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數(shù)學(xué)中如何證明向量共面
共面向量定理是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本定理之一，那它該怎么被證明呢?證明的過程是怎樣的呢?下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的證明向量共面內(nèi)容，希望大家喜歡。
證明向量共面的方法一
已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線
但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?
寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了~明白后加分!!!
我假定你的O-A表示向量OA。
由O的任意性，取一個(gè)不在ABCD所在平面的O，這時(shí)若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。
(證明：設(shè)O在該平面上的投影為P，那么對(duì)平面上任何一點(diǎn)X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較OP分量即可。)
你給的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。
充分不必要條件。
如果有三點(diǎn)共線，則第四點(diǎn)一定與這三點(diǎn)共面，因?yàn)榫�和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，如果第四點(diǎn)在這條線上，則四點(diǎn)共線，也一定是共面的。
而有四點(diǎn)共面，不一定就其中三點(diǎn)共線，比如四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共面，但這四個(gè)頂點(diǎn)中沒有三個(gè)是共線的。
“三點(diǎn)共線”可以推出“四點(diǎn)共面”，但“四點(diǎn)共面”不能推出“三點(diǎn)共線”。因此是充分不必要條件
任取3個(gè)點(diǎn)，如果這三點(diǎn)共線，那么四點(diǎn)共面;如果這三點(diǎn)不共線，那么它們確定一個(gè)平面，考慮第四點(diǎn)到這個(gè)平面的`距離。方法二A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件為向量AB、AC、AD的混合積(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四點(diǎn)不共面的充要條件為向量AB、AC、AD線性無(wú)關(guān)。
證明向量共面的方法二
已知O是空間任意一點(diǎn),A.B.C.D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線
,但四點(diǎn)共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,則2x+3y+4z=?
寫詳細(xì)點(diǎn)怎么做謝謝了我假定你的O-A表示向量OA。
由O的任意性，取一個(gè)不在ABCD所在平面的O，這時(shí)若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。
(證明：設(shè)O在該平面上的投影為P，那么對(duì)平面上任何一點(diǎn)X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、C、D代你給的關(guān)系式并比較OP分量即可。)
你給的.右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。
4Xa-Yb+Yb-Zc+ Zc-Xa=0
∴ Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)
由共面判定定理知它們共面。
簡(jiǎn)單的說一個(gè)向量能夠用另外兩個(gè)向量表示，它們就共面。
證明向量共面的方法三
1.若向量e1、e2、e3共面，
(i)其中至少有兩個(gè)不共線，不妨設(shè)e1,e2不共線，則e1,e2線性無(wú)關(guān)，e3可用e1,e2線性表示，即存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是
λe1+μe2-e3=0.
即存在三個(gè)不全為零的'實(shí)數(shù)λ，μ，υ=-1，使得
λe1+μe2+υe3=0”。
(ii)若e1,e2,e3都共線，則其中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)e1≠0，則存在實(shí)數(shù)λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.
2.存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨設(shè)λ≠0，
就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,
于是e1,e2,e3共面。
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