關于向量證明重心的方法
向量是幾何中的一種證明方法，它們也是可以證明重心的。下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的向量證明重心內(nèi)容，希望大家喜歡。
向量證明重心的方法一
三角形ABC中，重心為O，AD是BC邊上的中線，用向量法證明AO=2OD
(1).AB=12b，AC=12c。AD是中線則AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中點。作DF//BE則EF=EC/2=AC/4=3c。平行線分線段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。
設BC中點為M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P為三角形ABC的重心。上來步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要條件是PA+PB+PC=0
如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1
設三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1
證明：用歸一法
不妨設AD與BE交于點O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b
因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設BO=xBE=(x/2)(a+b)
同理設AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b
在三角形ABO中，AO=BO-BA
所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b
因為向量a和b線性無關，所以
-y=x/2-1
y/2=x/2
解得x=y=2/3
所以A0：AD=BO：BE=2：3
故AO：OD=BO：OE=2:1
向量證明重心的方法二
設AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1
所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’
因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1
設三角形ABC的頂點A,B,C的.坐標分別為(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)證明：三角形ABC的重心(即三條中線的交點)M的坐標(X,Y)滿足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3\
設:AB的中點為D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M為三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3
如圖。設AB=a(向量)，AC=b, AD=(a+b)/2,AO=tAB=ta/2+tb/2.
BE=b/2-a. AO=a+sBE=(1-s)a+sb/2.
t/2=1-s, t/2=s/2.消去s.t=2/3.AO=(2/3)AB.OD=(1/3)AB,AO=2OD.
如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1
設三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1
向量證明重心的方法三
證明：用歸一法
不妨設AD與BE交于點O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b
因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設BO=xBE=(x/2)(a+b)
同理設AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b
在三角形ABO中，AO=BO-BA
所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b
因為向量a和b線性無關，所以
-y=x/2-1
y/2=x/2
解得x=y=2/3
所以A0：AD=BO：BE=2：3
故AO：OD=BO：OE=2:1
設AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1
所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’
因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1
證畢!
【向量證明重心的方法】相關文章：
向量空間證明06-23
向量證明正弦定理06-23
最新向量法證明不等式計算方法08-01
重心不穩(wěn)解決方法06-19
人教版向量法證明正弦定理02-28
用向量法證明的竅門介紹08-02
數(shù)學中如何證明向量共面08-16
數(shù)學空間向量及其運算方法06-29
數(shù)學向量的概念及其表示方法06-29