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八年級(jí)數(shù)學(xué)《正方形啟發(fā)式》的教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)建議
根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)和與平行四邊形的關(guān)系，建議教師在教學(xué)過程中注意以下問題：
1。正方形的知識(shí)，學(xué)生在小學(xué)時(shí)接觸過一些，可由小學(xué)學(xué)過的知識(shí)作為引入。
2。正方形在現(xiàn)實(shí)中的實(shí)例較多，在講解正方形的性質(zhì)和判定時(shí)，教師可自行準(zhǔn)備或由學(xué)生準(zhǔn)備一些生活實(shí)例來進(jìn)行判別應(yīng)用了哪些性質(zhì)和判定，既增加了學(xué)生的參與感又鞏固了所學(xué)的知識(shí)。
3。 如果條件允許，教師在講授這節(jié)內(nèi)容前，可指導(dǎo)學(xué)生按照教材145頁圖4—30所示，制作一個(gè)平行四邊形作為教學(xué)過程中的道具，既增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)手能力和參與感，有在教學(xué)中有切實(shí)的體例，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握更輕松些。
4。 在對(duì)性質(zhì)的講解中，教師可將學(xué)生分成若干組，每個(gè)學(xué)生分別對(duì)事先準(zhǔn)備后的圖形進(jìn)行邊、角、對(duì)角線的測(cè)量，然后在組內(nèi)進(jìn)行整理、歸納。
5。 由于正方形的性質(zhì)定理證明比較簡(jiǎn)單，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析思路，由學(xué)生來進(jìn)行具體的證明。
6。在正方形性質(zhì)應(yīng)用講解中，為便于理解掌握，教師要注意題目的層次安排。
教學(xué)引入
師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行四邊形、矩形和菱形，知道矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，他們都具有平行四邊形的性質(zhì)，同時(shí)又都具有各自獨(dú)特的性質(zhì)。
師：現(xiàn)在我們來學(xué)習(xí)一種新的特殊的平行四邊形————正方形。
講授新課
師：正方形我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)接觸過，首先我們來看正方形的定義。
動(dòng)畫演示：
場(chǎng)景一：正方形定義
師：正方形的定義我們可以分成倆部分來理解：
�。�1） 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。
�。�2） 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。
師：根據(jù)這兩部分我們會(huì)想起什么？
[學(xué)生活動(dòng)：積極思考，回想學(xué)過定義，大部分學(xué)生會(huì)想起矩形和菱形，小聲議論甚至搶答。]
生：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，（1）說的是矩形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，（2）說的是菱形。
生：正方形既是矩形又是菱形。
生：正方形還是平行四邊形。
師：大家想得都不錯(cuò)。正方形既是矩形又是菱形，根據(jù)定義，他還是平行四邊形。
師：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形。
動(dòng)畫演示：
場(chǎng)景二：正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系
師：正方形、平行四邊形、矩形、菱形他們之間的關(guān)系還可以用圖1來表示：
師：請(qǐng)同學(xué)們回想一下，我們?cè)趯W(xué)習(xí)矩形、菱形時(shí)，知道矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，他們都具有平行四邊形的性質(zhì)，同時(shí)又都具有各自獨(dú)特的性質(zhì)。
師：那么，根據(jù)正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系，正方形應(yīng)具有什么樣的性質(zhì)？
[學(xué)生活動(dòng)：回憶矩形、菱形的性質(zhì)，并逐個(gè)驗(yàn)證在正方形上。]
師在學(xué)生活動(dòng)時(shí)要注意觀察學(xué)生的情況，有疑惑時(shí)要注意及時(shí)反饋。
師：我們來歸納總結(jié)正方形的性質(zhì)。
動(dòng)畫演示：
場(chǎng)景三：矩形的性質(zhì)
場(chǎng)景四：菱形的性質(zhì)
�。繄�(chǎng)景五：正方形的性質(zhì)
例題講解
例1 在已知銳角三角形ABC外邊作正方形ABDE和正方形ACFG，求證：BG=CE
分析：據(jù)已知條件畫出圖形，如圖2所示，要證明線段相等，與圖形可以證明二個(gè)三角形全等，即只需證明△ABG≌△AEC。
證明：∵四邊形ABDE和ACFG都是正方形
∴AB=AE，AG=AC
∠BAE=∠CAG=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC
即∠BAG=∠EAC
∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE
說明：應(yīng)用正方形的性質(zhì)，可以為證明全等提供條件，要注意等式性質(zhì)的應(yīng)用，這與向銳角三角形ABC外作等邊三角形的結(jié)論完全相同，證法是可以借鑒的。
鞏固練習(xí)
鞏固練習(xí)題目可有教師根據(jù)學(xué)生情況自主選擇。
講解新課
師：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形，那么根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系，怎么判定一個(gè)矩形是正方形？
生：證一組鄰邊相等。
師：怎么判定一個(gè)菱形是正方形？
生：證有一個(gè)角是直角。
師：怎么判定一個(gè)平行四邊形是正方形？
生：根據(jù)定義，證有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角。
師：那么，剛才的結(jié)論如果用圖來表示，是不是如圖3所示？
師：圖3表現(xiàn)出由平行四邊形、矩形、菱形分別得到正方形的三種方法。這是我們根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系得到的，但似乎有缺憾，能不能同樣根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系把圖3補(bǔ)全？
[學(xué)生活動(dòng)：積極思考，部分學(xué)生疑惑不解。]
師點(diǎn)取上等學(xué)生回答問題，根據(jù)回答得圖4。
生恍然大悟。
學(xué)生思路得到啟發(fā)，中上等及上等學(xué)生意猶未盡，鼓勵(lì)他們根據(jù)矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其舉出簡(jiǎn)單示例。
就勢(shì)跟進(jìn)，要求學(xué)生思考，給定四邊形，有什么樣的邊、角、對(duì)角線條件可判定四邊形是正方形？要求給出簡(jiǎn)單圖例，并說出相應(yīng)證明思路。
為進(jìn)一步理解正方形的判定方法，可研究以下幾個(gè)問題：
（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形嗎？
�。�4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形嗎？
�。�5）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形嗎？若不是，還需增加什么條件？
�。�6）能說“四條便都相等的四邊形是正方形嗎？”
�。�7）四個(gè)角都相等的四邊形是正方形嗎？
小結(jié)：證明正方形的思路，總體講三種思路，如圖4所示；遇到具體條件要學(xué)會(huì)具體分析，規(guī)定條件和隱含條件不外乎邊、角、對(duì)角線，或者把他們攪和在一起。這是一定要都要冷靜，學(xué)會(huì)去分析。
動(dòng)畫演示：
場(chǎng)景六：正方形的判定
F例題講解
例2 如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB的中點(diǎn)，DE、CF相交于M，
求證：AD=AM。
分析：欲證AD=AM，只需證明∠1=∠2，但要根據(jù)題目條件直接證明∠1=∠2比較困難，考慮到E、F是正方形的兩邊中點(diǎn)，容易證明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°。由此DE⊥CF，這是要證AD=AM，是否想到與直角有關(guān)的等腰三角形？只需延長(zhǎng)CF、DA交于N，即可出現(xiàn)直角三角形MND，只要證明A是ND中點(diǎn)即可。這是是否發(fā)現(xiàn)△BCF≌△ANF？由AN=BC=AD，從而A是ND中點(diǎn)，MA是直角三角形MND的斜邊ND上的中線。問題得證。
證明：略。
說明：將此題中的中點(diǎn)E、F進(jìn)行變化：E、F分別為正方形ABCD的邊BC、AB上的點(diǎn)，且BE=AF，則有DE⊥CF。這個(gè)變化后的圖形在正方形中常常出現(xiàn)，要注意隱含的這個(gè)垂直條件。
課堂練習(xí)題及課后作業(yè)可由教師根據(jù)學(xué)生情況自主選擇。
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