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如何滲透數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，在處理數(shù)學(xué)問題時，它能給學(xué)生的思考方向起著指導(dǎo)作用，是知識轉(zhuǎn)化的橋梁。數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)規(guī)律的理性認(rèn)識，是數(shù)學(xué)思維的結(jié)晶和概括，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂和策略。下面是小編整理的如何滲透數(shù)學(xué)思想方法，歡迎閱讀！
一、在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法
1.用數(shù)學(xué)思想理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確理解概念能力。如在講解概念時，結(jié)合圖形，化抽象為具體，數(shù)形結(jié)合加深理解。
2.用數(shù)學(xué)思想方法推導(dǎo)定理、公式的形成，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在定理、公式的教學(xué)中不要過早的給出結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)，研究結(jié)論的形成過程及應(yīng)用的條件，領(lǐng)悟它的知識關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，類比、化歸的數(shù)學(xué)思想。
二、在解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力
解題的過程實質(zhì)上是在化歸思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)想，調(diào)用一定數(shù)學(xué)思想方法加工、處理題設(shè)條件和知識，逐步縮小題設(shè)和結(jié)論間的差異。運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析、解決問題，開拓學(xué)生的思維空間、優(yōu)化解題策略。
總之，在解題教學(xué)中恰當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，開拓了學(xué)生的思維空間，優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì)，提高了學(xué)生的解題能力。
三、在基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)過程中，滲透數(shù)學(xué)思想方法，豐富知識內(nèi)涵
1.在總結(jié)基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)時，應(yīng)注意揭示、總結(jié)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。
2.適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)。
四、開設(shè)專題講座，激發(fā)提升對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，提高對數(shù)學(xué)思想方法的駕馭能力
數(shù)學(xué)知識本身具有系統(tǒng)性，數(shù)學(xué)思想方法也具有系統(tǒng)性，對它的學(xué)習(xí)和滲透是一個循序暫進(jìn)的過程。在高考復(fù)習(xí)時，可以有目的地開設(shè)數(shù)學(xué)思想方法的專題講座，以高中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法（如：數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化和化歸等）為主線，把中學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識有機(jī)的結(jié)合起來，讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)科中的支撐和統(tǒng)帥作用，進(jìn)一步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
比如以函數(shù)思想為主線，可以串連代數(shù)、三角、解析幾何的大部分知識，方程可以看成函數(shù)值為零的特例；不等式可以看成兩個函數(shù)值的比較大��；三角可以看成一類特殊的函數(shù)（三角函數(shù)）；解析幾何可以看成隱函數(shù)，曲線可視為函數(shù)的圖形；導(dǎo)數(shù)可作為研究函數(shù)性質(zhì)的主要工具。在化歸思想的指導(dǎo)下，使學(xué)生更深刻地理解化歸變換的策略：比如指數(shù)、對數(shù)的高級運(yùn)算化為代數(shù)的低級運(yùn)算；在方程中，三元、二元化為一元，分式方程化為整式方程；在立體幾何中將空間圖形化為平面圖形，復(fù)雜圖形化為簡單圖形；幾何問題化為代數(shù)問題。通過思想方法的專題復(fù)習(xí)，實現(xiàn)了知識、方法和數(shù)學(xué)思想的整合，提高學(xué)生分析問題、解決問題的綜合能力。綜上所述，在教學(xué)過程中重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和灌輸，可以深化學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，進(jìn)一步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)，提高學(xué)生復(fù)習(xí)問題，解決問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)數(shù)養(yǎng)。
同時培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)也很重要
1.引導(dǎo)學(xué)生“一題多解”，提高思維靈活性。在教學(xué)過程中，用多種方法，從各個不同角度和不同途徑去尋求問題的答案，用一題多解來培養(yǎng)學(xué)生思維過程的靈活性。
2.開放問題的條件或結(jié)論，培養(yǎng)發(fā)散思維。
對問題的條件進(jìn)行發(fā)散是指問題的結(jié)構(gòu)確定以后，盡可能變化已知條件，進(jìn)而從不同角度和用不同知識來解決問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的流暢性和變通性。例如在“直線和圓錐曲線”的教學(xué)過程中，本人就曾設(shè)置這樣一道題目：開放題目的條件和結(jié)論的訓(xùn)練提供給學(xué)生自主探索的機(jī)會，使學(xué)生在經(jīng)歷探索思考的過程中，充分理解數(shù)學(xué)問題的提出、數(shù)學(xué)知識的形成過程，從中切實地培養(yǎng)了學(xué)生多角度思考問題的意識和習(xí)慣。
3.加強(qiáng)知識之間的關(guān)系和聯(lián)系的教學(xué)，提高思維深刻性。
思維的深刻性指思維過程的抽象程度，指是否善于從事物的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，是否善于從事物之間的關(guān)系和聯(lián)系中揭示規(guī)律。教學(xué)時要講清“函數(shù)與方程”、“交點與公共解”、“不等式與區(qū)域”等之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生通過知識的串聯(lián)、橫向溝通牢牢抓住事物的本質(zhì)，那么學(xué)生在碰到這種解不了的方程自然會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象交點問題來求解。
4.精簡運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過程，提高思維的敏捷性。
思維的敏捷性指學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上提高思維活動的速度。它的指標(biāo)有二個：一是速度，二是正確率。其實培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的做法還有：在數(shù)學(xué)教學(xué)中肯定學(xué)生的獨創(chuàng)性；鼓勵學(xué)生質(zhì)疑，通過思維的批判性來檢查思維過程，培養(yǎng)獨立思考能力等等。
如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，養(yǎng)成良好思維品質(zhì)是教學(xué)改革的一個重要課題。相信只要我們用科學(xué)的方法對學(xué)生的思維加以啟迪和引導(dǎo)，使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中展現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維過程更加真實科學(xué)，學(xué)生的思維品質(zhì)就能得到優(yōu)化提升。
拓展：數(shù)學(xué)思想方法的突破
一、模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景
模糊數(shù)學(xué)是在特定的歷史背景中產(chǎn)生的，它是數(shù)學(xué)適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)需要的產(chǎn)物。
首先，現(xiàn)實世界中存在著大量模糊的量，對這類量的描述和研究需要一種新的數(shù)學(xué)工具。我們知道，現(xiàn)實世界中的量是多種多樣的，如果按著界限是否分明，可把這無限多樣的量分為兩類：一類是明晰的，另一類是模糊的。實踐表明，在自然界、生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高壓”、“低溫”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“溫和”、“老年”、“健康”等等。這些概念作為現(xiàn)實世界事物和現(xiàn)象的狀態(tài)反映，在量上是沒有明晰界限的。
模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前的數(shù)學(xué)，只能精確地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它們用于描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結(jié)果符合實際。因此，隨著社會實踐的深化和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對“模糊”數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究也就成為十分必要的了。
其次，電子計算機(jī)的發(fā)展為模糊數(shù)學(xué)的誕生準(zhǔn)備了搖籃。自本世紀(jì)40年代電子計算機(jī)問世以來，電子計算機(jī)在生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛。電子計算機(jī)發(fā)展的一個重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統(tǒng)、航天系統(tǒng)以及各種復(fù)雜的社會系統(tǒng)。而人腦本身就是一種極其復(fù)雜的系統(tǒng)。人腦中的思維活動之所以具有高度的靈活性，能夠應(yīng)付復(fù)雜多變的環(huán)境，一個重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時在起作用。一般說來，邏輯思維活動可用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻畫，而非邏輯思維活動卻具有很大的模糊性，無法用明晰數(shù)學(xué)來描述和刻劃。因此，以二值邏輯為理論基礎(chǔ)的電子計算機(jī)，也就無法真實地模擬人腦的思維活動，自然也就不具備人腦處理復(fù)雜問題的能力。這對電子計算機(jī)特別是人工智能的發(fā)展，無疑是一個極大的障礙。為了把人的自然語言算法化并編入程序，讓電子計算機(jī)能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為復(fù)雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關(guān)系的數(shù)學(xué)理論。這就是模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生的直接背景。
模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)立者是美國加利福尼亞大學(xué)的札德教授。為了改進(jìn)和提高電子計算機(jī)的功能，他認(rèn)真研究了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)-集合論。他認(rèn)為，要想從根本上解決電子計算機(jī)發(fā)展與數(shù)學(xué)工具局限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1965年，他發(fā)表了題為《模糊集合》的論文，由此開拓出了模糊數(shù)學(xué)這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
二、模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)
明晰數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是普通集合論，模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論著手，建立起模糊數(shù)學(xué)的。
模糊集合論與普通集合論的根本區(qū)別，在于兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對于這種集合，一個事物與它有著明確的隸屬關(guān)系，要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，兩者必居其一，不可模棱兩可。如果用函數(shù)關(guān)系式表示，可寫成
這里的A(u)稱為集合A的特征函數(shù)。特征函數(shù)的邏輯基礎(chǔ)是二值邏輯，它是對事物“非此即彼”狀態(tài)的定量描述，但不能用于刻劃某些事物在中介過渡時所呈現(xiàn)出的“亦此亦彼”性。例如，取A為老年人集合，u為一個年齡為50歲的人，我們拿不出什么令人信服的理由來確定A(u)的值是1還是0.這正是普通集合論的局限之所在。
與普通集合不同，模糊集合的邏輯基礎(chǔ)是多值邏輯。對于這種集合，一個事物與它沒有“屬于”或“不屬于”這種絕對分明的隸屬關(guān)系，因而也就不能用特征函數(shù)A(u)來描述。那么，怎樣才能定量地描述模糊集合的性質(zhì)和特征呢?模糊集合論的創(chuàng)立者札德給出了隸屬函數(shù)的概念，用以代替普通集合論中的特征函數(shù)概念。隸屬函數(shù)的實質(zhì)，是將特征函數(shù)由二值{0，1｝推廣到[0，1]閉區(qū)間上的任意值。通常把隸屬函數(shù)表示為μ(u)，它滿足
0≤μ(u)≤1（或記作μ(u)∈[0，1]）
有了隸屬函數(shù)概念，就可給模糊集合下一個準(zhǔn)確的定義了。札德在1965年的論文中給出了如下的定義：
隸屬函數(shù)的選取是一個較為復(fù)雜的問題，目前還沒有一個固定和通用的模式，它依問題的不同可以有不同的表達(dá)形式。在許多情況下，它是憑借經(jīng)驗或統(tǒng)計分析確定的。
例如，某小組有五名同學(xué)，記作u1，u2，u3，u4，u5，取論域.現(xiàn)在取為由“性格穩(wěn)重”的同學(xué)組成的集合，顯然這是一個模糊集合。為確定每個同學(xué)隸屬于的程度，我們分別給每個同學(xué)的性格穩(wěn)重程度打分，按百分制給分，再除以100.
這里實際上就是求隸屬函數(shù)，如果打分的結(jié)果是
u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分
那么隸屬函數(shù)的值應(yīng)是
可表示為
還可表示為
或
普通集合與模糊集合有著內(nèi)在的聯(lián)系，這可由特征函數(shù)A(u)和隸屬函數(shù)的關(guān)系來分析。事實上，當(dāng)隸屬函數(shù)只取[0,1]閉區(qū)間的兩端點值0，1時，隸屬函數(shù)也就退化為特征函數(shù)A(u)，從而模糊子集也就轉(zhuǎn)化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況，模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區(qū)別，又相互聯(lián)結(jié)，而且在一定條件下相互轉(zhuǎn)化。正因為有此內(nèi)在的聯(lián)系，決定了模糊數(shù)學(xué)可以廣泛地使用明晰數(shù)學(xué)的方法，從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)存在著由此達(dá)彼的橋梁。
模糊數(shù)學(xué)作為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科，雖然它的歷史很短，但由于它是在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)迫切需要下應(yīng)運(yùn)而生的，因而對于它的研究，無論是基礎(chǔ)理論還是實際應(yīng)用，都得到了迅速的發(fā)展。
就其基礎(chǔ)理論而言，模糊數(shù)學(xué)研究的課題已涉及到廣泛的范圍，如模糊數(shù)、模糊關(guān)系、模糊矩陣、模糊圖、模糊映射和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規(guī)劃、模糊邏輯、模糊識別和模糊控制等。
在應(yīng)用方面，模糊數(shù)學(xué)的思想與方法正在廣泛滲透到科學(xué)和技術(shù)的各個領(lǐng)域，如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、語言學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制論和人工智能等。同時，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的許多部門已取得明顯的社會效益。
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