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2016年襄陽市中考數(shù)學(xué)試題及答案
經(jīng)過三年的學(xué)習(xí),大家一定想知道自己的學(xué)習(xí)成果究竟如何?下面百分網(wǎng)小編為大家?guī)硪环?016年襄陽市中考的數(shù)學(xué)試題,文末有答案,希望能對大家有幫助,更多內(nèi)容歡迎關(guān)注應(yīng)屆畢業(yè)生網(wǎng)!
一、選擇題:本大題共10小題,每小題3分,共30分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將其序號在答題卡上涂黑作答.
1.﹣3的相反數(shù)是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
2.如圖,AD是∠EAC的平分線,AD∥BC,∠B=30°,則∠C的度數(shù)為( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
3.﹣8的立方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.﹣
4.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體是( )
A.球體 B.圓錐 C.棱柱 D.圓柱
5.不等式組 的整數(shù)解的個數(shù)為( )
A.0個 B.2個 C.3個 D.無數(shù)個
6.一組數(shù)據(jù)2,x,4,3,3的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、方差分別是( )
A.3,3,0.4 B.2,3,2 C.3,2,0.4 D.3,3,2
7.如圖,在▱ABCD中,AB>AD,按以下步驟作圖:以點A為圓心,小于AD的長為半徑畫弧,分別交AB、AD于點E、F;再分別以點E、F為圓心,大于 EF的長為半徑畫弧,兩弧交于點G;作射線AG交CD于點H,則下列結(jié)論中不能由條件推理得出的是( )
A.AG平分∠DAB B.AD=DH C.DH=BC D.CH=DH
8.如圖,I是△ABC的內(nèi)心,AI的延長線和△ABC的外接圓相交于點D,連接BI、BD、DC.下列說法中錯誤的一項是( )
A.線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DC重合
B.線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DI重合
C.∠CAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定能與∠DAB重合
D.線段ID繞點I順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段IB重合
9.如圖,△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點,則sinA的值為( )
A. B. C. D.
10.一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y= 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象大致為( )
A. B. C. D.
二、填空題:本大題共6小題,每小題3分,共18分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.
11.分解因式:2a2﹣2= .
12.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個相等的實數(shù)根,則m的值為 .
13.一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個黑球、4個白球和若干個紅球.每次搖勻后隨機摸出一個球,記下顏色后再放回袋中,通過大量重復(fù)摸球試驗后,發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.4,由此可估計袋中約有紅球 個.
14.王經(jīng)理到襄陽出差帶回襄陽特產(chǎn)﹣﹣孔明菜若干袋,分給朋友們品嘗,如果每人分5袋,還余3袋;如果每人分6袋,還差3袋,則王經(jīng)理帶回孔明菜 袋.
15.如圖,AB是半圓O的直徑,點C、D是半圓O的三等分點,若弦CD=2,則圖中陰影部分的面積為 .
16.如圖,正方形ABCD的邊長為2 ,對角線AC、BD相交于點O,E是OC的中點,連接BE,過點A作AM⊥BE于點M,交BD于點F,則FM的長為 .
三、解答題:本大題共9小題,共72分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟,并且寫在答題卡上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).
17.先化簡,再求值:(2x+1)(2x﹣1)﹣(x+1)(3x﹣2),其中x= .
18.襄陽市文化底蘊深厚,旅游資源豐富,古隆中、習(xí)家池、鹿門寺三個景區(qū)是人們節(jié)假日玩的熱點景區(qū),張老師對八(1)班學(xué)生“五•一”小長假隨父母到這三個景區(qū)游玩的計劃做了全面調(diào)查,調(diào)查分四個類別:A、游三個景區(qū);B、游兩個景區(qū);C、游一個景區(qū);D、不到這三個景區(qū)游玩.現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)八(1)班共有學(xué)生 人,在扇形統(tǒng)計圖中,表示“B類別”的扇形的圓心角的度數(shù)為 ;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若張華、李剛兩名同學(xué),各自從三個景區(qū)中隨機選一個作為5月1日游玩的景區(qū),則他們同時選中古隆中的概率為 .
19.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.
(1)求證:AB=AC;
(2)若AD=2 ,∠DAC=30°,求AC的長.
20.如圖,直線y=ax+b與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點,與x軸、y軸分別交于C、D兩點.
(1)m= ,n= ;若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函數(shù)圖象上兩點,且0”);
(2)若線段CD上的點P到x軸、y軸的距離相等,求點P的坐標(biāo).
21.“漢十”高速鐵路襄陽段正在建設(shè)中,甲、乙兩個工程隊計劃參與一項工程建設(shè),甲隊單獨施工30天完成該項工程的 ,這時乙隊加入,兩隊還需同時施工15天,才能完成該項工程.
(1)若乙隊單獨施工,需要多少天才能完成該項工程?
(2)若甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天,則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程?
22.如圖,直線AB經(jīng)過⊙O上的點C,直線AO與⊙O交于點E和點D,OB與⊙O交于點F,連接DF、DC.已知OA=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.
(1)求證:①直線AB是⊙O的切線;②∠FDC=∠EDC;
(2)求CD的長.
23.襄陽市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號召,研發(fā)了一種新產(chǎn)品.已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件,且年銷售量y(萬件)關(guān)于售價x(元/件)的函數(shù)解析式為:y= .
(1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為W(萬元),請直接寫出年利潤W(萬元)關(guān)于售價x(元/件)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)該產(chǎn)品的售價x(元/件)為多少時,企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大?最大年利潤是多少?
(3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元,試確定該產(chǎn)品的售價x(元/件)的取值范圍.
24.如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG∥CD交AF于點G,連接DG.
(1)求證:四邊形EFDG是菱形;
(2)探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若AG=6,EG=2 ,求BE的長.
25.如圖,已知點A的坐標(biāo)為(﹣2,0),直線y=﹣ x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C,連接AC,頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點.
(1)請直接寫出B、C兩點的坐標(biāo),拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P是第一象限內(nèi)拋物線上一點,過點P作x軸的垂線,交線段BC于點F,若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標(biāo);
(3)設(shè)點M是線段BC上的一動點,過點M作MN∥AB,交AC于點N,點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動,運動時間為t(秒),當(dāng)t(秒)為何值時,存在△QMN為等腰直角三角形?
參考答案與試題解析
一、選擇題:本大題共10小題,每小題3分,共30分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將其序號在答題卡上涂黑作答.
1.﹣3的相反數(shù)是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【考點】相反數(shù).
【專題】常規(guī)題型.
【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可.
【解答】解:﹣3的相反數(shù)是3,
故選:A.
【點評】本題考查了相反數(shù)的意義,一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“﹣”號;一個正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),一個負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù),0的相反數(shù)是0.
2.如圖,AD是∠EAC的平分線,AD∥BC,∠B=30°,則∠C的度數(shù)為( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
【考點】平行線的性質(zhì);角平分線的定義;三角形的外角性質(zhì).
【分析】由AD∥BC,∠B=30°利用平行線的性質(zhì)即可得出∠EAD的度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義即可求出∠EAC的度數(shù),最后由三角形的外角的性質(zhì)即可得出∠EAC=∠B+∠C,代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵AD∥BC,∠B=30°,
∴∠EAD=∠B=30°.
又∵AD是∠EAC的平分線,
∴∠EAC=2∠EAD=60°.
∵∠EAC=∠B+∠C,
∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°.
故選C.
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義,解題的關(guān)鍵是求出∠EAC=60°.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補的角是關(guān)鍵.
3.﹣8的立方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.﹣
【考點】立方根.
【分析】直接利用立方根的定義分析求出答案.
【解答】解:﹣8的立方根是: =﹣2.
故選:B.
【點評】此題主要考查了立方根,正確把握立方根的定義是解題關(guān)鍵.
4.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體是( )
A.球體 B.圓錐 C.棱柱 D.圓柱
【考點】由三視圖判斷幾何體.
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看,所得到的圖形.
【解答】解:由于主視圖和左視圖為長方形可得此幾何體為柱體,
由俯視圖為圓可得為圓柱體.
故選D.
【點評】本題考查了由三視圖來判斷幾何體,還考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力,同時也體現(xiàn)了對空間想象能力.
5.不等式組 的整數(shù)解的個數(shù)為( )
A.0個 B.2個 C.3個 D.無數(shù)個
【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解.
【分析】先根據(jù)一元一次不等式組的解法求出x的取值范圍,然后找出整數(shù)解的個數(shù).
【解答】解:解不等式2x﹣1≤1得:x≤1,
解不等式﹣ x<1得:x>﹣2,
則不等式組的解集為:﹣2
整數(shù)解為:﹣1,0,1,共3個.
故選C.
【點評】此題考查了是一元一次不等式組的整數(shù)解,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)x的取值范圍,得出x的整數(shù)解.求不等式組的解集,應(yīng)遵循以下原則:同大取較大,同小取較小,小大大小中間找,大大小小解不了.
6.一組數(shù)據(jù)2,x,4,3,3的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、方差分別是( )
A.3,3,0.4 B.2,3,2 C.3,2,0.4 D.3,3,2
【考點】方差;算術(shù)平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù).
【分析】先根據(jù)平均數(shù)的定義求出x的值,再根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義和方差公式分別進行解答即可.
【解答】解:根據(jù)題意, =3,解得:x=3,
∴這組數(shù)據(jù)從小到大排列為:2,3,3,3,4;
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3,
這組數(shù)據(jù)3出現(xiàn)的次數(shù)最多,出現(xiàn)了3次,故眾數(shù)為3;
其方差是: ×[(2﹣3)2+3×(3﹣3)2+(4﹣3)2]=0.4,
故選A.
【點評】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)和方差,眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù);中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后,最中間的那個數(shù)(或最中間兩個數(shù)的平均數(shù));一般地設(shè)n個數(shù)據(jù),x1,x2,…xn的平均數(shù)為 ,則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2].
7.如圖,在▱ABCD中,AB>AD,按以下步驟作圖:以點A為圓心,小于AD的長為半徑畫弧,分別交AB、AD于點E、F;再分別以點E、F為圓心,大于 EF的長為半徑畫弧,兩弧交于點G;作射線AG交CD于點H,則下列結(jié)論中不能由條件推理得出的是( )
A.AG平分∠DAB B.AD=DH C.DH=BC D.CH=DH
【考點】平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)作圖過程可得得AG平分∠DAB,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可證明∠DAH=∠DHA,進而得到AD=DH,
【解答】解:根據(jù)作圖的方法可得AG平分∠DAB,
∵AG平分∠DAB,
∴∠DAH=∠BAH,
∵CD∥AB,
∴∠DHA=∠BAH,
∴∠DAH=∠DHA,
∴AD=DH,
∴BC=DH,
故選D.
【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的作法、平行線的性質(zhì);熟記平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵關(guān)鍵.
8.如圖,I是△ABC的內(nèi)心,AI的延長線和△ABC的外接圓相交于點D,連接BI、BD、DC.下列說法中錯誤的一項是( )
A.線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DC重合
B.線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DI重合
C.∠CAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定能與∠DAB重合
D.線段ID繞點I順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段IB重合
【考點】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心;三角形的外接圓與外心;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)I是△ABC的內(nèi)心,得到AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,由角平分線的定義得到∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠BDI=∠DIB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=DI.
【解答】解:∵I是△ABC的內(nèi)心,
∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,
∴∠BAD=∠CAD,故C正確,不符合題意;
∠ABI=∠CBI,∴ = ,
∴BD=CD,故A正確,不符合題意;
∵∠DAC=∠DBC,
∴∠BAD=∠DBC,
∵∠IBD=∠IBC+∠DBC,∠BID=∠ABI+∠BAD,
∴∠BDI=∠DIB,
∴BD=DI,故B正確,不符合題意;
故選D.
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心的,以及等腰三角形的判定與性質(zhì),同弧所對的圓周角相等.
9.如圖,△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點,則sinA的值為( )
A. B. C. D.
【考點】勾股定理;銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】直接根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形,進而利用勾股定理得出DC,AC的長,再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出答案.
【解答】解:如圖所示:連接DC,
由網(wǎng)格可得出∠CDA=90°,
則DC= ,AC= ,
故sinA= = = .
故選:B.
【點評】此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系,正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.
10.一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y= 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象大致為( )
A. B. C. D.
【考點】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象;二次函數(shù)的圖象.
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)先確定出a、b的取值范圍,然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定出c的取值范圍,最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可做出判斷.
【解答】解:∵一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過一、二、四象限,
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∴a<0,b>0,
∵反比例函數(shù)y= 的圖象在一、三象限,
∴c>0,
∵a<0,
∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的開口向下,
∵b>0,
∴ >0,
∵c>0,
∴與y軸的正半軸相交,
故選C.
【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì),掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
二、填空題:本大題共6小題,每小題3分,共18分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.
11.分解因式:2a2﹣2= 2(a+1)(a﹣1) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】先提取公因式2,再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解.
【解答】解:2a2﹣2,
=2(a2﹣1),
=2(a+1)(a﹣1).
【點評】本題考查了提公因式法和公式法進行因式分解,一個多項式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法進行因式分解,同時因式分解要徹底,直到不能分解為止.
12.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個相等的實數(shù)根,則m的值為 2 .
【考點】根的判別式.
【分析】由于關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個相等的實數(shù)根,可知其判別式為0,據(jù)此列出關(guān)于m的方程,解答即可.
【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個相等的實數(shù)根,
∴△=b2﹣4ac=0,
即:22﹣4(m﹣1)=0,
解得:m=2,
故答案為2.
【點評】此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.
13.一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個黑球、4個白球和若干個紅球.每次搖勻后隨機摸出一個球,記下顏色后再放回袋中,通過大量重復(fù)摸球試驗后,發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.4,由此可估計袋中約有紅球 8 個.
【考點】利用頻率估計概率.
【專題】統(tǒng)計與概率.
【分析】根據(jù)摸到紅球的頻率,可以得到摸到黑球和白球的概率之和,從而可以求得總的球數(shù),從而可以得到紅球的個數(shù).
【解答】解:由題意可得,
摸到黑球和白球的頻率之和為:1﹣0.4=0.6,
∴總的球數(shù)為:(8+4)÷0.6=20,
∴紅球有:20﹣(8+4)=8(個),
故答案為:8.
【點評】本題考查利用頻率估計概率,解題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.
14.王經(jīng)理到襄陽出差帶回襄陽特產(chǎn)﹣﹣孔明菜若干袋,分給朋友們品嘗,如果每人分5袋,還余3袋;如果每人分6袋,還差3袋,則王經(jīng)理帶回孔明菜 33 袋.
【考點】一元一次方程的應(yīng)用.
【分析】可設(shè)有x個朋友,根據(jù)“如果每人分5袋,還余3袋;如果每人分6袋,還差3袋”可列出一元一次方程,求解即可.
【解答】解:設(shè)有x個朋友,則
5x+3=6x﹣3
解得x=6
∴5x+3=33(袋)
故答案為:33
【點評】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)總袋數(shù)相等這一等量關(guān)系列方程求解.本題也可以直接設(shè)總袋數(shù)為x進行列方程求解.
15.如圖,AB是半圓O的直徑,點C、D是半圓O的三等分點,若弦CD=2,則圖中陰影部分的面積為 π .
【考點】扇形面積的計算.
【分析】首先證明OC∥BD,得到S△BDC=S△BDO,所以S陰=S扇形OBD,由此即可計算.
【解答】解:如圖連接OC、OD、BD.
∵點C、D是半圓O的三等分點,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,
∵OC=OD=OB,
∴△COD、△OBD是等邊三角形,
∴∠COD=∠ODB=60°,OD=CD=2,
∴OC∥BD,
∴S△BDC=S△BDO,
∴S陰=S扇形OBD= = .
【點評】本題考查圓的有關(guān)知識、扇形的面積,三角形的面積等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會把求不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積,屬于中考?碱}型.
16.如圖,正方形ABCD的邊長為2 ,對角線AC、BD相交于點O,E是OC的中點,連接BE,過點A作AM⊥BE于點M,交BD于點F,則FM的長為 .
【考點】正方形的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)ASA判定△AFO≌△BEO,并根據(jù)勾股定理求得BE的長,再判定△BFM∽△BEO,最后根據(jù)對應(yīng)邊成比例,列出比例式求解即可.
【解答】解:∵正方形ABCD
∴AO=BO,∠AOF=∠BOE=90°
∵AM⊥BE,∠AFO=∠BFM
∴∠FAO=∠EBO
在△AFO和△BEO中
∴△AFO≌△BEO(ASA)
∴FO=EO
∵正方形ABCD的邊長為2 ,E是OC的中點
∴FO=EO=1=BF,BO=2
∴直角三角形BOE中,BE= =
由∠FBM=∠EBO,∠FMB=∠EOB,可得△BFM∽△BEO
∴ ,即
∴FM=
故答案為:
【點評】本題主要考查了正方形,解決問題的關(guān)鍵的掌握全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì).解題時注意:正方形的對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
三、解答題:本大題共9小題,共72分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟,并且寫在答題卡上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).
17.先化簡,再求值:(2x+1)(2x﹣1)﹣(x+1)(3x﹣2),其中x= .
【考點】整式的混合運算—化簡求值.
【分析】首先利用整式乘法運算法則化簡,進而去括號合并同類項,再將已知代入求出答案.
【解答】解:(2x+1)(2x﹣1)﹣(x+1)(3x﹣2),
=4x2﹣1﹣(3x2+3x﹣2x﹣2)
=4x2﹣1﹣3x2﹣x+2
=x2﹣x+1
把x= 代入得:
原式=( ﹣1)2﹣( ﹣1)+1
=3﹣2 ﹣ +2
=5﹣3 .
【點評】此題主要考查了整式的混合運算以及化簡求值,正確正確運算法則是解題關(guān)鍵.
18.襄陽市文化底蘊深厚,旅游資源豐富,古隆中、習(xí)家池、鹿門寺三個景區(qū)是人們節(jié)假日玩的熱點景區(qū),張老師對八(1)班學(xué)生“五•一”小長假隨父母到這三個景區(qū)游玩的計劃做了全面調(diào)查,調(diào)查分四個類別:A、游三個景區(qū);B、游兩個景區(qū);C、游一個景區(qū);D、不到這三個景區(qū)游玩.現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)八(1)班共有學(xué)生 50 人,在扇形統(tǒng)計圖中,表示“B類別”的扇形的圓心角的度數(shù)為 72° ;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若張華、李剛兩名同學(xué),各自從三個景區(qū)中隨機選一個作為5月1日游玩的景區(qū),則他們同時選中古隆中的概率為 .
【考點】列表法與樹狀圖法;扇形統(tǒng)計圖;條形統(tǒng)計圖.
【分析】(1)由A類5人,占10%,可求得總?cè)藬?shù),繼而求得B類別占的百分?jǐn)?shù),則可求得“B類別”的扇形的圓心角的度數(shù);
(2)首先求得D類別的人數(shù),則可將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與他們同時選中古隆中的情況,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:(1)∵A類5人,占10%,
∴八(1)班共有學(xué)生有:5÷10%=50(人);
∴在扇形統(tǒng)計圖中,表示“B類別”的扇形的圓心角的度數(shù)為: ×360°=72°;
故答案為:50,72°;
(2)D類:50﹣5﹣10﹣15=25(人),如圖:
(3)分別用1,2,3表示古隆中、習(xí)家池、鹿門寺,畫樹狀圖得:
∵共有9種等可能的結(jié)果,他們同時選中古隆中的只有1種情況,
∴他們同時選中古隆中的概率為: .
故答案為: .
【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及扇形與條形統(tǒng)計圖的知識.注意掌握扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖的對應(yīng)關(guān)系.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
19.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.
(1)求證:AB=AC;
(2)若AD=2 ,∠DAC=30°,求AC的長.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)先證明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可證明.
(2)先證明AD⊥BC,再在RT△ADC中,利用30°角性質(zhì)設(shè)CD=a,AC=2a,根據(jù)勾股定理列出方程即可解決問題.
【解答】(1)證明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,
∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°,
在RT△DEB和RT△DFC中,
,
∴△DEB≌△DFC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
(2)∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
在RT△ADC中,∵∠ADC=90°,AD=2 ,∠DAC=30°,
∴AC=2CD,設(shè)CD=a,則AC=2a,
∵AC2=AD2+CD2,
∴4a2=a2+(2 )2,
∵a>0,
∴a=2,
∴AC=2a=4.
【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30°性質(zhì)、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形,記住直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,屬于中考常考題型.
20.如圖,直線y=ax+b與反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點,與x軸、y軸分別交于C、D兩點.
(1)m= 4 ,n= 1 ;若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函數(shù)圖象上兩點,且0 y2(填“<”或“=”或“>”);
(2)若線段CD上的點P到x軸、y軸的距離相等,求點P的坐標(biāo).
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題;反比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.
【分析】(1)由點A的.坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出m的值,再由點B也在反比例函數(shù)圖象上即可得出n的值,由反比例函數(shù)系數(shù)m的值結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出反比例函數(shù)的增減性,由此即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)過C、D點的直線解析式為y=kx+b,由點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式,設(shè)出點P的坐標(biāo)為(t,﹣t+5),由點P到x軸、y軸的距離相等即可得出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程,解方程即可得出t的值,從而得出點P的坐標(biāo).
【解答】解:(1)∵反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象過點A(1,4),
∴m=1×4=4.
∵點B(4,n)在反比例函數(shù)y= 的圖象上,
∴m=4n=4,解得:n=1.
∵在反比例函數(shù)y= (x>0)中,m=4>0,
∴反比例函數(shù)y= 的圖象單調(diào)遞減,
∵0
∴y1>y2.
故答案為:4;1;>.
(2)設(shè)過C、D點的直線解析式為y=kx+b,
∵直線CD過點A(1,4)、B(4,1)兩點,
∴ ,解得: ,
∴直線CD的解析式為y=﹣x+5.
設(shè)點P的坐標(biāo)為(t,﹣t+5),
∴|t|=|﹣t+5|,
解得:t= .
∴點P的坐標(biāo)為( , ).
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及解含絕對值符號的一元一次方程,解題的關(guān)鍵是:(1)求出m的值;(2)找出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大,解決該題型題目時,結(jié)合點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.
21.“漢十”高速鐵路襄陽段正在建設(shè)中,甲、乙兩個工程隊計劃參與一項工程建設(shè),甲隊單獨施工30天完成該項工程的 ,這時乙隊加入,兩隊還需同時施工15天,才能完成該項工程.
(1)若乙隊單獨施工,需要多少天才能完成該項工程?
(2)若甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天,則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程?
【考點】分式方程的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用.
【分析】(1)直接利用隊單獨施工30天完成該項工程的 ,這時乙隊加入,兩隊還需同時施工15天,進而利用總工作量為1得出等式求出答案;
(2)直接利用甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天,得出不等式求出答案.
【解答】解:(1)設(shè)乙隊單獨施工,需要x天才能完成該項工程,
∵甲隊單獨施工30天完成該項工程的 ,
∴甲隊單獨施工90天完成該項工程,
根據(jù)題意可得:
+15( + )=1,
解得:x=30,
檢驗得:x=30是原方程的根,
答:乙隊單獨施工,需要30天才能完成該項工程;
(2)設(shè)乙隊參與施工y天才能完成該項工程,根據(jù)題意可得:
×36+y× ≥1,
解得:y≥18,
答:乙隊至少施工18天才能完成該項工程.
【點評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用,正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.
22.如圖,直線AB經(jīng)過⊙O上的點C,直線AO與⊙O交于點E和點D,OB與⊙O交于點F,連接DF、DC.已知OA=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.
(1)求證:①直線AB是⊙O的切線;②∠FDC=∠EDC;
(2)求CD的長.
【考點】切線的判定.
【分析】(1)①欲證明直線AB是⊙O的切線,只要證明OC⊥AB即可.
、谑紫茸C明OC∥DF,再證明∠FDC=∠OCD,∠EDC=∠OCD即可.
(2)作ON⊥DF于N,延長DF交AB于M,在RT△CDM中,求出DM、CM即可解決問題.
【解答】(1)①證明:連接OC.
∵OA=OB,AC=CB,
∴OC⊥AB,
∵點C在⊙O上,
∴AB是⊙O切線.
、谧C明:∵OA=OB,AC=CB,
∴∠AOC=∠BOC,
∵OD=OF,
∴∠ODF=∠OFD,
∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC,
∴∠BOC=∠OFD,
∴OC∥DF,
∴∠CDF=∠OCD,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ADC=∠CDF.
(2)作ON⊥DF于N,延長DF交AB于M.
∵ON⊥DF,
∴DN=NF=3,
在RT△ODN中,∵∠OND=90°,OD=5,DN=3,
∴ON= =4,
∵∠OCM+∠CMN=180°,∠OCM=90°,
∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°,
∴四邊形OCMN是矩形,
∴ON=CM=4,MN=OC=5,
在RT△CDM中,∵∠DMC=90°,CM=4,DM=DN+MN=8,
∴CD= = =4 .
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【點評】本題考查切線的判定,等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、平行線的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問題,屬于中考?碱}型.
23.襄陽市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號召,研發(fā)了一種新產(chǎn)品.已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件,且年銷售量y(萬件)關(guān)于售價x(元/件)的函數(shù)解析式為:y= .
(1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為W(萬元),請直接寫出年利潤W(萬元)關(guān)于售價x(元/件)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)該產(chǎn)品的售價x(元/件)為多少時,企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大?最大年利潤是多少?
(3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元,試確定該產(chǎn)品的售價x(元/件)的取值范圍.
【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù):年利潤=(售價﹣成本)×年銷售量,結(jié)合x的取值范圍可列函數(shù)關(guān)系式;
(2)將(1)中兩個二次函數(shù)配方后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最值情況,比較后可得答案;
(3)根據(jù)題意知W≥750,可列關(guān)于x的不等式,求解可得x的范圍.
【解答】解:(1)當(dāng)40≤x<60時,W=(x﹣30)(﹣2x+140)=﹣2x2+200x﹣4200,
當(dāng)60≤x≤70時,W=(x﹣30)(﹣x+80)=﹣x2+110x﹣2400;
(2)當(dāng)40≤x<60時,W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2(x﹣50)2+800,
∴當(dāng)x=50時,W取得最大值,最大值為800萬元;
當(dāng)60≤x≤70時,W=﹣x2+110x﹣2400=﹣(x﹣55)2+625,
∴當(dāng)x>55時,W隨x的增大而減小,
∴當(dāng)x=60時,W取得最大值,最大值為:﹣(60﹣55)2+625=600,
∵800>600,
∴當(dāng)x=50時,W取得最大值800,
答:該產(chǎn)品的售價x為50元/件時,企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大,最大年利潤是800萬元;
(3)當(dāng)40≤x<60時,由W≥750得:﹣2(x﹣50)2+800≥750,
解得:45≤x≤55,
當(dāng)60≤x≤70時,W的最大值為600<750,
∴要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元,該產(chǎn)品的售價x(元/件)的取值范圍為45≤x≤55.
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用,梳理題目中的數(shù)量關(guān)系,得出相等關(guān)系后分情況列出函數(shù)解析式,熟練運用二次函數(shù)性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵.
24.如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG∥CD交AF于點G,連接DG.
(1)求證:四邊形EFDG是菱形;
(2)探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若AG=6,EG=2 ,求BE的長.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG,從而得到GD=DF,接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF;
(2)連接DE,交AF于點O.由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE,OG=OF= GF,接下來,證明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO•AF,于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系;
(3)過點G作GH⊥DC,垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG=4,然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長,然后再證明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長,最后依據(jù)BE=AD﹣GH求解即可.
【解答】解:(1)證明:∵GE∥DF,
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的性質(zhì)可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.
∴DG=GE=DF=EF.
∴四邊形EFDG為菱形.
(2)EG2= GF•AF.
理由:如圖1所示:連接DE,交AF于點O.
∵四邊形EFDG為菱形,
∴GF⊥DE,OG=OF= GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,
∴△DOF∽△ADF.
∴ ,即DF2=FO•AF.
∵FO= GF,DF=EG,
∴EG2= GF•AF.
(3)如圖2所示:過點G作GH⊥DC,垂足為H.
∵EG2= GF•AF,AG=6,EG=2 ,
∴20= FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.
解得:FG=4,F(xiàn)G=﹣10(舍去).
∵DF=GE=2 ,AF=10,
∴AD= =4 .
∵GH⊥DC,AD⊥DC,
∴GH∥AD.
∴△FGH∽△FAD.
∴ ,即 = .
∴GH= .
∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ = .
【點評】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用,利用相似三角形的性質(zhì)得到DF2=FO•AF是解題答問題(2)的關(guān)鍵,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GH的長是解答問題(3)的關(guān)鍵.
25.如圖,已知點A的'坐標(biāo)為(﹣2,0),直線y=﹣ x+3與x軸、y軸分別交于點B和點C,連接AC,頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點.
(1)請直接寫出B、C兩點的坐標(biāo),拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E,P是第一象限內(nèi)拋物線上一點,過點P作x軸的垂線,交線段BC于點F,若四邊形DEFP為平行四邊形,求點P的坐標(biāo);
(3)設(shè)點M是線段BC上的一動點,過點M作MN∥AB,交AC于點N,點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動,運動時間為t(秒),當(dāng)t(秒)為何值時,存在△QMN為等腰直角三角形?
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)分別令y=0和x=0代入y=﹣ x+3即可求出B和C的坐標(biāo),然后設(shè)拋物線的交點式為y=a(x+2)(x﹣4),最后把C的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a的值和頂點D的坐標(biāo);
(2)若四邊形DEFP為平行四邊形時,則DP∥BC,設(shè)直線DP的解析式為y=mx+n,則m=﹣ ,求出直線DP的解析式后,聯(lián)立拋物線解析式和直線DP的解析式即可求出P的坐標(biāo);
(3)由題意可知,0≤t≤6,若△QMN為等腰直角三角形,則共有三種情況,①∠NMQ=90°;②∠MNQ=90°;③∠NQM=90°.
【解答】解:(1)令x=0代入y=﹣ x+3
∴y=3,
∴C(0,3),
令y=0代入y=﹣ x+3
∴x=4,
∴B(4,0),
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+2)(x﹣4),
把C(0,3)代入y=a(x+2)(x﹣4),
∴a=﹣ ,
∴拋物線的解析式為:y= (x+2)(x﹣4)=﹣ x2+ x+3,
∴頂點D的坐標(biāo)為(1, );
(2)當(dāng)DP∥BC時,
此時四邊形DEFP是平行四邊形,
設(shè)直線DP的解析式為y=mx+n,
∵直線BC的解析式為:y=﹣ x+3,
∴m=﹣ ,
∴y=﹣ x+n,
把D(1, )代入y=﹣ x+n,
∴n= ,
∴直線DP的解析式為y=﹣ x+ ,
∴聯(lián)立 ,
解得:x=3或x=1(舍去),
∴把x=3代入y=﹣ x+ ,
y= ,
∴P的坐標(biāo)為(3, );
(3)由題意可知:0≤t≤6,
設(shè)直線AC的解析式為:y=m1x+n1,
把A(﹣2,0)和C(0,3)代入y=m1x+n1,
得: ,
∴解得 ,
∴直線AC的解析式為:y= x+3,
由題意知:QB=t,
如圖1,當(dāng)∠NMQ=90°,
∴OQ=4﹣t,
令x=4﹣t代入y=﹣ x+3,
∴y= t,
∴M(4﹣t, t),
∵MN∥x軸,
∴N的縱坐標(biāo)為 t,
把y= t代入y= x+3,
∴x= t﹣2,
∴N( t﹣2, t),
∴MN=(4﹣t)﹣( ﹣2)=6﹣ t,
∵MQ∥OC,
∴△BQM∽△BOC,
∴ ,
∴MQ= t,
當(dāng)MN=MQ時,
∴6﹣ t= t,
∴t= ,
此時QB= ,符合題意,
如圖2,當(dāng)∠QNM=90°時,
∵QB=t,
∴點Q的坐標(biāo)為(4﹣t,0)
∴令x=4﹣t代入y= x+3,
∴y=9﹣ t,
∴N(4﹣t,9﹣ t),
∵MN∥x軸,
∴點M的縱坐標(biāo)為9﹣ t,
∴令y=9﹣ t代入y=﹣ x+3,
∴x=2t﹣8,
∴M(2t﹣8,9﹣ t),
∴MN=(2t﹣8)﹣(4﹣t)=3t﹣12,
∵NQ∥OC,
∴△AQN∽△AOC,
∴ = ,
∴NQ=9﹣ t,
當(dāng)NQ=MN時,
∴9﹣ t=3t﹣12,
∴t= ,
∴此時QB= ,符合題意
如圖3,當(dāng)∠NQM=90°,
過點Q作QE⊥MN于點E,
過點M作MF⊥x軸于點F,
設(shè)QE=a,
令y=a代入y=﹣ x+3,
∴x=4﹣ ,
∴M(4﹣ a,a),
令y=a代入y= x+3,
∴x= ﹣2,
∴N( ﹣2,0),
∴MN=(4﹣ a)﹣( a﹣2)=6﹣2a,
當(dāng)MN=2QE時,
∴6﹣2a=2a,
∴a= ,
∴MF=QE= ,
∵MF∥OC,
∴△BMF∽△BCO,
∴ = ,
∴BF=2,
∴QB=QF+BF= +2= ,
∴t= ,此情況符合題意,
綜上所述,當(dāng)△QMN為等腰直角三角形時,此時t= 或 或 .
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合問題,涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式,相似三角形判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)知識,要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來,利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度,從而求出線段之間的關(guān)系.
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