shù)列公式大全1
公式
Sn=(a1+an)n/2
Sn=na1+n(n-1)d/2; （d為公差）
Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)
和為 Sn
首項(xiàng) a1
末項(xiàng) an
公差d
項(xiàng)數(shù)n
通項(xiàng)
首項(xiàng)=2×和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng)
末項(xiàng)=2×和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng)
末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差
項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）（除以）/ 公差+1
公差=如：1+3+5+7+……99 公差就是3-1
d=an-a
性質(zhì)：
若 m、n、p、q∈N
�、偃鬽+n=p+q，則am+an=ap+aq
�、谌鬽+n=2q，則am+an=2aq
注意：上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項(xiàng)。
數(shù)列公式大全2
嚴(yán)老師的課堂最大的亮點(diǎn)就是師生互動(dòng)如行云流水，如春風(fēng)拂面，如魚(yú)翔淺底，輕松活潑，而又不乏智慧的光芒，學(xué)生參與熱情高，學(xué)習(xí)氛圍好。這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)就是讓學(xué)生通過(guò)對(duì)例題及其變式的思考，體會(huì)“利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式”的方法（如定義法、累加法、待定系數(shù)法等）和化歸思想 。其實(shí)，此類問(wèn)題既是數(shù)列教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題，也是江蘇高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。總體而言，在嚴(yán)老師的引導(dǎo)下，學(xué)生基本達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，高一學(xué)生能做到這一點(diǎn)已經(jīng)難能可貴了。筆者建議，是不是可以突破例題和練習(xí)的界限，進(jìn)行如下的教學(xué)設(shè)計(jì)：
在數(shù)列中，已知，其前項(xiàng)和為，根據(jù)下列條件，分別求數(shù)列的.通項(xiàng)公式。
教師一定要敢于放開(kāi)手讓學(xué)生去思考，去板演，看看他（她）有什么想法，或者有什么困惑，然后再讓學(xué)生進(jìn)行交流，教師要做的就是引導(dǎo)、點(diǎn)評(píng)和總結(jié)。學(xué)生有了這樣的經(jīng)歷和體驗(yàn)之后，對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和理解應(yīng)該會(huì)更深刻。另外，對(duì)累加法的應(yīng)用，筆者認(rèn)為還是化成差的形式，即“ ”操作起來(lái)更方便一些。以上只是個(gè)人的一點(diǎn)不成熟的想法，請(qǐng)大家批評(píng)指正。
數(shù)列公式大全3
等差數(shù)列公式an=a1+(n-1)d
a1為首項(xiàng)，an為第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，d為公差
前n項(xiàng)和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q則：存在am+an=ap+aq
若m+n=2p則：am+an=2ap
以上n.m.p.q均為正整數(shù)
文字翻譯
第n項(xiàng)的值an=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差
前n項(xiàng)的和Sn=首項(xiàng)×n+項(xiàng)數(shù)(項(xiàng)數(shù)-1）公差/2
公差d=(an-a1)÷（n-1）
項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1
數(shù)列為奇數(shù)項(xiàng)時(shí)，前n項(xiàng)的.和=中間項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)
數(shù)列為偶數(shù)項(xiàng)，求首尾項(xiàng)相加，用它的和除以2
等差中項(xiàng)公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差數(shù)列
通項(xiàng)公式
公差×項(xiàng)數(shù)+首項(xiàng)-公差
數(shù)列公式大全4
一、分組轉(zhuǎn)化求和法
若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成，則求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時(shí)可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項(xiàng)――重新分組――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和
解由和式可知，式中第n項(xiàng)為an=n（3n+1）=3n2+n
∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）
=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）
=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2
=n（n+1）2
二、奇偶分析求和法
求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，如果需要對(duì)n進(jìn)行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
分析：觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項(xiàng)數(shù)n的奇偶性有關(guān)，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項(xiàng)求和法求的結(jié)果。
解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2
=-n2-n2+n2+n2=n
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2
=-n2+n2+n2-n2=-n
綜上所述，Sn=（-1）nn
三、并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn中，某些項(xiàng)合在一起就具有特殊的'性質(zhì)，因此可以幾項(xiàng)結(jié)合求和，再求Sn，稱之為并項(xiàng)求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項(xiàng)合并求解。如例3中可用并項(xiàng)求和法求解。
例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002
解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）
=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050
四、基本公式法
如果一個(gè)數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項(xiàng)為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。
常用公式有
�。�1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2
�。�2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）
（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2
�。�4）1+3+5+…+2n-1=n2
（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）
�。�6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）
（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2
例1：已知等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=12n-1，設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求Sn。
解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12
∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1
五、裂項(xiàng)相消法
如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式能拆分成兩項(xiàng)差的形式，并且相加過(guò)程中可以互相抵消至只剩下有限項(xiàng)時(shí)，這時(shí)只需求有限項(xiàng)的和，把這種求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的方法叫做裂項(xiàng)相消法。
裂項(xiàng)相消法中常用的拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化公式有：
（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）
（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）
�。�3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]
（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），
其中n∈N，k∈R且k≠0
例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。
解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）
∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n
=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）
=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）
=2（1-1n+1）=2nn+1
數(shù)列公式大全5
不過(guò)一般分小題、有梯度設(shè)問(wèn)，往往是第1小題就是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，難度適中，一般考生可突破，爭(zhēng)取分?jǐn)?shù)，而且是做第2小題的基礎(chǔ)，因此，求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題方法、技巧，每一位考生都必須熟練掌握。求數(shù)列通項(xiàng)公式的題型很多，不同的題型有不同的解決方法。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勄髷?shù)列通項(xiàng)公式的解題思路。
一、已知數(shù)列的前幾項(xiàng)
已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式。通過(guò)觀察找規(guī)律，分析出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，從而求出通項(xiàng)公式。這種方法稱為觀察法，也即是歸納推理。
例1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式
（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……
�。�2）9，99，999，……
分析：（1）0=12——1/2，每一項(xiàng)的分子是項(xiàng)數(shù)的平方減去1，分母是項(xiàng)數(shù)加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其實(shí)，該數(shù)列各項(xiàng)可化簡(jiǎn)為0，1，2，3，……，易知an＝n——1。
�。�2）各項(xiàng)可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。
此題型主要通過(guò)讓學(xué)生觀察、試驗(yàn)、歸納推理等活動(dòng)，且在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過(guò)比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式an，主要通過(guò)an與Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）
例2、已知數(shù)列{an }的`前n項(xiàng)和Sn=2n+3，求an
分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an
Sn——1＝a1+a2 +……+an——1
上兩式相減得 Sn -Sn——1=an
解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=5
當(dāng)n≥2時(shí)，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1
∵n=1不適合上式
∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）
三、已知an與Sn關(guān)系
已知數(shù)列的第n項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn間的關(guān)系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先將Sn與an的關(guān)系轉(zhuǎn)化為an與an——1的關(guān)系，再根據(jù)與的關(guān)系特征分為如下幾種類型。不同的類型，要用不同的方法解決。
（1）an=an——1+k。數(shù)列屬等差數(shù)列，直接代公式可求通項(xiàng)公式。
例3、已知數(shù)列{an}，滿足a1=3，an=an——1+8，求an。
分析：由已知條件可知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，直接代公式可求得an=8n-5。
�。�2）an=kan——1（k為常數(shù)）。數(shù)列屬等比數(shù)列，直接代公式可求通項(xiàng)公式。
例4、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）
求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
分析：根據(jù)an與Sn的關(guān)系，將an+1=2Sn+1轉(zhuǎn)化為an與an+1的關(guān)系。
解：由an+1=2Sn+1
得an=2Sn-1+1（n≥2）
兩式相減，得an+1-an=2an
∴an+1=3an （n≥2）
∵a2=2Sn+1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列
∴an=3n-1
�。�3）an+1=an+f（n），用疊加法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2=a1+f（1）
a3=a2+f（2）
a4=a3+f（3）
……
+）an=an——1+f（n-1）
an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）
例5、若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+2n
則{an}的通項(xiàng)公式=（ ）
解：∵an+1=an+2n
∴a2 =a1+2×1
a3=a2+2×2
a4=a3+2×3
……
+）an=an——1+2（n-1）
an=a1+2（1+2+3+…+n-1）
=2+2×（1+n-1）（n-1）
=n2-n+2
（4）an+1=f（n）an，用累積法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3
……
×）an=f（n-1）an-1
an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）
例6、若數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2n+an，則an=（ ）
解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1
a3=22a2 a4=23a3
……
×） an=2n——1·an——1
an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2
（5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）
an+1=an+p·qn（pq≠0），
an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）
（p、q、r為常數(shù)）
這些類型均可用構(gòu)造法或迭代法。
①an=pan——1+q （p、q為常數(shù)）
構(gòu)造法：將原數(shù)列的各項(xiàng)均加上一個(gè)常數(shù)，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，然后，求出該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再還原為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
將關(guān)系式兩邊都加上x(chóng)
得an+x=Pan——1+q+x
=P（an——1 + q+x/p）
令x=q+x/p，得x=q/p-1
∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）
∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1為首項(xiàng)，P為公比的等比數(shù)列。
∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1
∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1
迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q
=p2（（pan-3+q）+pq+q……
例7、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an
解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N+）
兩式相減得an=2an-1+1
兩邊加1得an+1=2（an-1+1） （n≥2，n∈N+）
構(gòu)造成以2為公比的等比數(shù)列{an+1}
�、赼n=Pan-1+f（n）
例8、數(shù)列{an}中，a1為常數(shù)，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）
證明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5
分析：這道題是證明題，最簡(jiǎn)單的方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)用構(gòu)造法和迭代法來(lái)證明。
方法一：構(gòu)造公比為-2的等比數(shù)列{an+λ·3n}
用比較系數(shù)法可求得λ=-1/5
方法二：構(gòu)造等差型數(shù)列{an/（-2）n}。由已知兩邊同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用疊加法處理。
方法三：迭代法。
an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1
=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5
�、踑n+1=λan+p·qn（pq≠0）
（�。┊�(dāng)λ=qn+1時(shí)，等式兩邊同除以，就可構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列{an/qn}。
例9、在數(shù)列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。
分析：在an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1
∴{an/2n}是以a1/2=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。
�。áⅲ┊�(dāng)λ≠q時(shí)，等式兩邊同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。
例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an
分析：從an=3an-1+2n-1兩邊都除以2n，
得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2
令an/2n=bn
則bn=3/2bn-1+1/2
�、躠n=p（an——1）q（p、q為常數(shù)）
例11、已知an=1/a an——12，首項(xiàng)a1，求an。
方法一：將已知兩邊取對(duì)數(shù)
得lgan=2lgan——1-lga
令bn=lgan
得bn=2bn-1-lga，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。
方法二：迭代法
an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2
=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23
=……=a·（a1/a）2n——1
⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r為常數(shù)，pr≠0，q≠r）
將等式兩邊取倒數(shù)，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再構(gòu)造成等比數(shù)列求an。
例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an
解：∵an+1=an/an+2
∴1/an+1=2·1/an+1
兩邊加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）
∴{1/an+1}是以1/an+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴ 1/an+1=2×2n-1=2n
∴an=1/2n-1
以上羅列出求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題思路雖然很清晰，但是一般考生對(duì)第三項(xiàng)中的5種類型題用構(gòu)選法和迭代法都比較困難的。遇到此情況，可轉(zhuǎn)化為第一種類型解決，即從an與Sn的關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，用觀察法求an。
數(shù)列公式大全6
目的：
要求學(xué)生理解數(shù)列的概念及其幾何表示，理解什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式，給出一些數(shù)列能夠?qū)懗銎渫?xiàng)公式，已知通項(xiàng)公式能夠求數(shù)列的項(xiàng)。
重點(diǎn)：
1數(shù)列的概念。
按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的通項(xiàng)（或一般項(xiàng)）。由數(shù)列定義知：數(shù)列中的數(shù)是有序的，數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，這與數(shù)集中的數(shù)的無(wú)序性、互異性是不同的。
2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，如果數(shù)列{an}的通項(xiàng)an可以用一個(gè)關(guān)于n的.公式來(lái)表示，這個(gè)公式就叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。
從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或?qū)挼挠邢拮蛹┑暮瘮?shù)。當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時(shí)對(duì)自學(xué)成才的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式則是相應(yīng)的解析式。由于數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值，序號(hào)是自變量，所以以序號(hào)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)畫(huà)出的圖像是一些孤立的點(diǎn)。
難點(diǎn)：
根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)的特點(diǎn)，以現(xiàn)規(guī)律后寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式。給出數(shù)列的前若干項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般比較困難，且有的數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式，如果有通項(xiàng)公式也不一定唯一。給出數(shù)列的前若干項(xiàng)要確定其一個(gè)通項(xiàng)公式，解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是找出已知的每一項(xiàng)與其序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后抽象成一般形式。
過(guò)程：
一、從實(shí)例引入（P110）
1． 堆放的鋼管 4,5,6,7,8,9,102． 正整數(shù)的倒數(shù) 3． 4． -1的正整數(shù)次冪：-1,1,-1,1,…5． 無(wú)窮多個(gè)數(shù)排成一列數(shù)：1,1,1,1,…
二、提出課題：
數(shù)列
1．?dāng)?shù)列的定義：
按一定次序排列的一列數(shù)（數(shù)列的有序性）
2． 名稱：
項(xiàng)，序號(hào)，一般公式 ，表示法
3． 通項(xiàng)公式：
與 之間的函數(shù)關(guān)系式如 數(shù)列1： 數(shù)列2： 數(shù)列4：
4． 分類：
遞增數(shù)列、遞減數(shù)列；常數(shù)列；擺動(dòng)數(shù)列； 有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列。
5． 實(shí)質(zhì)：
從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，通項(xiàng)公式即相應(yīng)的函數(shù)解析式。
6． 用圖象表示：
— 是一群孤立的點(diǎn) 例一 （P111 例一 略）
三、關(guān)于數(shù)列的通項(xiàng)公式
1． 不是每一個(gè)數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式 （如數(shù)列3）
2． 數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一 如： 數(shù)列4可寫(xiě)成 和
3． 已知通項(xiàng)公式可寫(xiě)出數(shù)列的任一項(xiàng)，因此通項(xiàng)公式十分重要例二 （P111 例二）略
四、補(bǔ)充例題：
寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前 項(xiàng)分別是下列各數(shù)：1．1，0，1，0． 2． ， ， ， ， 3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5． ， ， ，
五、：
1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
2．觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
六、作業(yè)：
練習(xí) P112 習(xí)題 3．1（P114）1、2
七、練習(xí)：
1．觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，關(guān)寫(xiě)出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；（1） ， ， ，（ ）， ， …（2） ，（ ）， ， ， …
2．寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1）1、 、 、 ； （2） 、 、 、 ； （3） 、 、 、 ； （4） 、 、 、
3．求數(shù)列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個(gè)通項(xiàng)公式
4．已知數(shù)列an的前4項(xiàng)為0， ，0， ，則下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作為數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③
5．已知數(shù)列1， ， ， ，3， …， ，…，則 是這個(gè)數(shù)列的（ ）A． 第10項(xiàng) B.第11項(xiàng) C.第12項(xiàng) D.第21項(xiàng)
6．在數(shù)列{an}中a1=2,a17=66,通項(xiàng)公式或序號(hào)n的一次函數(shù)，求通項(xiàng)公式。
7．設(shè)函數(shù) （ ），數(shù)列{an}滿足
�。�1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
�。�2）判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性。
8．在數(shù)列{an}中，an=
（1）求證：數(shù)列{an}先遞增后遞減；
�。�2）求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)。
答案：
1.（1） ，an= （2） ，an=
2．（1）an= （2）an= （3）an= （4）an=
3．a(chǎn)n= 或an= 這里借助了數(shù)列1，0，1，0，1，0…的通項(xiàng)公式an= 。
4．D
5.B
6. an=4n-2
7．（1）an= (2)<1又an<0, ∴ 是遞增數(shù)列
數(shù)列公式大全7
1、愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“興趣是最好的老師�！毙抡n程的教材比以前有了更多的背景足以說(shuō)明。本節(jié)也以國(guó)際象棋的故事為引例來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然而卻在求和公式的證明中以“我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比乘…”一筆帶過(guò)，這個(gè)“發(fā)現(xiàn)”卻不是普通學(xué)生能做到的，他們只能驚嘆于解法的神奇，而求知欲卻會(huì)因其“技巧性太大”而逐步消退。因此如何在有趣的數(shù)學(xué)文化背景下進(jìn)一步拓展學(xué)生的視野，使數(shù)學(xué)知識(shí)的`發(fā)生及形成更為自然，更能貼近學(xué)生的認(rèn)知特征，是每一位教師研討新教材的重要切入點(diǎn)。
2、“課程內(nèi)容的呈現(xiàn)，應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則。”“教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實(shí)例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈。”這些都是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)教材編寫(xiě)的建議，更是對(duì)課堂教學(xué)實(shí)踐的要求。然而，在新課程的教學(xué)中，“穿新鞋走老路”仍是常見(jiàn)的現(xiàn)狀，“重結(jié)果的應(yīng)用，輕過(guò)程的探究”或者是應(yīng)試教育遺留的禍根，卻更與教材的編寫(xiě)，教師對(duì)《課程標(biāo)準(zhǔn)》、教材研究的深淺有關(guān)，更與課堂教學(xué)實(shí)踐密切相關(guān)。我們也曾留足時(shí)間讓學(xué)生思考，卻沒(méi)有人能“發(fā)現(xiàn)”用“公比乘以①的兩邊”，設(shè)計(jì)“從特殊到一般”即由2，3，4，…到q，再到 ，也是對(duì)教學(xué)的不斷實(shí)踐與探索的成果。因此，新課程教材留給教師更多發(fā)展的空間，每位教師有責(zé)任也應(yīng)當(dāng)深刻理會(huì)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，認(rèn)真鉆研教材，促進(jìn)《標(biāo)準(zhǔn)》及教材更加符合學(xué)生的實(shí)際。
3、先看文[1]由學(xué)生自主探究而獲得的兩種方法：
且不說(shuō)初中教材已經(jīng)把等比定理刪去，學(xué)生能獲得以上兩種方法并不比發(fā)現(xiàn)乘以來(lái)得容易，無(wú)奈之下，有的教師便用“欣賞”來(lái)走馬觀花地讓學(xué)生感受一下，這當(dāng)然更不可取。
回到乘比錯(cuò)位相減法，其實(shí)要獲得方法1并不難：可以用q乘以 ，那么是否可以在 的右邊提出一個(gè)q呢？請(qǐng)看：
與 比較，右邊括號(hào)中比少了一項(xiàng)： ，則有
以上方法僅須教師稍作暗示，學(xué)生都可完成。
對(duì)于方法2，若去掉分母有 ，與方法1是一致的。
4、在導(dǎo)出公式及證明中值得花這么多時(shí)間嗎？或者直接給出公式，介紹證明，可留有更多的時(shí)間供學(xué)生練習(xí)，以上過(guò)程，教師講的是不是偏多了？
如果僅僅是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何應(yīng)試，誠(chéng)然以上的過(guò)程將不為人所喜歡，因?yàn)榘创诉^(guò)程，一節(jié)課也就差不多把公式給證明完，又哪來(lái)例題與練習(xí)的時(shí)間呢？
但是我們要追問(wèn)：課堂應(yīng)教給學(xué)生什么呢？課堂教學(xué)應(yīng)從龐雜的知識(shí)中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系，挖掘書(shū)本背后的數(shù)學(xué)思想，挖掘出基于學(xué)生發(fā)展的知識(shí)體系，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動(dòng)。因此，本課例在公式的推導(dǎo)及證明中舍得花大量時(shí)間，便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)探究與學(xué)習(xí)，其價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了公式的應(yīng)用。
數(shù)列公式大全8
在高一（5）班上好“等差數(shù)列求和公式”這一堂課后，通過(guò)和學(xué)生的互動(dòng)，我對(duì)求和公式上課時(shí)遇到的幾點(diǎn)問(wèn)題提出了一點(diǎn)思考：
一、對(duì)內(nèi)容的理解及相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)
1、“數(shù)列前n項(xiàng)的和”是針對(duì)一般數(shù)列而提出的一個(gè)概念，教材在這里提出這個(gè)概念只是因?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容首次研究數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意“從等差數(shù)列中跳出來(lái)”學(xué)習(xí)這個(gè)概念，以免學(xué)生誤認(rèn)為這只是等差數(shù)列的一個(gè)概念。
2、等差數(shù)列求和公式的教學(xué)重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)過(guò)程，從“掌握公式”來(lái)解釋，應(yīng)該使學(xué)生會(huì)推導(dǎo)公式、理解公式和運(yùn)用公式解決問(wèn)題。其實(shí)還不止這些，讓學(xué)生體驗(yàn)推導(dǎo)過(guò)程中所包含的數(shù)學(xué)思想方法才是更高境界的教學(xué)追求，這一點(diǎn)后面再作展開(kāi)。本節(jié)課在這方面有設(shè)計(jì)、有突破，但教師組織學(xué)生討論與交流的環(huán)節(jié)似乎還不夠充分，因?yàn)檫@個(gè)層面上的學(xué)習(xí)更側(cè)重于讓學(xué)生“悟”。
3、用公式解決問(wèn)題的內(nèi)容很豐富。本節(jié)課只考慮“已知等差數(shù)列，求前n項(xiàng)”的問(wèn)題，使課堂不被大量的變式問(wèn)題所困擾，而能專心將教學(xué)的重點(diǎn)放在公式的推導(dǎo)過(guò)程。這樣的處理比較恰當(dāng)。
二、求和公式中的數(shù)學(xué)思想方法
在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的過(guò)程中，有兩種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法。一種是從特殊到一般的探究思想方法，另一種是從一般到特殊的化歸思想方法。
從特殊到一般的探究思想方法大家都很熟悉，本節(jié)課基本按教材的設(shè)計(jì)，依次解決幾個(gè)問(wèn)題。
從一般到特殊的化歸思想方法的揭示是本節(jié)課的最大成功之處。以往人們常常只注意到“倒序相加”是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的關(guān)鍵，而忽視了對(duì)為什么要這樣做的思考。同樣是求和，與的本質(zhì)區(qū)別是什么？事實(shí)上，前者是100個(gè)不相同的數(shù)求和，后者是50個(gè)相同數(shù)的求和，求和的本質(zhì)區(qū)別并不在于是100個(gè)還是50個(gè)，而在于“相同的數(shù)”與“不相同的數(shù)”。相同的數(shù)求和是一個(gè)極其簡(jiǎn)單并且在乘法中早已解決了的問(wèn)題，將不“相同的數(shù)求和”（一般）化歸為“相同數(shù)的求和”（特殊），這就是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的.思想精髓。不僅如此，將一般的求和問(wèn)題化歸為我們會(huì)求（特殊）的求和問(wèn)題這種思想還將在以后的求和問(wèn)題中反復(fù)體現(xiàn)。
在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，其實(shí)有這樣一個(gè)問(wèn)題鏈：
為什么要對(duì)和式分組配對(duì)？（因?yàn)橄朕D(zhuǎn)化為相同數(shù)求和）
為什么要“倒序相加”？（因?yàn)榭梢员苊忭?xiàng)數(shù)奇偶性討論）
為什么“倒序相加”能轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和？（因?yàn)榈炔顢?shù)列性質(zhì)）
由此可見(jiàn)，“倒序相加”只是一種手段和技巧，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和是解決問(wèn)題的思想，等差數(shù)列自身的性質(zhì)是所采取的手段能達(dá)到目的的根本原因。
三、幾點(diǎn)看法
1、注意挖掘基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)內(nèi)涵
對(duì)待概念、公式等內(nèi)容，如果只停留在知識(shí)自身層面，那么教學(xué)常常會(huì)落入死記硬背境地。其實(shí)越是基礎(chǔ)的東西其所包含的思想方法往往越深刻，值得大家?guī)ьI(lǐng)學(xué)生去認(rèn)真體驗(yàn)，當(dāng)然這樣的課不好上。
2、用好教材
現(xiàn)在的教材有不少好的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要教師認(rèn)真對(duì)待，反復(fù)領(lǐng)會(huì)教材的意圖。當(dāng)然，由于教材的客觀局限性，還需要教師去處理教材。譬如本節(jié)課，課堂所呈現(xiàn)的基本上是教材的內(nèi)容順序和教學(xué)設(shè)計(jì)，但面對(duì)教材所給的全部?jī)?nèi)容時(shí)，課堂能否在某個(gè)環(huán)節(jié)上停下來(lái)，能否合理地選取教材的一部分內(nèi)容作為這一節(jié)課的內(nèi)容，而將其他的內(nèi)容留到后面的課，這就體現(xiàn)教師的認(rèn)識(shí)和處理教材的水平。
3、學(xué)無(wú)止境
一堂課所要追求的教學(xué)價(jià)值當(dāng)然是盡量能多一些更好，但應(yīng)分清主次。譬如本節(jié)課還用了幾個(gè)“實(shí)際生活問(wèn)題”，意圖是明顯的，教師的提問(wèn)和處理也比較恰當(dāng)。課沒(méi)有最好只有更好！
數(shù)列公式大全9
小升初奧數(shù)之?dāng)?shù)列求和公式匯總
等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。
基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的'第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示； 項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；
公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；
通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示
基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n, sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。
基本公式：通項(xiàng)公式：an = a1+（n－1）d；
通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1) ×公差；
數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；
項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)－1）；
關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定使用的公式
數(shù)列公式大全10
以下是高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式》說(shuō)課稿，僅供參考。
教學(xué)目標(biāo)
A、知識(shí)目標(biāo)：
掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法;掌握公式的運(yùn)用。
B、能力目標(biāo)：
(1)通過(guò)公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識(shí)發(fā)生、發(fā)展以及形成過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。
(2)利用以退求進(jìn)的思維策略，遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生在實(shí)踐中通過(guò)觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。
(3)通過(guò)對(duì)公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
C、情感目標(biāo)：(數(shù)學(xué)文化價(jià)值)
(1)公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。
(2)通過(guò)公式的運(yùn)用，樹(shù)立學(xué)生"大眾教學(xué)"的思想意識(shí)。
(3)通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，令人著迷的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感。
教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。
教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的靈活運(yùn)用。
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)、討論、引導(dǎo)式。
教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。
教學(xué)過(guò)程
一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。
師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì)，今天要進(jìn)一步研究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會(huì)想到德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小學(xué)四年級(jí)時(shí)，一次教師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題："把從1到100的自然數(shù)加起來(lái)，和是多少?"年僅10歲的`小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來(lái)巧妙地計(jì)算出來(lái)的呢?如果大家也懂得那樣巧妙計(jì)算，那你們就是二十世紀(jì)末的新高斯。(教師觀察學(xué)生的表情反映，然后將此問(wèn)題縮小十倍)。我們來(lái)看這樣一道一例題。
例1，計(jì)算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
這道題除了累加計(jì)算以外，還有沒(méi)有其他有趣的解法呢?小組討論后，讓學(xué)生自行發(fā)言解答。
生1:因?yàn)?+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個(gè)11，得到55。
生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫(xiě)成 S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。
上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
10個(gè)
所以我們得到S=55，
即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
師：高斯神速計(jì)算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學(xué)的方法相類似。
理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個(gè)101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請(qǐng)同學(xué)們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個(gè)性質(zhì)呢?
生3：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.
二、教授新課(嘗試推導(dǎo))
師：如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)an，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來(lái)導(dǎo)出它的前n項(xiàng)和Sn計(jì)算公式呢?根據(jù)上面的例子同學(xué)們自己完成推導(dǎo)，并請(qǐng)一位學(xué)生板演。
生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫(xiě)成
Sn=an+an-1+......a2+a1
兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n個(gè)
=n(a1+an)
所以Sn=
#FormatImgID_0#
(I)
師：好!如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+
#FormatImgID_1#
d(II) 上面(I)、(II)兩個(gè)式子稱為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。公式(I)是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式(上底+下底)×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，下底是第n項(xiàng)an，高是項(xiàng)數(shù)n。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量?(a1，d，n，an，Sn)，它們由哪幾個(gè)關(guān)系聯(lián)系?[an=a1+(n-1)d，Sn=
#FormatImgID_2#
=na1+
#FormatImgID_3#
d];這些量中有幾個(gè)可自由變化?(三個(gè))從而了解到：只要知道其中任意三個(gè)就可以求另外兩個(gè)了。下面我們舉例說(shuō)明公式(I)和(II)的一些應(yīng)用。
三、公式的應(yīng)用(通過(guò)實(shí)例演練，形成技能)。
1、直接代公式(讓學(xué)生迅速熟悉公式，即用基本量觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)公式)例2、計(jì)算：
(1)1+2+3+......+n
(2)1+3+5+......+(2n-1)
(3)2+4+6+......+2n
(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
請(qǐng)同學(xué)們先完成(1)-(3)，并請(qǐng)一位同學(xué)回答。
生5：直接利用等差數(shù)列求和公式(I)，得
(1)1+2+3+......+n=
#FormatImgID_4#
(2)1+3+5+......+(2n-1)=
#FormatImgID_5#
(3)2+4+6+......+2n=
#FormatImgID_6#
=n(n+1)
師：第(4)小題數(shù)列共有幾項(xiàng)?是否為等差數(shù)列?能否直接運(yùn)用Sn公式求解?若不能，那應(yīng)如何解答?小組討論后，讓學(xué)生發(fā)言解答。
生6：(4)中的數(shù)列共有2n項(xiàng)，不是等差數(shù)列，但把正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)分開(kāi)，可看成兩個(gè)等差數(shù)列，所以
原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個(gè)規(guī)律，兩項(xiàng)結(jié)合都為-1，故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n個(gè)
師：很好!在解題時(shí)我們應(yīng)仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，往往會(huì)尋找到好的方法。注意在運(yùn)用Sn公式時(shí)，要看清等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，否則會(huì)引起錯(cuò)解。
例3、(1)數(shù)列{an}是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。
生8：(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4
又∵d=-2，∴a1=6
∴S12=12 a1+66×(-2)=-60
生9：(2)由a1+a2+a3=12，a1+d=4
a8+a9+a10=75，a1+8d=25
解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+
#FormatImgID_7#
=145
師：通過(guò)上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式。在Sn公式有5個(gè)變量。已知三個(gè)變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個(gè)變量(知三求二)，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習(xí)題，以便下節(jié)課交流。
師：(繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，將第(2)小題改編)
�、贁�(shù)列{an}等差數(shù)列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n
②若此題不求a1，d而只求S10時(shí)，是否一定非來(lái)求得a1，d不可呢?引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a1+a10的值。
2、用整體觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)Sn公式。
例4，在等差數(shù)列{an}， (1)已知a2+a5+a12+a15=36，求S16;(2)已知a6=20，求S11。(教師啟發(fā)學(xué)生解)
師：來(lái)看第(1)小題，寫(xiě)出的計(jì)算公式S16=
#FormatImgID_8#
=8(a1+a6)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么?
生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。
師：對(duì)!(簡(jiǎn)單小結(jié))這個(gè)題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a1與an的和，于是這個(gè)問(wèn)題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學(xué)問(wèn)題的體現(xiàn)。
師：由于時(shí)間關(guān)系，我們對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的運(yùn)用一一剖析，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次(或一次)的函數(shù)的觀點(diǎn)如何來(lái)認(rèn)識(shí)Sn公式后，這留給同學(xué)們課外繼續(xù)思考。
最后請(qǐng)大家課外思考Sn公式(1)的逆命題：
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于所有自然數(shù)n，都有Sn=
#FormatImgID_9#
。數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由。
四、小結(jié)與作業(yè)。
師：接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們一起來(lái)小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。
生11：1、用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。
2、用所推導(dǎo)的兩個(gè)公式解決有關(guān)例題，熟悉對(duì)Sn公式的運(yùn)用。
生12：1、運(yùn)用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的值。
2、具體用Sn公式時(shí)，要根據(jù)已知靈活選擇公式(I)或(II)，掌握知三求二的解題通法。
3、當(dāng)已知條件不足以求此項(xiàng)a1和公差d時(shí)，要認(rèn)真觀察，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。
師：通過(guò)以上幾例，說(shuō)明在解題中靈活應(yīng)用所學(xué)性質(zhì)，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學(xué)習(xí)方法。同時(shí)希望大家在學(xué)習(xí)中做一個(gè)有心人，去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)，主動(dòng)積極地去學(xué)習(xí)。
本節(jié)所滲透的數(shù)學(xué)方法;觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。
數(shù)學(xué)思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。
數(shù)列公式大全11
等比數(shù)列求和公式
q≠1時(shí)，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)
q=1時(shí)，Sn=na1
(a1為首項(xiàng),an為第n項(xiàng),d為公差,q為等比)
這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的.公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數(shù)列a1≠ 0。注：q=1時(shí)，{an}為常數(shù)列。利用等比數(shù)列求和公式可以快速的計(jì)算出該數(shù)列的和。
等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)
Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)
qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)
Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
a(n+1)=a1qn
Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)
數(shù)列公式大全12
等比數(shù)列求和公式
1.等比數(shù)列通項(xiàng)公式
an=a1×q^(n-1);
推廣式：an=am×q^(n-m);
2.等比數(shù)列求和公式
Sn=n×a1(q=1);
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1);
(q為公比，n為項(xiàng)數(shù))。
3.等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)
(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q);
(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1);
(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1);
(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n;
(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q);
(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q);
(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q);
(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
拓展閱讀：等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq。
(2)在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。
(3)若“G是a、b的等比中項(xiàng)”則“G2=ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q1，{bn}也是等比數(shù)列，公比是q2，則{a2n}，{a3n}…是等比數(shù)列，公比為q1^2，q1^3…{can}，c是常數(shù)，{an×bn}，{an/bn}是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2。
(5)若(an)為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正，公比為q，則(log以a為底an的對(duì)數(shù))成等差，公差為log以a為底q的'對(duì)數(shù)。
(6)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和。
在等比數(shù)列中，首項(xiàng)A1與公比q都不為零。
注意：上述公式中An表示A的n次方。
(7)由于首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成an=(a1/q)×qn，它的指數(shù)函數(shù)y=ax有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列。
數(shù)列公式大全13
等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過(guò)程：
設(shè)首項(xiàng)為a1 ,末項(xiàng)為an ,項(xiàng)數(shù)為n ,公差為d ,前n項(xiàng)和為Sn ,則有:Sn=(a1+an)n/2 ;Sn=na1+n(n-1)d/2(d為公差)
當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是n的二次函數(shù)，(n，Sn)是二次函數(shù)的圖象上一群孤立的點(diǎn)。利用其幾何意義可求前n項(xiàng)和Sn的最值。
注意：公式一二三事實(shí)上是等價(jià)的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推導(dǎo)證明：由題意得：Sn=a1+a2+a3+...+an①
Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+...+a1②
�、�+②得：2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當(dāng)n為偶數(shù)時(shí))
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號(hào)里面的`數(shù)都是一個(gè)定值，即(A1+An)
拓展閱讀：等比數(shù)列的五個(gè)基本公式
(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：
An=A1×q^(n-1)
若通項(xiàng)公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時(shí)，則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù)，點(diǎn)(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點(diǎn)。
(2)任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)
(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
(4)等比中項(xiàng)：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。
(5)等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an
①當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)
�、诋�(dāng)q=1時(shí)，Sn=n×a1(q=1)
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
數(shù)列公式大全14
數(shù)列的基本概念 等差數(shù)列
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f(n)
(2)數(shù)列的遞推公式
(3)數(shù)列的'通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系
an+1-an=d
an=a1+(n-1)d
a，A，b成等差 2A=a+b
m+n=k+l am+an=ak+al
等比數(shù)列 常用求和公式
an=a1qn_1
a，G，b成等比 G2=ab
m+n=k+l aman=akal
不等式
不等式的基本性質(zhì) 重要不等式
a>b b
a>b，b>c a>c
a>b a+c>b+c
a+b>c a>c-b
a>b，c>d a+c>b+d
a>b，c>0 ac>bc
a>b，c<0 ac
a>b>0，c>d>0 ac
a>b>0 dn>bn(n∈Z，n>1)
a>b>0 > (n∈Z，n>1)
(a-b)2≥0
a，b∈R a2+b2≥2ab
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
證明不等式的基本方法
比較法
(1)要證明不等式a>b(或a
a-b>0(或a-b<0=即可
(2)若b>0，要證a>b，只需證明 ，
要證a
綜合法 綜合法就是從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式(由因?qū)Ч?的方法。
分析法 分析法是從尋求結(jié)論成立的充分條件入手，逐步尋求所需條件成立的充分條件，直至所需的條件已知正確時(shí)為止，明顯地表現(xiàn)出“持果索因”
數(shù)列公式大全15
一、高考數(shù)列基本公式：
1、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=
2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)) 當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。
3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。
4、等比數(shù)列的'通項(xiàng)公式： an= a1qn-1an= akqn-k
(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0)
5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；
當(dāng)q≠1時(shí)，
二、高考數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論
1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。
4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。
5、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。
6、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列
7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。
8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。
9、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法：a/q,a,aq；
四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)
12、{bn}（bn>0）是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>0且c≠1) 是等差數(shù)列。
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